9、求功，如機車以恒定功率啟動．
(3)當(dāng)變力方向不變，大小與位移成正比時，可用力對位移的平均值F＝(F初＋F末)來計算．
(4)當(dāng)變力大小不變，方向在變化且力的方向始終與速度方向相同或相反時，功可用力與路程的乘積計算．
(5)用變力F隨位移x的變化圖象與x軸所圍的“面積”計算功．注意x軸上下兩側(cè)分別表示正、負(fù)功．
對功率的理解與計算
【題組過關(guān)】
1．(多選)(2020·臺州高二期中)我國科學(xué)家正在研制航母艦載機使用的電磁彈射器．艦載機總質(zhì)量為3.0×104 kg，設(shè)起飛過程中發(fā)動機的推力恒為1.0×105 N；彈射器有效作用長度為100 m，推力恒定．要求艦載機在水平彈射結(jié)束
10、時速度大小達到80 m/s.彈射過程中艦載機所受總推力為彈射器和發(fā)動機推力之和，假設(shè)所受阻力為總推力的20%，則( )
A．彈射器的推力大小為1.1×106 N
B．彈射器對艦載機所做的功為1.1×108 J
C．彈射器對艦載機做功的平均功率為8.8×107 W
D．艦載機在彈射過程中的加速度大小為32 m/s2
解析：選ABD.對艦載機應(yīng)用運動學(xué)公式v2－02＝2ax，即802＝2·a·100，得加速度a＝32 m/s2，選項D正確；設(shè)總推力為F，對艦載機應(yīng)用牛頓第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106 N，而發(fā)動機的推力為1.0×105 N，則彈射器的推力為F推＝
11、(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106 N，選項A正確；彈射器對艦載機所做的功為W＝F推·l＝1.1×108 J，選項B正確；彈射過程所用的時間為t＝＝ s＝2.5 s，平均功率P＝＝ W＝4.4×107 W，選項C錯誤．
2．(2020·杭州調(diào)研)一臺起重機從靜止開始勻加速地將一質(zhì)量m＝1.0×103 kg的貨物豎直吊起，在2 s末貨物的速度v＝4 m/s.起重機在這2 s內(nèi)的平均輸出功率及2 s末的瞬時功率分別為(g取10 m/s2)( )
A．2.4×104 W 2.4×104 W
B．2.4×104 W 4.8×104 W
C．4.8×104 W 2.4×104
12、 W
D．4.8×104 W 4.8×104 W
解析：選B.貨物運動的加速度a＝＝m/s2＝2 m/s2，設(shè)起重機吊繩的拉力為F，根據(jù)牛頓第二定律，有F－mg＝ma
所以F＝m(g＋a)＝1.0×103×(10＋2)N＝1.2×104 N
貨物上升的位移l＝at2＝4 m
則拉力做的功W＝F·l＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J
故2 s內(nèi)的平均功率＝＝2.4×104 W
2 s末的瞬時功率P＝Fv＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W.
1．平均功率的計算
(1)利用P＝.
(2)利用P＝F·vcos α，其中v為物體運動的平均速度，F(xiàn)為恒力．
2
13、．瞬時功率的計算
(1)利用公式P＝F·vcos α，其中v為t時刻的瞬時速度．
(2)P＝F·vF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv為物體受的外力F在速度v方向上的分力．
注意：對于α變化的不能用公式P＝Fvcos α計算平均功率．
機車啟動問題
【知識提煉】
兩種啟動方式的比較
兩種方式
以恒定功率啟動
以恒定加速度啟動
P－t圖和v－t圖
OA段
過程分析
v↑?F＝↓
?a＝↓
a＝不變?
F不變，v↑?P＝
Fv↑直到P額＝Fv1
運動性質(zhì)
加速度減小的加速直線運動
勻加速直線運動，維持
14、時間t0＝
AB段
過程分析
F＝F阻?a＝0
?F阻＝
v↑?F＝↓
?a＝↓
運動性質(zhì)
以vm做勻速直線運動
加速度減小的加速運動
BC段
無
F＝F阻?a＝0
?以vm＝
勻速運動
【典題例析】
(2020·紹興調(diào)研)某汽車發(fā)動機的額定功率為60 kW，汽車質(zhì)量為5 t，汽車在運動中所受阻力的大小恒為車重的0.1倍．(g取10 m/s2)
(1)若汽車以額定功率啟動，則汽車所能達到的最大速度是多少？當(dāng)汽車速度達到5 m/s時，其加速度是多少？
(2)若汽車以恒定加速度0.5 m/s2啟動，則其勻加速過程能維持多長時間？
[審題指導(dǎo)] (1)達到最大
15、速度時，汽車處于什么狀態(tài)？
(2)v＝5 m/s時，牽引力多大？
(3)以加速度0.5 m/s2啟動時，牽引力多大？此階段能達到的最大速度為多少？
[解析] (1)當(dāng)汽車的加速度為零時，汽車的速度v達到最大值vm，此時牽引力與阻力相等，故最大速度為
vm＝＝＝ m/s＝12 m/s
v＝5 m/s時的牽引力
F1＝＝ N＝1.2×104 N，
由F1－Ff＝ma得：a＝
＝ m/s2＝1.4 m/s2.
(2)當(dāng)汽車以a′＝0.5 m/s2的加速度啟動時的牽引力F2＝ma′＋Ff＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10) N＝7 500 N
勻加速運動能達到的最大速
16、度為
v′m＝＝ m/s＝8 m/s
由于此過程中汽車做勻加速直線運動，滿足
v′m＝a′t
故勻加速過程能維持的時間t＝＝ s＝16 s.
[答案] (1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s
機車啟動問題中的三個重要關(guān)系式
(1)無論哪種運動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力F阻)．
(2)機車以恒定加速度啟動的運動過程中，勻加速過程結(jié)束時，功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝.
(3)機車以恒定功率運動時，牽引力做的功W＝Pt.由動能定理：Pt－F阻x＝ΔEk.此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟
17、動過程的位移大?。?
【題組過關(guān)】
考向1 以恒定功率啟動方式的求解
1．(2020·嘉興質(zhì)檢)質(zhì)量為m的汽車，以恒定的功率P從靜止開始在平直路面上行駛一段距離s后達到最大速度vm，經(jīng)歷時間為t.若行駛中阻力Ff恒定，則以下關(guān)系式正確的是( )
A．vm＝ B．P＝Ffvm
C．Pt＝mv D．Pt＝Ffs
解析：選B.根據(jù)P＝Fv，F(xiàn)－Ff＝ma，若保持功率P不變，可知汽車做加速度減小的加速運動，達到最大速度vm后，做勻速運動，故A錯誤；勻速運動時，F(xiàn)＝Ff，所以P＝Ffvm，故B正確；對加速過程，根據(jù)動能定理可知：Pt－Ffs＝mv－0，故C、D錯誤．
考向2
18、 以恒定牽引力啟動方式的求解
2．(2020·金華高二期中)某汽車集團公司研制了一輛燃油與電動混合動力賽車，燃油發(fā)動機單獨工作時的額定功率為P，蓄電池供電的電力發(fā)動機單獨工作時的額定功率為，已知賽車運動過程中受到的阻力恒定．
(1)若燃油發(fā)動機單獨工作時的最大速度為120 km/h，則兩臺發(fā)動機同時工作時的最大速度為多少？
(2)若賽車先單獨啟動電力發(fā)動機從靜止開始做勻加速直線運動，經(jīng)過t1時間達到額定功率，然后以燃油發(fā)動機的額定功率單獨啟動繼續(xù)加速，又經(jīng)過t2時間達到最大速度v0，賽車總質(zhì)量為m，求賽車的整個加速距離．
解析：(1)燃油發(fā)動機單獨工作，P＝F1v1＝fv1
兩臺發(fā)動
19、機同時工作，P＋＝F2v2＝fv2
最大速度v2＝＝210 km/h.
(2)燃油發(fā)動機的額定功率為P，最大速度為v0，
阻力f＝
勻加速過程功率隨時間均勻增加，發(fā)動機的平均功率為，設(shè)總路程為s，由動能定理有
t1＋Pt2－fs＝mv
解得s＝.
答案：(1)210 km/h (2)
[隨堂檢測]
1．(2017·11月浙江選考)如圖所示，質(zhì)量為60 kg的某運動員在做俯臥撐運動，運動過程中可將她的身體視為一根直棒．已知重心在c點，其垂線與腳、兩手連線中點間的距離Oa、Ob分別為0.9 m和0.6 m．若她在1 min內(nèi)做了30個俯臥撐，每次肩部上升的距離均為0.4 m
20、，則克服重力做的功和相應(yīng)的功率約為( )
A．430 J，7 W B．4 300 J，70 W
C．720 J，12 W D．7 200 J，120 W
答案：B
2．質(zhì)量為m的汽車，啟動后沿平直路面行駛，如果發(fā)動機的功率恒為P，且行駛過程中受到的摩擦阻力大小一定，汽車能夠達到最大速度為v，那么當(dāng)汽車的速度為v時，汽車的瞬時加速度的大小為( )
A. B. C. D.
解析：選B.以恒定功率起步的機車，因P＝Fv，v逐漸增大，F(xiàn)逐漸減小，即牽引力逐漸減小，所以機車做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)牽引力等于阻力時，不再加速，速度達到最大，可知阻力為f＝F＝，則當(dāng)速度為
21、v時，可求得牽引力F′＝＝3，則此時的加速度為a＝＝，故本題的正確選項為B.
3．當(dāng)前我國“高鐵”事業(yè)發(fā)展迅猛，假設(shè)一輛高速列車在機車牽引力和恒定阻力作用下，在水平軌道上由靜止開始啟動，其v－t圖象如圖所示，已知0～t1時間內(nèi)為過原點的傾斜直線，t1時刻達到額定功率P，此后保持功率P不變，在t3時刻達到最大速度v3，以后勻速運動．下列判斷正確的是( )
A．從0至t3時間內(nèi)，列車一直做勻加速直線運動
B．t2時刻的加速度大于t1時刻的加速度
C．在t3時刻以后，機車的牽引力為零
D．該列車所受的恒定阻力大小為
解析：選D.0～t1時間內(nèi)，列車做勻加速運動，t1～t3時間內(nèi)，加
22、速度逐漸變小，故A、B錯誤；t3以后列車做勻速運動，牽引力大小等于阻力大小，故C錯誤；勻速運動時Ff＝F牽＝，故D正確．
4.(2017·11月浙江選考)如圖所示是具有登高平臺的消防車，具有一定質(zhì)量的伸縮臂能夠在5 min內(nèi)使承載4人的登高平臺(人連同平臺的總質(zhì)量為400 kg)上升60 m到達滅火位置．此后，在登高平臺上的消防員用水炮滅火，已知水炮的出水量為3 m3/min，水離開炮口時的速率為20 m/s，則用于( )
A．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為1×104 W
B．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為4×104 W
C．水炮工作的發(fā)動機輸出功率約為2.4×106 W
D．伸縮臂抬
23、升登高平臺的發(fā)動機輸出功率約為800 W
答案：B
[課后達標(biāo)]
一、選擇題
1．一輛汽車在平直公路上從靜止開始運動，假設(shè)汽車的功率保持不變，所受的阻力恒定，則下列說法正確的是( )
A．汽車一直做勻加速運動
B．汽車先勻加速運動，后勻速運動
C．汽車先勻加速運動，后勻減速運動直至靜止
D．汽車做加速度越來越小的加速運動，直至勻速運動
答案：D
2．設(shè)飛機飛行中所受阻力與其速度的平方成正比，若飛機以速度v勻速飛行，其發(fā)動機功率為P，則飛機以3v勻速飛行時，其發(fā)動機的功率為( )
A．3P B．9P
C．27P D．無法確定
答案：C
3
24、.
(2020·湖州質(zhì)檢)如圖所示，細(xì)線的一端固定于O點，另一端系一小球，在水平拉力作用下，小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點運動到B點，在此過程中拉力的瞬時功率變化情況是( )
A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．先增大，后減小 D．先減小，后增大
答案：A
4．如圖所示，木板可繞固定水平軸O轉(zhuǎn)動．木板從水平位置OA緩慢轉(zhuǎn)到OB位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止．在這一過程中，物塊的重力勢能增加了2 J．用FN表示物塊受到的支持力，用Ff表示物塊受到的摩擦力．在此過程中，以下判斷正確的是( )
A．FN和Ff對物塊都不做功
B．FN對物塊做功為2 J，F(xiàn)f
25、對物塊不做功
C．FN對物塊不做功，F(xiàn)f對物塊做功為2 J
D．FN和Ff對物塊所做功的代數(shù)和為0
答案：B
5．中國已成為世界上高鐵運營里程最長、在建規(guī)模最大的國家．報道稱，新一代高速列車正常持續(xù)運行牽引功率達 9 000 kW，速度為300 km/h.假設(shè)一列高速列車從杭州到金華運行路程為150 km，則( )
A．列車從杭州到金華在動力上消耗的電能約為9 000 kW·h
B．列車正常持續(xù)運行時的阻力大小約為105 N
C．如果該列車以150 km/h運動，則牽引功率為4 500 kW
D．假設(shè)從杭州到金華阻力大小不變，則列車克服阻力做功大小等于阻力與位移的乘積
解
26、析：選B.根據(jù)題意，不知道該列車運行時間，所以無法求出杭州到金華列車消耗的電能，A錯誤；根據(jù)P＝Fv可知，F(xiàn)＝1.08×105 N，B正確；列車的瞬時速度為150 km/h，但不能確定是勻速運動還是其他運動，所以不能確定牽引功率，C錯誤；假設(shè)阻力大小不變，則克服阻力做功應(yīng)該為阻力大小與其路程的乘積，D錯誤．
6．(2020·麗水高三期中)如圖所示為牽引力F和車速的倒數(shù)的關(guān)系圖象，若汽車質(zhì)量為2×103 kg，它由靜止開始沿平直的公路行駛，設(shè)阻力恒定且最大車速為30 m/s，則( )
A．汽車所受的阻力為6×103 N
B．汽車的速度為15 m/s時，功率為6×104 W
C．汽車
27、勻加速運動的加速度為3 m/s2
D．汽車勻加速所需的時間為7.5 s
答案：B
7．(2020·溫州樂清期中)塔吊吊起貨物沿豎直方向勻速上升過程中，鋼絲繩對貨物的拉力及其功率變化說法正確的是( )
A．拉力增大，功率不變 B．拉力不變，功率變大
C．拉力減小，功率變大 D．拉力不變，功率不變
解析：選D.因為貨物勻速上升，知F＝mg，則拉力不變，根據(jù)P＝Fv知，拉力功率不變．故D正確，A、B、C錯誤．
8.“激流勇進”是一種常見的水上機動游樂設(shè)備，常見于主題游樂園中．游客們在一定安全裝置的束縛下，沿著設(shè)計好的水道漂行．其間通常會有至少一次大幅度的機械提升和瞬時跌落．圖
28、中所示為游客們正坐在皮筏艇上從高處沿斜坡水道向下加速滑行，在此過程中下列說法正確的是( )
A．合力對游客做負(fù)功 B．皮筏艇對游客不做功
C．重力對游客做正功 D．游客的機械能增加
答案：C
9．(2020·寧波質(zhì)檢)汽車發(fā)動機的額定功率是60 kW，汽車的質(zhì)量為2×103 kg，在平直路面上行駛，受到的阻力是車重的0.1.若汽車從靜止出發(fā)，以0.5 m/s2的加速度做勻加速運動，則出發(fā)50 s時，汽車發(fā)動機的實際功率為(g取10 m/s2)( )
A．25 kW B．50 kW
C．60 kW D．75 kW
解析：選C.汽車受到的阻力Ff＝0.1mg＝2
29、000 N，汽車以0.5 m/s2的加速度做勻加速運動，由牛頓第二定律得F－Ff＝ma，解得F＝3 000 N，若50 s內(nèi)車做勻加速運動，則v＝at＝25 m/s，50 s末汽車功率P＝Fv＝75 000 W＝75 kW，但汽車發(fā)動機的額定功率是60 kW，則50 s 內(nèi)車不是勻加速運動，而是先勻加速運動后變加速運動，出發(fā)50 s時，汽車發(fā)動機的實際功率為60 kW，故C正確．
10．一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運動，運動過程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數(shù)的關(guān)系圖象如圖所示．若已知汽車的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽車的功率
B．
30、汽車行駛的最大速度
C．汽車所受到的阻力
D．汽車運動到最大速度所需的時間
解析：選D.由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，對應(yīng)圖線可知，＝k＝40，可求出汽車的功率P，由a＝0時，＝0.05可得：vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽車受到的阻力Ff，但無法求出汽車運動到最大速度的時間．
11.(2020·浙江溫嶺高二月考)如圖是武廣鐵路上某機車在性能測試過程中的v－t圖象，測試時機車先以恒定的牽引力F啟動發(fā)動機使機車在水平鐵軌上由靜止開始運動，t1時刻機車關(guān)閉發(fā)動機，到t2時刻機車完全停下．圖象中θ>α，設(shè)整個測試過程中牽引力F做的功和克服摩擦力f做的功分別為W1、W2，0
31、～t1時間內(nèi)F做功的平均功率和全過程克服摩擦力f做功的平均功率分別為P1、P2，則下列判斷正確的是( )
A．W1>W2，F(xiàn)＝2f B．W1＝W2，F(xiàn)>2f
C．P12f D．P1＝P2，F(xiàn)＝2f
解析：選B.機車整個運動過程中，根據(jù)動能定理有W1－W2＝0，所以W1＝W2，又P1＝，P2＝，因t2>t1，所以P1>P2；根據(jù)牛頓第二定律，機車的牽引力為F時的加速度大小a1＝，關(guān)閉發(fā)動機后機車加速度大小a2＝，根據(jù)v－t圖象斜率的意義可知a1>a2，即F－f >f，所以有F >2f，綜上分析可知，B正確．
12.
如圖所示，汽車停在緩坡上，要求駕駛員在保證汽
32、車不后退的前提下向上啟動，這就是汽車駕駛中的“坡道起步”，駕駛員的正確操作是：變速桿掛入低速擋，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松開離合器，同時松開手剎，汽車慢慢啟動，下列說法正確的是( )
A．變速桿掛入低速擋，是為了增大汽車的輸出功率
B．變速桿掛入低速擋，是為了能夠提供較大的牽引力
C．徐徐踩下加速踏板，是為了讓牽引力對汽車做更多的功
D．徐徐踩下加速踏板，是為了讓汽車的輸出功率保持為額定功率
解析：選B.由P＝Fv可知，在功率一定的情況下，當(dāng)速度減小時，汽車的牽引力就會增大，此時更容易上坡，則換低速擋，增大牽引力，故A錯誤，B正確；徐徐踩下加速踏板，發(fā)動機的輸出功率增大，根據(jù)P＝
33、Fv可知，是為了增大牽引力，故C、D錯誤．
13．一物體在粗糙的水平面上滑行．從某時刻起，對該物體再施加一水平恒力F，則在此后的一段時間內(nèi)( )
A．如果物體改做勻速運動，則力F一定對物體做負(fù)功
B．如果物體改做勻加速直線運動，則力F一定對物體做正功
C．如果物體仍做勻減速運動，則力F一定對物體做負(fù)功
D．如果物體改做曲線運動，則力F一定對物體不做功
解析：選B.物體在粗糙的水平面上做勻減速直線運動．施加一水平恒力F后，如果物體改做勻速運動，則力F一定與摩擦力等大、反向，與物體運動方向相同，對物體做正功，A錯誤；如果物體改做勻加速直線運動，則力F一定與物體運動方向相同，且大于摩擦
34、力，力F對物體做正功，B正確；如果物體仍做勻減速運動，則力F可能與物體運動方向相同，但大小小于摩擦力，對物體做正功，也可能與物體運動方向相反，對物體做負(fù)功，C錯誤；只要物體受力F與物體運動方向不共線，物體就做曲線運動，力F與速度的夾角既可以是銳角也可以是鈍角，還可以是直角，各種做功情況都有可能，D錯誤．
14.(2020·舟山高二期中)在水平面上，有一彎曲的槽道弧AB，槽道由半徑分別為和R的兩個半圓構(gòu)成(如圖所示)，現(xiàn)用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點沿滑槽道拉至B點，若拉力F的方向時時刻刻均與小球運動方向一致，則此過程中拉力所做的功為( )
A．0 B．FR
C.πFR D
35、．2πFR
解析：選C.雖然拉力方向時刻改變，但力與運動方向始終一致，用微元法，在很小的一段位移內(nèi)可以看成恒力，小球的路程為πR＋π，則拉力做的功為πFR，故C正確．
二、非選擇題
15．如圖甲所示，在水平路段AB上有一質(zhì)量為2×103 kg的汽車，正以10 m/s的速度向右勻速運動，汽車前方的水平路段BC較粗糙，汽車通過整個ABC路段的v－t圖象如圖乙所示(在t＝15 s處水平虛線與曲線相切)，運動過程中汽車發(fā)動機的輸出功率保持20 kW 不變，假設(shè)汽車在兩個路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空氣阻力等)各自有恒定的大?。螅?
(1)汽車在AB路段上運動時所受的阻力Ff1；
(2)汽車剛好到達B點時的加速度a；
(3)BC路段的長度．
解析：(1)汽車在AB路段時，有F1＝Ff1，
P＝F1v1，F(xiàn)f1＝，聯(lián)立解得：
Ff1＝ N＝2 000 N.
(2)t＝15 s時汽車處于平衡態(tài)，有F2＝Ff2，
P＝F2v2，F(xiàn)f2＝，
聯(lián)立解得：Ff2＝ N＝4 000 N.
t＝5 s時汽車開始減速運動，有F1－Ff2＝ma，
解得a＝－1 m/s2.
(3)Pt－Ff2x＝mv－mv
解得x＝68.75 m.
答案：(1)2 000 N (2)－1 m/s2
(3)68.75 m
16
（浙江選考）2021版新高考物理一輪復(fù)習(xí) 6 第五章 機械能及其守恒定律 1 第1節(jié) 功和功率教學(xué)案
