高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

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1、 函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)的綜合運(yùn)用是高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中函數(shù)單調(diào)性與奇偶性是高考命題的必考內(nèi)容之一，有具體函數(shù)，還會(huì)涉及抽象函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)。研究基本性質(zhì)，不可忽略定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。函數(shù)定義域體現(xiàn)了函數(shù)圖像左右方向的延伸程度，而值域又表現(xiàn)了函數(shù)圖像在上下方向上的延伸程度。對(duì)函數(shù)單調(diào)性要深入復(fù)習(xí)，深刻理解單調(diào)性定義，熟練運(yùn)用單調(diào)性定義證明或判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，掌握單調(diào)區(qū)間的求法，掌握單調(diào)性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調(diào)性的重要運(yùn)用，如求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，掌握抽象函數(shù)單調(diào)性的

2、判斷方法等等。要充分重視運(yùn)用方程與函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用分離變量方法解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，并圍繞函數(shù)單調(diào)性分析解決函數(shù)綜合問(wèn)題。 一、 函數(shù)與反函數(shù) 例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，則以A為定義域，B為值域的函數(shù)共有　　個(gè)． （2）、（2012?徐匯區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x2﹣1的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閧﹣1，0，1}，試確定這樣的集合D最多有　　個(gè)． （3）（2013?上海）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1

3、，2）， f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，則x0=　?。? 二、 函數(shù)值域及最值求法 例2、（1）（2011?上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x） =x+g（x） 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，則f（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤　。? （2）（2013?黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間[a，b]?（0，+∞）， 使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　． （3）．（2012?虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，對(duì)于任意的都能找到，使得g（

4、x2）=f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　?。? 三、 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 例3、（1）（2013?資陽(yáng)一模）已知函數(shù) 若f（2m+1）＞f（m2﹣2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　?。? （2）已知是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是 　?。? （3）（2012?上海）已知y=f（x）是奇函數(shù)，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（﹣1）=　?。? （4）f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過(guò)（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），則f（2012）+f（2013）=　?。? 四、 函數(shù)的周期性 例4、（1）已知奇函數(shù)滿足的值為?????????? ?。 ?（2）設(shè)函數(shù)y=f

5、（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x﹣2）=﹣f（x）對(duì)一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）=x3，則下列四個(gè)命題：①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2﹣x）3； ③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱．其中正確的命題是 　　． 五、 函數(shù)圖像的對(duì)稱性 例5、（1）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱。 （2）設(shè)．則　?。? （3）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：①若f（x﹣2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于

6、直線x=2對(duì)稱；②若f（x+2）=﹣f（x﹣2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)y=f（2+x）與函數(shù)y=f（2﹣x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；④函數(shù)y=f（x﹣2）與函數(shù)y=f（2﹣x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．其中正確的命題序號(hào)是　?。? 　六、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例6、（2013?上海春季）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”． （1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐

7、標(biāo)； （2）求函數(shù)h（x）= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)； （3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）． 例7、已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R，F(xiàn)（x）=， （1）若f（﹣1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式； （2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g（x）=f（x）+kx是

8、單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于0． 例8、（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1） （1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范圍； （2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x∈[1，2]）的反函數(shù)． 例9、（2012?盧灣區(qū)二模）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”． （1）判斷1是否為

9、函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）若函數(shù)f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個(gè)數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）． 例10、已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實(shí)常數(shù)． （1）若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1﹣x），求函數(shù)y=f（x），x∈[0，1]的值域； （2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析

10、式； （3）若當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 七、實(shí)戰(zhàn)演練 一．填空題 1、（2009?上海）將函數(shù)（x∈[0，6]）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ（0≤θ≤α），得到曲線C．若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則α的最大值為　?。? 2、（2013?上海）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2）

11、，f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，則x0=　　． 3、（2008?湖南）設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f﹣1（x），且函數(shù)y=x﹣f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），則函數(shù)y=f﹣1（x）﹣x的圖象一定過(guò)點(diǎn)　?。? 3、（2011?上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，則f（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤　。? 4、（2011?閘北區(qū)二模）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù) f（x）+g（x）的值域?yàn)閇1，3），則f（x）﹣g（x）的值域?yàn)椤　。? 5

12、、在直角坐標(biāo)系中，如果兩點(diǎn)A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)（[A，B]與[B，A]看作一組）．函數(shù)g（x）=關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為　?。? 6．（2013?上海）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為　?。? 7．（2012?上海）若f（x）=為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=　?。? 8．（2012?上海）已知函數(shù)f（x）=e|x﹣a|（a為常數(shù)）．若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是　　． 9．（20

13、12?上海）已知y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2， 則g（﹣1）=　?。? 10．（2013?四川）已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是　?。? 11．（2013?黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間，使得{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　?。? 12．f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過(guò)（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），則f（2012）+f（2013）=　　． 13．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為Df，Dg，且Df?Dg．若對(duì)

14、于任意x∈Df，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在Dg上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）為f（x）在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則g（x）=　　． 14．（2013?普陀區(qū)一模）已知函數(shù)，設(shè)a＞b≥0，若f（a）=f（b），則b?f（a）的取值范圍是　　． 15． 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和 f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，則f（2012）=　?。? 16．（2010?西城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M．有x+

15、l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)，如果定義域是 [﹣1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[﹣1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是----． 17．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且 f（1）≠0．則f（2013）=　?。? 18．（2013?浙江模擬）定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”

16、，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為------ 二．解答題　 19．（2012?交大附中）若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，滿足對(duì)任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），則稱f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域?yàn)镽，g（x）恒大于0，且對(duì)任意x1，x2∈R，有l(wèi)gg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），則稱g（x）為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”． （1）當(dāng)f（x）=x2時(shí)，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由； （2）當(dāng)g（x）=x2+2時(shí)，證明：g（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)； （3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，問(wèn)f（x）是否為對(duì)數(shù)V形函數(shù)？證明你

17、的結(jié)論． 20．（2012?楊浦區(qū)一模）若函數(shù)y=f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得 f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數(shù)”． （1）判斷下列函數(shù)，是否為“Ω函數(shù)”，并說(shuō)明理由；①f（x）=x3 ②f（x）=2x（2）已知函數(shù)f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）． 22．給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉． （1）若定義域D1=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些

18、在D1上封閉（寫出推理過(guò)程）：f1（x）=2x﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1； （2）若定義域D2=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=在D2上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 23．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)” （1）請(qǐng)分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函數(shù)”，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． （2）證明函數(shù)h（x）=x2+a2x+4（a是常數(shù)且a∈R）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”．

19、 函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 教師用 函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)的綜合運(yùn)用是高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中函數(shù)單調(diào)性與奇偶性是高考命題的必考內(nèi)容之一，有具體函數(shù)，還會(huì)涉及抽象函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)。研究基本性質(zhì)，不可忽略定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。函數(shù)定義域體現(xiàn)了函數(shù)圖像左右方向的延伸程度，而值域又表現(xiàn)了函數(shù)圖像在上下方向上的延伸程度。對(duì)函數(shù)單調(diào)性要深入復(fù)習(xí)，深刻理解單調(diào)性定義，熟練運(yùn)用單調(diào)性定義證明或判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，掌握單調(diào)區(qū)間的求法，掌握單調(diào)性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調(diào)性的重

20、要運(yùn)用，如求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，掌握抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法等等。要充分重視運(yùn)用方程與函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用分離變量方法解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，并圍繞函數(shù)單調(diào)性分析解決函數(shù)綜合問(wèn)題。 一、 函數(shù)與反函數(shù) 例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，則以A為定義域，B為值域的函數(shù)共有　6　個(gè)． 解：從A到B建立映射共有23=8個(gè)，其中由2個(gè)映射的像集是{4}和{5}，把這2個(gè)映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射，所以，構(gòu)成以A為定義域，B為值域的不同的函數(shù)共有8﹣2=6個(gè)，故答案為6． （2）、（201

21、2?徐匯區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x2﹣1的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閧﹣1，0，1}，試確定這樣的集合D最多有　9　個(gè)． 解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1 因此，定義域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}， {0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9種情況，故答案為：9 （3）（2013?上海）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））

22、=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，則x0=　2?。? 解：因?yàn)間（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1）， 所以對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解；當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解；所以當(dāng)x∈[0，2）時(shí)方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解，又因?yàn)榉匠蘤（x）﹣x=0有解x0，且定義域?yàn)閇0，3]，故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（﹣∞，0）∪[1

23、，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案為：2． 二、 函數(shù)值域及最值求法 例2、（1）（2011?上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，則f（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤﹣2，7]?。? 解：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1） 函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間[0，1]【正好是一個(gè)周期區(qū)間長(zhǎng)度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+1∈[1，2]，此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）

24、 =[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]時(shí)，f（t）∈[﹣1，6]…（1） 同理，令x+2=t，在當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+2∈[2，3] 此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2 所以，當(dāng)t∈[2，3]時(shí)，f（t）∈[0，7]…（2） 由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇﹣2，7] 故答案為：[﹣2，7]． （2）（2013?黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間[a，b]?（0，+∞），使得 {y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?。?，4）　

25、． 解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函數(shù)，∴f（x）在x∈[a，b]上值域?yàn)? [f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb， 所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必須有兩個(gè)不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4． ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，4）．故答案為：（0，4）． （3）．（2012?虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，對(duì)于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　[﹣2，6]　． 解：∵函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x

26、+1，∴x1∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范圍內(nèi)總能找到x2滿足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一個(gè)二次函數(shù)，在[﹣1，1]上單調(diào)遞減， ∴值域?yàn)閇﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案為：[﹣2，6]． 三、 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 例3、（1）（2013?資陽(yáng)一模）已知函數(shù) 若f（2m+1）＞f（m2﹣2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　（﹣1，3）　． 解：∵x≤1時(shí)，函數(shù)y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，函數(shù)y=x3+1在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又x≤1時(shí)

27、，﹣x2+2x+1≤2，x＞1時(shí)， x3+1＞2，∴函數(shù)，∴函數(shù)在R上單調(diào)增， ∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案為：（﹣1，3） （2）已知是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是 　（1，3）?。? 解：∵是R上的增函數(shù)， ∴∴a∈（1，3）故答案為：（1，3） （3）（2012?上海）已知y=f（x）是奇函數(shù)，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（﹣1）=　3　． 解：由題意y=f（x）是奇函數(shù)，g（x）=f（x）+2 ∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1 ∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1

28、）=3，故答案為3 （4）f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過(guò)（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），則f（2012）+f（2013）=　﹣3　． 解：由f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期為4的周期函數(shù)，所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（201

29、3）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案為：﹣3． 四、 函數(shù)的周期性 例4、（1）已知奇函數(shù)滿足的值為?????????? ?。 　　　解： ?　　　　 （2）設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x﹣2）=﹣f（x）對(duì)一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）=x3，則下列四個(gè)命題：①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2﹣x）3； ③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱．其中正確的命題是 ?、佗冖邰堋。?

30、 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∵f（x﹣2）=﹣f（x）對(duì)一切x∈R都成立，∴f（x﹣4）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確．當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x﹣2∈∈[﹣1，1]，f（x﹣2）=（x﹣2）3=﹣f（x），∴f（x）=（2﹣x）3，故②正確．∵f（x﹣2）=﹣f（x）， ∴f（1+x）=f（1﹣x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故③正確． ∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（2﹣x）3，∴f（2）=0，∵f（x﹣2）=﹣f（x）， ∴f（﹣x﹣2）=﹣f（﹣x）=f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x

31、+2）=﹣f（x﹣2），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對(duì)稱．故正確的命題有 ①②③④，故答案選 ①②③④． （2）若f（n）為n2+1（n∈N*）的各位數(shù)字之和，如 142+1=197，1+9+7=17則f（14）=17，記f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…，fk+1（n）=f[fk（n）]k∈N*，則f2010（8）=　8?。? 解：f1（8）=f（8）=64+1=656+5=11，f2（8）=f[f1（8）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5 f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8

32、） …所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案為：8 五、 函數(shù)圖像的對(duì)稱性 例5、（1）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱。 解：圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱。 （2）設(shè)．則　1006　． 解：若a+b=1，則f（a）+f（b）== ===1， 所以 =[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）] =1+1+…+1=1006．故答案為：1006． （3）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中： ①若f（x﹣2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；

33、②若f（x+2）=﹣f（x﹣2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)y=f（2+x）與函數(shù)y=f（2﹣x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；④函數(shù)y=f（x﹣2）與函數(shù)y=f（2﹣x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．其中正確的命題序號(hào)是?、堋。? 解：①不正確．因?yàn)閒（x﹣2）的圖象是由f（x）的圖象向右平移兩個(gè)單位而得到，結(jié)合f（x﹣2）是偶函數(shù)知，f（x）的圖象關(guān)于x=﹣2對(duì)稱， ②由f（x+2）=﹣f（x﹣2）變形得f（x+8）=f（x）是周期函數(shù)．不能得出函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不正確．③不正確，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（2+x）是由f（x）向左平移2個(gè)單位，函數(shù)y=f（2﹣

34、x）的圖象是由f（﹣x）的圖象向右平移2個(gè)單位，故兩函數(shù)的圖象仍然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． ④如圖所示，正確．故答案為：④ ．　六、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例6、（2013?上海春季）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是奇函數(shù)”． （1）將函數(shù)g（x）=x3﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)； （2）求函數(shù)h（x）= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)； （3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在

35、實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）﹣b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）． 解：（1）平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（1，﹣2）． （2）設(shè)h（x）= 的對(duì)稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）﹣b是奇函數(shù)．設(shè)f（x）=h（x+a）﹣b則f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2． 此時(shí)f（x）=﹣b，x∈（

36、﹣2，2）． 任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1， 所以函數(shù)h（x）= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（2，1）． （3）此命題是假命題．舉反例說(shuō)明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對(duì)稱圖象，但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù)． 修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”． 例7、已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R，F(xiàn)（x）=， （1）若f（﹣1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式； （2）

37、在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g（x）=f（x）+kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于0． 解：（1）依題意，有，解得，∴f（x）=x2+2x+1， ∴ （2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1， ∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸x=，∵g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)函數(shù)， ∴．解得 k≥0，或k≤﹣4． ∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）， （3）∵f（x）=ax2+bx+1為偶函數(shù)，∴b=0，即f（x）=ax

38、2+1（a＞0）， ∴ ∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨設(shè)n＜0＜m，則有0＜﹣n＜m， ∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m+n）（m﹣n）， ∴F（m）+F（n）＞0． 例8、（2012?上海）已知f（x）=lg（x+1） （1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范圍； （2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x∈[1，2]）的反函數(shù)． 解：（1）由解得：﹣1＜x＜1． 由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10， ∵x+1＞0，∴x

39、+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴．由得：． （2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由單調(diào)性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y， ∴所求反函數(shù)是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]． 例9、（2012?盧灣區(qū)二模）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”．（1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）若函數(shù)f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，

40、求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個(gè)數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）． 解：（1）對(duì)任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]， 當(dāng)且僅當(dāng)x2=﹣x1時(shí)，有， 故存在唯一x2∈[﹣1，1]，滿足， 所以1是函數(shù)f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”． （2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為﹣3； 當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知對(duì)任意的x1， 都有唯一的x2與之對(duì)應(yīng)，從而有f（x）=ax2﹣

41、2x（1＜x＜2）單調(diào)，故有或，解得a≥1或a＜0或，綜上，a的取值范圍是或a≥1．　　　　　　　　　 （3）①當(dāng)I=（a，b）或[a，b]時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”． 這時(shí)函數(shù)f（x）的“均值”為；　 ②當(dāng)I為（﹣∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”． 這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　 ③當(dāng)I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]時(shí)， 函數(shù)f（x）不存在“均值”．　　　　　　　　　　 ①當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，b）、[a，b]其中之一時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”． 這時(shí)函數(shù)f（x）的“均值”為；　

42、 ②當(dāng)且僅當(dāng)I為（﹣∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值”． 這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；　　　　　 ③當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一時(shí)，函數(shù)f（x）不存在“均值”． 例10、已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實(shí)常數(shù)． （1）若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1﹣x），求函數(shù)y=f（x），x∈[0，1]的值域； （2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式； （3）若當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)

43、間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）∵，∴． （2）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)，fn（x）=afn﹣1（x﹣1）=a2fn﹣1（x﹣2） ═anf1（x﹣n），fn（x）=an（x﹣n）（n+1﹣x）． （3）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)，fn（x）=afn﹣1（x﹣1）=a2fn﹣1（x﹣2） ═anf1（x﹣n），∴fn（x）=an?3x﹣n；顯然fn（x）=an?3x﹣n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當(dāng)a＞0時(shí)是增函數(shù)，此時(shí)∴fn（x）∈[an，3an]，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）

44、上是單調(diào)增函數(shù)，則必有an+1≥3an，解得：a≥3；顯然當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)；所以a≥3． 七、實(shí)戰(zhàn)演練 一．填空題 1、（2009?上海）將函數(shù)（x∈[0，6]）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ（0≤θ≤α），得到曲線C．若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則α的最大值為　arctan　． 解：先畫出函數(shù)（x∈[0，6]）的圖象，這是一個(gè)圓弧，圓心為M（3，﹣2），由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角大于∠MAB時(shí)，曲線C都不是一個(gè)函數(shù)的圖象，∴∠MAB=arctan，故答案為：arctan 2、（2013?上海

45、）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，則x0=　2　． 解：因?yàn)間（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1）， 所以對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解；當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解；所以當(dāng)x∈[0，2）

46、時(shí)方程f（x）﹣x=0即f（x）=x無(wú)解，又因?yàn)榉匠蘤（x）﹣x=0有解x0，且定義域?yàn)閇0，3]，故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案為：2． 3、（2008?湖南）設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f﹣1（x），且函數(shù)y=x﹣f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），則函數(shù)y=f﹣1（x）﹣x的圖象一定過(guò)點(diǎn)?。ī?，2）?。? 解析：由函數(shù)y=x﹣f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2）得：f（1）=﹣1，即函數(shù)y=f（x）過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），則其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)（﹣1，1），所以函數(shù)y=f﹣1（x）﹣x的圖象一定過(guò)點(diǎn)（﹣1，

47、2）． 3、（2011?上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，則f（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤﹣2，7]　． 解：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1） ，函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間[0，1]【正好是一個(gè)周期區(qū)間長(zhǎng)度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+1∈[1，2]，此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]時(shí)，f（t）∈[﹣1，6]…（1） 同理

48、，令x+2=t，在當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+2∈[2，3]，此時(shí)，f（t）=t+g（t） =（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2，所以，當(dāng)t∈[2，3]時(shí)，f（t）∈[0，7]…（2） 由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇﹣2，7] 故答案為：[﹣2，7]． 4、（2011?閘北區(qū)二模）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)f（x）+g（x）的值域?yàn)閇1，3），則f（x）﹣g（x）的值域?yàn)椤。ī?，﹣1]　． 解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，得到f（﹣x）=﹣f（x），g（

49、﹣x）=g（x），∵1≤f（x）+g（x）＜3，且f（x）和g（x）的定義域都為R， 把x換為﹣x得：1≤f（﹣x）+g（﹣x）＜3，變形得：1≤﹣f（x）+g（x）＜3，即﹣3＜f（x）﹣g（x）≤﹣1，則f（x）﹣g（x）的值域?yàn)椋ī?，﹣1]． 故答案為：（﹣3，﹣1] 5、在直角坐標(biāo)系中，如果兩點(diǎn)A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)（[A，B]與[B，A]看作一組）．函數(shù)g（x）=關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為　2?。? 解：由題意可知g（x）=sin，x≤0，則函數(shù)g（x）=sin，x≤0， 關(guān)于

50、原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為h（x）=sin，x＞0，則坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)h（x）=sin，x＞0，g（x）=log4（x+1），x＞0的圖象如題，由圖象可知，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)g（x）=關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為2組．故答案為：2． 6．（2013?上海）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為　．?。? 解：因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0； 當(dāng)x＞0時(shí)，則﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7，因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x

51、）=9x+﹣7；因?yàn)閒（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，所以當(dāng)x=0時(shí)，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；當(dāng)x＞0時(shí)，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因?yàn)?x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案為． 7．（2012?上海）若f（x）=為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m=　﹣2?。? 解：∵f（x）=為奇函數(shù)，∴f（﹣1）=﹣f（1） 即m﹣1=3（1+m）∴m=﹣2故答案為：﹣2 8．（2012?上海）已知函數(shù)f（x）=e|x﹣a|（a為常數(shù)）．若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是?。ī仭蓿?]?。? 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（

52、x）=e|x﹣a|（a為常數(shù)）．若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù) 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有t=|x﹣a|在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，又t=|x﹣a|在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，所以[1，+∞）?[a，+∞），故有a≤1，故答案為（﹣∞，1] 9．（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2， 則g（﹣1）=　﹣1　． 解：由題意，y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3，所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1，故答案為﹣1 10．（2013?四川）

53、已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是?。ī?，3）?。? 解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）＜5可化為 f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案為：（﹣7，3）． 11．（2013?黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間，使得{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?。?，4]?。? 解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為

54、減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)閰^(qū)間，由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，則，即． 說(shuō)明方程有兩個(gè)大于實(shí)數(shù)根．由得：． 零，則t∈（0，3）．則m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．由t∈（0，3）， 所以m∈（0，4]．所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，4]．故答案為（0，4]． 12．f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過(guò)（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），則f（2012）+f（2013）=　﹣3?。? 解：由f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)，得f（﹣x）=f（x）， g（﹣

55、x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1） =﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2）， 所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期為4的周期函數(shù)， 所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3， f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0， 所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案為：﹣3． 13．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為Df，Dg，且Df?Dg．若對(duì)于任意x∈Df，都有g(shù)（x）=f

56、（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在Dg上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）為f（x）在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則 g（x）=　x2﹣2|x|?。? 解：由題意可得當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=f（x）=x2+2x，由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)可得， g（﹣x）=g（x），當(dāng)x＞0時(shí)，則﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，則g（x）=x2﹣2x ∴g（x）=x2﹣2|x|，故答案為：x2﹣2|x| 14．（2013?普陀區(qū)一模）已知函數(shù)，設(shè)a＞b≥0，若f（a）=f（b），則b?f（a）的取值范圍是　?。? 解：由函數(shù)，作出其圖象如圖，因?yàn)楹瘮?shù)f

57、（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是單調(diào)函數(shù)，所以，若滿足a＞b≥0，時(shí)f（a）=f（b）， 必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由圖可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1）， f（a）∈[，2）．由不等式的可乘積性得：b?f（a）∈[，2）．故答案為[，2）． 15． 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，若f（998）=1002，則f（2012）=　2016?。? 解：由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x+6）≤f（x+3）+3≤f（x）+6； 由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+6）≥f（x+

58、4）+2≥f（x+2）+4≥f（x）+6， 所以f（x）+6≤f（x+6）≤f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6． 所以f（2012）=f（998+169×6）=f（998+168×6）+6=f（998+167×6）+12=…=f（998）+169×6=1002+1014=2016．故答案為：2016． 16．（2010?西城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．若存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)，如果定義域是[﹣1，+∞）的函數(shù)f（x）=x2為[﹣1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)．求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：在[﹣

59、1，+∞）上的任意x（設(shè)x=x+m）有y≥﹣1恒成立，則x+m≥﹣1恒成立，即m≥﹣1﹣x恒成立．對(duì)于x∈[﹣1，+∞），當(dāng)x=﹣1時(shí)﹣1﹣x最大為0，所以有m≥0．又因?yàn)閒（x+m）≥f（x），即（x+m）2≥x2在x∈[﹣1，+∝）上恒成立，化簡(jiǎn)得m2+2mx≥0，又因?yàn)閙≥0，所以m+2x≥0即m≥﹣2x恒成立，當(dāng)x=﹣1時(shí)﹣2x最大為2，所以m≥2，綜上可知m≥2． 17．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．則f（2013）=　4024[f（1）]2 +f（1）?。? 解：由題意知，f（2013）=f（2012+

60、12）=f（2012）+2[f（1）]2， f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2， f（2011）=f（2010）+2[f（1）]2， f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2， … f（2）=f（1）+2[f（1）]2， 故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]2×2012=4024[f（1）]2+f（1） 故答案為 4024[f（1）]2 +f（1） 18．（2013?浙江模擬）定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f

61、（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　?。? 解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，恒成立即k恒大于等于，則k≥的最大值，所以本題即求的最大值．由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，），AB方程y=（x﹣1），由圖象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式），故實(shí)數(shù)k的取值范圍為　 二．解答題　 19．（2012?交大附中）若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，滿足對(duì)任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），則稱f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域?yàn)镽，g（x）恒大于0，且對(duì)任意x1

62、，x2∈R，有l(wèi)gg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），則稱g（x）為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”． （1）當(dāng)f（x）=x2時(shí)，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由； （2）當(dāng)g（x）=x2+2時(shí)，證明：g（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)； （3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，問(wèn)f（x）是否為對(duì)數(shù)V形函數(shù)？證明你的結(jié)論． （1）解：f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2﹣（+）=2x1x2 ∵x1，x2∈R，∴2x1x2符號(hào)不定，∴當(dāng)2x1x2≤0時(shí)，f（x）是V形函數(shù)；當(dāng)2x1x2＞0時(shí)，f（x）不是V形函數(shù)； （2）證明：假設(shè)對(duì)任意

63、x1，x2∈R，有l(wèi)gg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2）， 則lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）=lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，顯然成立， ∴假設(shè)正確，g（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)； （3）解：f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù) 證明：∵f（x）是V形函數(shù)，∴對(duì)任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）， ∵對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，∴+≤1， ∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1

64、+x2）≤f（x1）f（x2）， ∴l(xiāng)gf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)． 20．（2012?楊浦區(qū)一模）若函數(shù)y=f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數(shù)”． （1）判斷下列函數(shù)，是否為“Ω函數(shù)”，并說(shuō)明理由； ①f（x）=x3 ②f（x）=2x（2）已知函數(shù)f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）． 解：（1）①若f（x）=x3 是“Ω函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）=b，即（a2﹣x2）3=b

65、時(shí)，對(duì)x∈R恒成立 而x2=a2﹣?zhàn)疃嘤袃蓚€(gè)解，矛盾，因此f（x）=x3 不是“Ω函數(shù)”…（3分） ②若f（x）=2x是“Ω函數(shù)”，則存在常數(shù)a，b使得2a+x?2a﹣x=22a， 即存在常數(shù)對(duì)（a，22a）滿足，因此f（x）=2x是“Ω函數(shù)”（6分） （2）解：函數(shù)f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”， 設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）滿足，則tan（a﹣x）tan（a+x）=b恒成立 當(dāng)a=kπ+，k∈Z時(shí)，tan（a﹣x）tan（a+x）=﹣cot2x，不是常數(shù)； 　…（8分） 因此a≠kπ+，k∈Z，當(dāng)x≠mπ+，m∈Z時(shí)，則有（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=

66、0恒成立，所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0，∴tan2a=1，b=1 ∴a=kπ+，k∈Z，b=1 　…（13分） ∴當(dāng)x=mπ+，m∈Z，a=kπ±時(shí)，tan（a﹣x）tan（a+x）=cot2a=1． 因此滿足f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）=（kπ±，1）， 22．給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f（x0）∈D，則稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉． （1）若定義域D1=（0，1），判斷下列函數(shù)中哪些在D1上封閉（寫出推理過(guò)程）：f1（x）=2x﹣1，f2（x）=﹣﹣+1，f3（x）=2x﹣1； （2）若定義域D2=（1，2），是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=在D2上封閉？若存在，求出a的值，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f1（x0）∈（﹣1，1）?D1，故函數(shù)f1（x）=2x﹣1在D1上不封閉；同理，f2（x）=﹣﹣+1 =﹣+∈（0，1）；f3（x）=2x﹣1∈（0，1），故在D1上封閉； （2）f（x）=，對(duì)稱中心為（﹣