數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2

《數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離 新人教A版必修2（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)目標定位1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.能運用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化.1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自 主 預(yù) 習文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言圖形語言作用線面垂直線線平行作平行線ab2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，則_垂直于_的直線與另一個平面_符號語言圖形語言作用面面垂直_垂直作面的垂線aal一個平面內(nèi)交線垂直線面即 時 自 測1.判斷題(1)兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，另一

2、條也垂直于這個平面.( )(2)垂直于同一平面的兩個平面平行.( )(3)如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直 線在第一個平面內(nèi).即，A，Ab，bb.( )(4)如果平面平面，那么平面內(nèi)的所有直線都垂直于平面.( )提示(2)垂直于同一平面的兩個平面可以相交也可以平行.(4)直線與平面位置關(guān)系不確定.2.ABC所在的平面為，直線lAB，lAC，直線mBC，mAC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定解析因為lAB，lAC，AB，AC且ABACA，所以l，同理可證m，所以lm.答案C3.在長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點

3、E，作EFA1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直解析在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正確.答案D4.已知a、b為直線，、為平面.在下列四個命題中，正確的命題是_(填序號).若a，b，則ab；若a，b，則ab；若a，a，則；若b，b，則.解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知假；由“垂直于同一直線的兩平面平行

4、”知真；易知假.答案類型一直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交.求證：EFBD1. 證明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可證BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.規(guī)律方法證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行公理：證

5、兩線同時平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.【訓(xùn)練1】 如圖，已知平面平面l，EA，垂足為A，EB，垂足為B，直線a，aAB.求證：al.證明因為EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因為EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.類型二平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】 已知：、是三個不同平面，l為直線，l.求證：l.證明法一設(shè)a，b，在內(nèi)任取一點P，過P在內(nèi)作直線ma

6、，nb，如圖.，m，n，又l，ml，nl，又mnP，l.法二如圖，a，b，在內(nèi)作ma，在內(nèi)作nb.，m，n，mn.又n，m ，m，又l，m，ml，l.規(guī)律方法1.證明或判定線面垂直的常用方法有：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理；(3)若ab，a則b；(a，b為直線，為平面).(4)若a，則a；(a為直線，為平面).2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線.【訓(xùn)練2】 設(shè)平面平面，點P在平面內(nèi)，過點P作平面的垂線a，試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.解如圖，設(shè)c，過點P在平面內(nèi)作直線bc.根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有

7、b.因為過一點有且只有一條直線與平面垂直，所以直線a與直線b重合，因此a.類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用(互動探究)【例3】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且DAB60，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB.思路探究探究點一運用面面垂直的性質(zhì)定理的一般策略是什么？提示運用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般要作輔助線：過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直或線線垂直了.探究點二線線、線面、面面垂直關(guān)系之間有怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？提示證明(1)在菱形ABCD中，D

8、AB60，ABD為正三角形，又G為AD的中點，BGAD.又平面PAD平面ABCD，BG平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)連接PG，如圖，PAD為正三角形，G為AD的中點，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.【訓(xùn)練3】 如圖，已知四棱錐PA

9、BCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請證明你的結(jié)論.解PA與BD相互垂直.證明如下：如圖，取BC的中點O，連接PO、AO.PBPC，POBC，又側(cè)面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO底面ABCD，又BD平面ABCD.POBD，在直角梯形ABCD中，易證ABO BCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90，AOBD，又POAOO，BD平面PAO，BDPA，即PA與BD相互垂直.課堂小結(jié)1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的

10、依據(jù).2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：1.下列說法正確的是()A.垂直于同一條直線的兩直線平行B.垂直于同一條直線的兩直線垂直C.垂直于同一個平面的兩直線平行D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行解析由線面垂直的性質(zhì)定理知C正確.答案C2.設(shè)l是直二面角，直線a，直線b，a，b與l都不垂直，那么()A.a與b可能垂直，但不可能平行B.a與b可能垂直，也可能平行C.a與b不可能垂直，但可能平行D.a與b不可能垂直，也不可能平行因為，所以a，又b，ab，b，而l，bl，與b和l不垂直矛盾，所以B錯.解析當a，b都與l平行時，則ab，所以A、D錯，如圖，若ab過a上一點P在內(nèi)作al，答案C3.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，則PB_.4.如圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，求證：平面SCD平面SBC.證明底面ABCD是矩形，BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面SCD.又BC平面SBC，平面SCD平面SBC