2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 階段復(fù)習(xí)課 第2課 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5

《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 階段復(fù)習(xí)課 第2課 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 階段復(fù)習(xí)課 第2課 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二課　數(shù)列 [核心速填] 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 項(xiàng)目 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 an＝am＋(n－m)d an＝amqn－m 中項(xiàng) 若三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A＝ 若三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，這時(shí)G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G＝± 前n項(xiàng)和 公式 Sn＝＝na1＋d q≠1時(shí)， Sn＝ ＝ q＝1時(shí)，Sn＝na1 性 質(zhì) 下標(biāo)性質(zhì) m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq am·an＝ap·aq Sm， S2m－Sm， S3m－

2、S2m … 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列 [體系構(gòu)建] [題型探究] 等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算 　等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)設(shè){an}的公比為q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 則b3＝8，b5＝32. 設(shè){bn}的公差為d，則有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

3、 Sn＝＝6n2－22n. [規(guī)律方法]　 在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：91432240】

4、 [解]　(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1×(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－5

5、當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝5不適合上式． ∴an＝ (2)∵Sn＝3an＋1， ① ∴n≥2時(shí)，Sn－1＝3an. ② ①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an， ∴3an＋1＝4an， ∴＝，又a2＝S1＝a1＝. ∴n≥2時(shí)，an＝·n－2，不適合n＝1. ∴an＝ [規(guī)律方法]　數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 （1）定義法

6、，即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目. （2）已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可用公式an＝求解. （3）)累加或累乘法,形如an－an－1＝f（n）（n≥2）的遞推式，可用累加法求通項(xiàng)公式；形如＝f（n）（n≥2）的遞推式，可用累乘法求通項(xiàng)公式. [跟蹤訓(xùn)練] 2．設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通項(xiàng)公式. 【導(dǎo)學(xué)號：91432241】 [解]　∵an＋1－an＋an＋1·an＝0， ∴－＝1.又＝1， ∴是首

7、項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． 故＝n. ∴an＝. 等差(比)數(shù)列的判定 　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)設(shè)bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列． (2)設(shè)cn＝，求證：{cn}是等差數(shù)列． 思路探究：分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明． [證明]　(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. ＝＝＝＝2. 因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知

8、bn＝3·2n－1＝an＋1－2an， 所以－＝3. 所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2， 所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，公差為3，首項(xiàng)為2. [規(guī)律方法]　等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法 （1）定義法：an＋1－an＝d（常數(shù)）?{an}是等差數(shù)列；（q為常數(shù)，q≠0）?{an}是等比數(shù)列. （2）中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差數(shù)列；是等比數(shù)列. （3）通項(xiàng)公式法：an＝kn＋b（k，b是常數(shù)）?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn（c，q為非零常數(shù)）?{an}是等比數(shù)列. （4）前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù)，n∈N*）?{an}是等差

9、數(shù)列；Sn＝Aqn－A（A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*）?{an}是等比數(shù)列. 特別提醒：①前兩種方法是判定等差、等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(比)數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等差(比)即可. [跟蹤訓(xùn)練] 3．(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，

10、所以，a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 數(shù)列求和 [探究問題] 1．若數(shù)列{cn}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，且an＝cn＋bn，如何求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和？ 提示：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于數(shù)列{cn}和{bn}的前n項(xiàng)和的和． 2．有些數(shù)列單獨(dú)看求和困難，但相鄰項(xiàng)結(jié)合

11、后會(huì)變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和．試用此種方法求和： 12－22＋32－42＋…＋992－1002. 提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002) ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050. 3．我們知道＝－，試用此公式求和：＋＋…＋. 提示：由＝－得 ＋＋…＋ ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kcn－k(其中c、k為常數(shù))，且a2＝4，a6＝8a3， (1)求an； (2)求數(shù)

12、列{nan}的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：91432242】 思路探究：(1)已知Sn，據(jù)an與Sn的關(guān)系an＝確定an；(2)若{an}為等比數(shù)列，則{nan}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的新數(shù)列，則可用錯(cuò)位相減法求和． [解]　(1)當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)， 則a6＝k(c6－c5)， a3＝k(c3－c2)， ＝＝c3＝8， ∴c＝2. ∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4， 解得k＝2， ∴an＝2n. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2. 綜上所述，an＝2n(n∈N*)． (2)nan＝n·2n， 則Tn＝2＋2·22＋3·

13、23＋…＋n·2n， 2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， 兩式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， Tn＝2＋(n－1)·2n＋1. 母題探究：1.(變結(jié)論)例題中的條件不變，(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列{n＋an}的前n項(xiàng)和Tn”． [解]　由題知Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋ ＝2n＋1－2＋. 2．(變結(jié)論)例題中的條件不變，將(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列的前n項(xiàng)和Tn”． [解]　由題T

14、n＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得： 　Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－n－， ∴Tn＝2－－＝2－. [規(guī)律方法]　數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有： (1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式； (2)分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列. (3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式， 相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和. (4)錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成 的數(shù)列求和. (5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo). - 8 -