2019高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式 第一講 集合、常用邏輯用語學案 理

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1、 第一講　集合、常用邏輯用語 考點一　集合的概念及運算 1．集合的運算性質及重要結論 (1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A． (2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A． (3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U. (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A． 2．集合運算中的常用方法 (1)數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸法求解． (2)圖象法：若已知的集合是點集，用圖象法求解． (3)Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解． [對點訓練] 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z

2、，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 [解析]　由題意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9個元素，故選A． [答案]　A 2．(2018·江西南昌二中第四次模擬)設全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，則(?UB)∩A＝(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3) C．[0,3) D．(0,3) [解析]　集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0

3、，集合B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}． 因為全集U＝R，所以?UB＝{x|－10}＝{x|x<1}，則?U

4、B＝{x|x≥1}，陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}． [答案]　B 4．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若A∪B＝A，則實數(shù)m的取值范圍是________． [解析]　由A∪B＝A知B?A．因為A＝{x|－2≤x≤5}，①若B＝?，則m＋1>2m－1，即m<2，此時A∪B＝A；②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A得解得－3≤m≤3.又因為m≥2，所以2≤m≤3.由①②知，當m≤3時，A∪B＝A． [答案]　m≤3 [快速審題]　(1)看到集合中的元素，想到代表元素的意義；看到點集，想到其對應的幾何意義．

5、 (2)看到數(shù)集中元素取值連續(xù)時，想到借助數(shù)軸求解交、并、補集等；看到M?N，想到集合M可能為空集． 　解決集合問題的3個注意點 (1)集合含義要明確：構成集合的元素及滿足的性質． (2)空集要重視：已知兩個集合的關系，求參數(shù)的取值，要注意對空集的討論． (3)“端點”要取舍：要注意在利用兩個集合的子集關系確定不等式組時，端點值的取舍問題，一定要代入檢驗，否則可能產生增解或漏解現(xiàn)象． 考點二　充分與必要條件的判斷 充分、必要條件與充要條件的含義 若p、q中所涉及的問題與變量有關，p、q中相應變量的取值集合分別記為A，B，那么有以下結論： p與q的關系 集合關系

6、 結論 p?q，qp AB p是q的充分不必要條件 pq，q?p BA p是q的必要不充分條件 p?q，q?p A＝B p是q的充要條件 pq，qp AB，BA p是q的既不充分也不必要條件 [對點訓練] 1．(2018·北京卷)設a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2?2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|

7、＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，故選C． [答案]　C 2．(2017·天津卷)設θ∈R，則“<”是“sinθ<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　∵

8、，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因為綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件． [答案]　A 4．(2018·山西五校聯(lián)考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________________． [解析]　p對應的集合A＝{x|xm＋3}，q對應的集合B＝{x|－4

9、合間的包含關系． 　充分、必要條件的3種判斷方法 (1)利用定義判斷：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么，結論是什么． (2)從集合的角度判斷：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題． (3)利用等價轉化法：條件和結論帶有否定性詞語的命題，常轉化為其逆否命題來判斷真假． 考點三　命題真假的判定與命題的否定 1．四種命題的關系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 2．復合命題真假的判斷方法 含邏輯

10、聯(lián)結詞的命題的真假判斷：“p∨q”有真則真，其余為假；“p∧q”有假則假，其余為真；“綈p”與“p”真假相反． 3．全稱量詞與存在量詞 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)． [對點訓練] 1．(2018·山東泰安聯(lián)考)下列命題正確的是(　　) A．命題“?x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定為“?x∈[0,1]，都有x2－1≤0” B．若命題p為假命題，命題q是真命題，則(綈p)∨(綈q)為假命題 C．命題“若a與b的夾角為銳角，則a·b>0”及它的逆命題

11、均為真命題 D．命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0” [解析]　對于選項A，命題“?x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定為“?x∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A項錯誤；對于選項B，p為假命題，則綈p為真命題；q為真命題，則綈q為假命題，所以(綈p)∨(綈q)為真命題，故B項錯誤；對于選項C，原命題為真命題，若a·b>0，則a與b的夾角可能為銳角或零角，所以原命題的逆命題為假命題，故C項錯誤；對于選項D，命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0”，故選項D正確．因此選D． [答

12、案]　D 2．(2018·清華大學自主招生能力測試)“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　) A．?x∈R，x2－πx<0 B．?x∈R，x2－πx≤0 C．?x0∈R，x－πx0≤0 D．?x0∈R，x－πx0<0 [解析]　全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是“?x0∈R，x－πx0<0”．故選D． [答案]　D 3．(2018·湖南師大附中模擬)已知命題p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命題q：?x∈，sinx

13、[解析]　因為當x<0時，x>1，即2x>3x，所以命題p為假命題，從而綈p為真命題；因為當x∈時，x>sinx，所以命題q為真命題，所以(綈p)∧q為真命題，故選C． [答案]　C 4．(2018·豫西南五校聯(lián)考)若“?x∈，m≤tanx＋2”為真命題，則實數(shù)m的最大值為________． [解析]　由x∈可得－1≤tanx≤，∴1≤tanx＋2≤2＋，∵“?x∈，m≤tanx＋2”為真命題，∴實數(shù)m的最大值為1. [答案]　1 [快速審題]　(1)看到命題真假的判斷，想到利用反例和命題的等價性． (2)看到命題形式的改寫，想到各種命題的結構，尤其是特稱命題、全稱命題的否定，要改

14、變的兩個地方． (3)看到含邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷，想到聯(lián)結詞的含義． 　解決命題的判定問題應注意的3點 (1)判斷四種命題真假有下面兩個途徑，一是先分別寫出四種命題，再分別判斷每個命題的真假；二是利用互為逆否命題是等價命題這一關系來判斷它的逆否命題的真假． (2)要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立．要判定一個特稱(存在性)命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可． (3)含有量詞的命題的否定，需從兩方面進行：一是改寫量詞或量詞符號；二是否定命題的結論，兩者缺一不可． 1．(2

15、018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝(　　) A．{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} [解析]　化簡A＝{x|x<－1或x>2}，∴?RA＝{x|－1≤x≤2}．故選B． [答案]　B 2．(2018·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2} [解析]　∵A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故選C [答案]　C 3．(

16、2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 [解析]　集合A表示單位圓上的所有的點，集合B表示直線y＝x上的所有的點．A∩B表示直線與圓的公共點，顯然，直線y＝x經(jīng)過圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，故共有兩個公共點，即A∩B中元素的個數(shù)為2. [答案]　B 4．(2018·天津卷)設x∈R，則“<”是“x3<1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　由<得－

17、 由x3<1得x<1.當0f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________． [解析]　根據(jù)函數(shù)單調性的概念，只要找到一個定義域 為[0,2]的不單調函數(shù)，滿足在定義域內有唯一的最小值點，且f(x)min＝f(0)即可，除所給答案外，還可以舉出f(x)＝等． [答案]　f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一) 1.集合作為高考必考內容，

18、多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇題形式在前3題的位置進行考查，難度較小．命題的熱點依然會集中在集合的運算方面，常與簡單的一元二次不等式結合命題． 2．高考對常用邏輯用語考查的頻率較低，且命題點分散，其中含有量詞的命題的否定、充分必要條件的判斷需要關注，多結合函數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等內容命題。 熱點課題1　集合中的新定義問題 [感悟體驗] 1．(2018·山西四校聯(lián)考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“Ω集合”．給出下列4個集合： ①M＝； ②M＝；

19、③M＝{(x，y)|y＝cosx}； ④M＝{(x，y)|y＝lnx}． 其中是“Ω集合”的所有序號為(　　) A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④ [解析]　對于①，若x1x2＋y1y2＝0，則x1x2＋·＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①錯誤；對于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，則x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④錯誤．同理，可證得②和③都是正確的．故選A． [答案]　A 2．對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M且x?N}，MN＝(M－N)∪(N－M)．設A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，則AB＝(　　) A．

20、 B． C．∪[0，＋∞) D．∪(0，＋∞) [解析]　依題意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故AB＝∪[0，＋∞)．故選C． [答案]　C 專題跟蹤訓練(七) 一、選擇題 1．(2018·河北衡水中學、河南鄭州一中聯(lián)考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，則集合{2,7,8}是(　　) A．A∪B B．A∩B C．?U(A∩B) D．?U(A∪B) [解析]　解法一：由題意可知?UA＝{1,2,6,7,8}，?UB＝{2,4,5,7,8}，∴(?UA)∩(?UB)＝{2,7,8}．由集合的運算

21、性質可知(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，即?U(A∪B)＝{2,7,8}，故選D． 解法二：畫出韋恩圖(如圖所示)，由圖可知?U(A∪B)＝{2,7,8}．故選D． [答案]　D 2．(2018·湖北七市聯(lián)考)已知N是自然數(shù)集，設集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，則A∩B＝(　　) A．{0,2} B．{0,1,2} C．{2,3} D．{0,2,4} [解析]　∵∈N，∴x＋1應為6的正約數(shù)，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,

22、1,2}．故選B． [答案]　B 3．(2018·安徽安慶二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，則實數(shù)a＝(　　) A．－1 B．2 C．－1或2 D．1或－1或2 [解析]　因為B?A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝A． ①若a2－a＋1＝3，則a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2. 當a＝－1時，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，滿足條件； 當a＝2時，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，滿足條件． ②若a2－a＋1＝a，則a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此時集合A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，所以a＝

23、1應舍去． 綜上，a＝－1或2.故選C． [答案]　C 4．(2018·安徽皖南八校聯(lián)考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B的真子集個數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 [解析]　由得或 即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}， ∴A∩B的真子集個數(shù)為22－1＝3.故選B． [答案]　B 5．(2018·江西南昌模擬)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2] C．[－2,1] D．[2，＋∞)

24、 [解析]　集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，則B?A，所以有所以－2≤a≤1，故選C． [答案]　C 6．(2018·湖北武昌一模)設A，B是兩個非空集合，定義集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則A－B＝(　　) A．{0,1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{0,1,2,5} [解析]　∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|2

25、答案]　D 7．(2018·河南鄭州一模)下列說法正確的是(　　) A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1” B．“若am24x0成立 D．“若sinα≠，則α≠”是真命題 [解析]　對于選項A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故選項A錯誤；對于選項B，“若am23

26、x，故選項C錯誤；對于選項D，“若sinα≠，則α≠”的逆否命題為“若α＝，則sinα＝”，該逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故選D． [答案]　D 8．(2018·山東日照聯(lián)考)“m<0”是“函數(shù)f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　當m<0時，由圖象的平移變換可知，函數(shù)f(x)必有零點；當函數(shù)f(x)有零點時，m≤0，所以“m<0”是“函數(shù)f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零點”的充分不必要條件，故選A． [答案]　A 9．(2018·山西太原模擬)已

27、知命題p：?x0∈R，x－x0＋1≥0；命題q：若a，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) [解析]　x2－x＋1＝2＋≥>0，所以?x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p為真命題，綈p為假命題，又易知命題q為假命題，所以綈q為真命題，由復合命題真假判斷的真值表知p∧(綈q)為真命題，故選B． [答案]　B 10．(2018·陜西西安二模)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2}，則A∩B＝(　　) A．[－2,2] B．[0,2] C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞) [解析

28、]　由A＝，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)， 所以A∩B＝[2，＋∞)．故選D． [答案]　D 11．(2018·山西太原期末聯(lián)考)已知a，b都是實數(shù)，那么“2a>2b”是“a2>b2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　充分性：若2a>2b，則2a－b>1，∴a－b>0，∴a>B．當a＝－1，b＝－2時，滿足2a>2b，但a22b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，則|a|>|b|.

29、當a＝－2，b＝1時，滿足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．綜上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．故選D． [答案]　D 12．(2018·江西南昌二模)給出下列命題： ①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分條件； ②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分條件； ③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要條件； ④命題p：“?x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定為綈p：“?x∈R，都有exx－1”． 其中正確

30、命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]?、僖阎猘，b∈R，“a>1且b>1”能夠推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正確； ②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正確； ③已知a，b∈R，當a2＋b2≥1時，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，則(|a|＋|b|)2≥1，則|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5滿足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要條件，故③正確

31、； ④命題p：“?x0∈R，使e x0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定為綈p：“?x∈R，都有exx－1”，故④不正確． 所以正確命題的個數(shù)為2.故選C． [答案]　C 二、填空題 13．(2018·安徽“皖南八?！甭?lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，則A∩B＝________. [解析]　∵A＝{x|x2－x－6≤0}＝[－2,3]，B＝＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A∩B＝[－2,0)∪[1,3]． [答案]　[－2,0)∪[1,3] 14．若條件p：|x＋1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_

32、_______． [解析]　綈p是綈q的充分不必要條件等價于q是p的充分不必要條件，條件p：|x＋1|>2即x>1或x<－3.因為條件q：x>a，故a≥1. [答案]　a≥1 15．已知命題p：?x∈[2,4]，log2x－a≥0，命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命題“p∧綈q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　命題p：?x∈[2,4]，log2x－a≥0?a≤1.命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0?a≤－2或a≥1，由p∧綈q為真命題，得－20}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，設函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1，因為函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1圖象的對稱軸為直線x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù)，則這個整數(shù)為2，所以有即 所以即≤a<. [答案]　 14