2019年高考數學一輪復習 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學案 理 北師大版

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1、 第二節(jié)　不等式的證明 [考綱傳真]　(教師用書獨具)通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． (對應學生用書第206頁) [基礎知識填充] 1．基本不等式 定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理2：如果a，b為正數，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立． 定理3：如果a，b，c為正數，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 定理4：(一般形式的算術—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代數形式：設a，b，c

2、，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當且僅當ad＝bc時，等號成立)． (2)柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ時，等號成立． (3)柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 則＋≥. (4)柯西不等式的一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號

3、成立． 3．不等式的證明方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等． (1)比較法： ①比差法的依據是：a－b>0?a>b步驟是：“作差→變形→判斷差的符號”．變形是手段，變形的目的是判斷差的符號． ②比商法：若B>0，欲證A≥B，只需證≥1. (2)綜合法與分析法： ①綜合法：利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因導果”的方法． ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫

4、作分析法．即“執(zhí)果索因”的方法． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結論．(　　) (2)綜合法是從原因推導到結果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經過逐步推理，最后達到待證的結論．(　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結論出發(fā)，一步一步地尋求結論成立的必要條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實．(　　) (4)使用反證法時，“反設”不能作為推理的條件應用．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，

5、則x與y的大小關系是(　　) A．x＞y　　　　　　　 B．x＜y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝. 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] 3．若a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b A　[“分子”有理化得a＝，b＝，c＝， 所以a>b>c.] 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________. 【導學號：79140398】 4　[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， 所以＋＝(a＋b

6、)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 當且僅當a＝b＝時等號成立．] 5．已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [證明]　因為x＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. (對應學生用書第207頁) 比較法證明不等式 　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋. [證明]　法一：∵－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋. 法二：由于＝ ＝ ＝－1 ≥－1＝1. 又a＞0，b＞0，＞0， ∴＋≥＋. [規(guī)律方法]　作差比較法證明不等式的步驟：(1)作

7、差；(2)變形；(3)判斷差的符號；(4)下結論.其中“變形”是關鍵，通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質判斷出差的正負. 注：作商比較法也有類似的步驟，但注意其比較的是兩個正數的大小，且第(3)步要判斷商與“1”的大小. [跟蹤訓練]　(2018·臨川一中)設a≠b，求證：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)． [證明]　因為a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2) ＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2 ＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4. 又a≠b，所以(a－b)4>0， 所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b

8、2)． 綜合法證明不等式 　(2017·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [證明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. [規(guī)律方法]　1.綜合法證明的實質是由因導果，其證明的邏輯關系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數學定義、定

9、理、公理，B為要證結論)，它的常見書面表達式是“∵，∴”或“?”. 2.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯系.合理進行轉換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵. [跟蹤訓練]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8； (2)≥9. [證明]　(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＋＝＋＋ ＝2＝2 ＝2＋4≥4＋4＝8 (當且僅當a＝b＝時，等號成立)，∴＋＋≥8. (2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8. ∴≥9. 用分析法證明不等式 　(1)設a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b

10、＋c≥； (2)設x≥1，y≥1，求證x＋y＋≤＋＋xy. 【導學號：79140399】 [證明]　(1)因為a，b，c>0， 所以要證a＋b＋c≥， 只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)成立． 所以原不等式成立． (2)由于x≥1，y≥1， 要證x＋y＋≤＋＋xy， 只需證xy(x＋y)＋1≤y

11、＋x＋(xy)2. 因為[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因為x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 從而所要證明的不等式成立． [規(guī)律方法]　分析法證明不等式的注意事項：用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時，應正確使用“要證”“只需證”這樣的連接

12、“關鍵詞”. [跟蹤訓練]　(2018·廣州綜合測試(二))(1)已知a＋b＋c＝1，證明：(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥； (2)若對任意實數x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，求實數a的取值范圍． [證明]　(1)法一：因為a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2＋5. 所以要證(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥， 只需證a2＋b2＋c2≥. 因為a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca) ≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)， 所以3(a2

13、＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2. 因為a＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2≥. 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥. 法二：因為a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2＋5. 所以要證(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥， 只需證a2＋b2＋c2≥. 因為a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c， 所以a2＋b2＋c2＋≥(a＋b＋c)． 因為a＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2≥. 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥. 法三：因為(a＋1)2＋≥(a＋1)， (b

14、＋1)2＋≥(b＋1)， (c＋1)2＋≥(c＋1)， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＋≥[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]． 因為a＋b＋c＝1， 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥. (2)設f(x)＝|x－a|＋|2x－1|， 則“對任意實數x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立”等價于“f(x)min≥2”． 當a<時，f(x)＝ 此時f(x)min＝f＝－a， 要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必須－a≥2， 解得a≤－. 當a＝時，f(x)＝＋|2x－1|＝3≥2，即≥不可能恒成立． 當a>時，f(x)＝ 此時f(

15、x)min＝f＝a－， 要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必須a－≥2， 解得a≥. 綜上所述，實數a的取值范圍為∪. 柯西不等式的應用 　已知x，y，z均為實數． (1)若x＋y＋z＝1，求證：＋＋≤3； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． [解]　(1)證明：因為(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27. 所以＋＋≤3. 當且僅當x＝，y＝，z＝0時取等號． (2)因為6＝x＋2y＋3z≤·， 所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝，即x＝，y＝，z＝時，x2＋y2＋z2有最小值. [規(guī)律方法

16、]　1.使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明. 2.利用柯西不等式求最值的一般結構為：(a＋a＋…＋a≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊常數且應注意等號成立的條件. [跟蹤訓練]　(2017·江蘇高考)已知a，b，c，d為實數，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. [證明]　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 8