2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.2 基本不等式教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、2.2 基本不等式 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.掌握基本不等式的內(nèi)容.2.能熟練地運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用基本不等式來證明簡單的不等式.4.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.5.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． 教學(xué)重點：1.理解基本不等式的內(nèi)容及其證明過程.2.運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小及進行簡單的證明.3.運用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題． 教學(xué)難點：基本不等式條件的創(chuàng)設(shè)． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一　　　基本不等式 如果a>0，b>0，則≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．我們把這個不等式稱為基本不等式． 知識點二

2、　　　算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)及相關(guān)結(jié)論 在基本不等式中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)． 基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 知識點三　　　基本不等式與最大(小)值 當(dāng)x，y均為正數(shù)時，下面的命題均成立： (1)若x＋y＝S(S為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy取得最大值；(簡記：和定積有最大值) (2)若xy＝P(P為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y取得最小值2.(簡記：積定和有最小值) 知識點四　　　基本不等式的實際應(yīng)用 基本不等式常用于求解與最值有關(guān)的實際問題，具體步驟如下： (1)先理解題意，設(shè)出變量，設(shè)變量時一般把

3、要求最大值或最小值的變量定為因變量． (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題． (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值． (4)根據(jù)實際意義寫出正確的答案． 【新知拓展】 1．由基本不等式變形得到的常見結(jié)論 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)≤≤ (a，b均為正實數(shù))； (3)＋≥2(a，b同號)； (4)(a＋b)≥4(a，b同號)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．利用基本不等式證明不等式時應(yīng)注意的問題 (1)注意基本不等式成立的條件； (2)多次使用基本不等式，要注意等號能否成立； (3

4、)對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用． 3．利用基本不等式的解題技巧與易錯點 (1)利用基本不等式求最值常用構(gòu)造定值的技巧： ①加項變換； ②拆項變換； ③統(tǒng)一換元； ④平方后再用基本不等式． (2)易錯點 ①易忘“正”，忽略了各項均為正實數(shù)； ②忽略忘記“定”，用基本不等式時，和或積為定值； ③忽略忘記“等”，用基本不等式要驗證等號是否可以取到； ④忽略忘記“同”，多次使用基本不等式時，等號成立的條件應(yīng)相同． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)≥對于任意實數(shù)a，b都成立．(　　) (2)若a>0，b>0，且a

5、≠b，則a＋b>2.(　　) (3)若a>0，b>0，則ab≤2.(　　) (4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，則ab≤64.(　　) (5)若ab＝2，則a＋b的最小值為2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)不等式m2＋1≥2m等號成立的條件是________． (2)＋≥2成立的條件是________． (3)x＞1，則x＋的最小值為________． (4)已知p，q∈R，pq＝100，則p2＋q2的最小值是________． (5)若a>0，b>0，且a＋b＝2，則＋的最小值為____

6、____． 答案　(1)m＝1　(2)a與b同號　(3)3　(4)200　(5)2 題型一 對基本不等式的理解　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　給出下面三個推導(dǎo)過程： ①因為a>0，b>0，所以＋≥2 ＝2； ②因為a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因為x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正確的推導(dǎo)過程為(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　從基本不等式成立的條件考慮． ①因為a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的條件，故①的推導(dǎo)過程正確； ②因為a∈R，a≠0不符合基本不等式成

7、立的條件， 所以＋a≥2＝4是錯誤的； ③由xy<0得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中將＋看成一個整體提出負(fù)號后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式成立的條件，故③正確． [答案]　D 金版點睛 基本不等式≥(a>0，b>0)的兩個關(guān)注點 (1)不等式成立的條件：a，b都是正實數(shù)． (2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義： ①當(dāng)a＝b時，≥的等號成立， 即a＝b?＝； ②僅當(dāng)a＝b時，≥的等號成立， 即＝?a＝b. 　下列命題中正確的是(　　) A．當(dāng)a，b∈R時，＋≥2 ＝2 B．當(dāng)a＞0，b＞0時，(a＋b)≥4 C．當(dāng)a＞4時，a＋≥2 ＝6 D．當(dāng)a＞0，b＞0時，≥ 答案

8、　B 解析　A項中，可能＜0，所以不正確；B項中，因為a＋b≥2＞0，＋≥2＞0，相乘得(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以正確；C項中，a＋≥2 ＝6中的等號不成立，所以不正確；D項中，由基本不等式，知≤(a＞0，b＞0)，所以D不正確． 題型二 利用基本不等式比較大小　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　已知a＞1，則，，三個數(shù)的大小順序是(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜≤ [解析]　當(dāng)a，b均為正數(shù)時，有≤≤≤ ， 令b＝1，得≤≤. 又a＞1，即a≠b，故上式不能取等號，應(yīng)選C. [答案]　C [題型探究]　對一

9、切正數(shù)m，不等式n＜＋2m恒成立，求常數(shù)n的取值范圍． 解　當(dāng)m>0時，由基本不等式，得 ＋2m≥2＝4，且當(dāng)m＝時，等號成立，故n的取值范圍為n＜4. 金版點睛 利用基本不等式比較大小 在利用基本不等式比較大小時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形．在拆項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能． 　已知：a>0，b>0，且a＋b＝1，試比較＋，，4的大?。? 解　∵a＞0，b＞0，a＋b≥2， ∴ab≤. ∴＋＝＝≥4， ＝＝－ab≥－＝， 即≤4

10、. ∴＋≥4≥. 題型三 利用基本不等式求函數(shù)的最值　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　(1)求函數(shù)y＝＋x(x>3)的最小值； (2)已知03，∴x－3>0，>0， ∴y≥2＋3＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)＝x－3，即x＝4時，y有最小值5. (2)∵00， y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x) ≤2＝. 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1－3x，即x＝時，取等號， ∴當(dāng)x＝時，函數(shù)取得最大值. (3)∵x>－1，∴

11、x＋1＞0， y＝ ＝ ＝x＋1＋＋1 ≥2＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝時， 即x＝－1時，函數(shù)y的最小值為2＋1. [變式探究]　在本例(1)中把“x>3”改為“x<3”，則函數(shù)y＝＋x的最值又如何？ 解　∵x<3，∴x－3<0， ∴y＝＋x＝－－(3－x)＋3 ＝－＋3≤－2＋3 ＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝2時，取等號． 故函數(shù)y＝＋x(x<3)有最大值1，沒有最小值． 金版點睛 利用基本不等式求函數(shù)的最值 (1)利用基本不等式求函數(shù)最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式

12、的條件． (2)等號取不到時，注意利用求函數(shù)最值的其他方法． 　(1)已知x<，則函數(shù)y＝4x－2＋的最大值為________； (2)若x>1，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　(1)1　(2)4 解析　(1)∵x<，∴5－4x>0. ∴y＝4x－2＋＝－＋3 ≤－2＋3＝－2＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝， 即x＝1時，上式等號成立． 故當(dāng)x＝1時，ymax＝1. (2)∵x＞1，∴x－1＞0. ∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x－1，即x＝2時，等號成立， 故當(dāng)x＝2時，ymin＝4. 題型四 利用

13、基本不等式證明不等式　　 例4　已知a，b，c是不全相等的三個正數(shù)， 求證：＋＋＞3. [證明]?。剑?＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正數(shù)， ∴＋≥2 ＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∴＋＋≥6. ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時取等號， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 金版點睛 利用基本不等式證明不等式 (1)利用基本不等式證明不等式時，可依據(jù)求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)，合理選擇基本不等式及其變形不等式來證，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可變形為ab≤；≥(a>0，b>0)可變形為ab≤2等．同時要從整體上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2

14、b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是對“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的靈活應(yīng)用． (2)在證明條件不等式時，要注意“1”的代換，另外要特別注意等號成立的條件． 　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1. 求證：＋＋≥10. 證明?。? ＝＋＋ ＝4＋＋＋ ≥4＋2＋2＋2＝10， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號． ∴＋＋≥10. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 題型五 利用基本不等式求代數(shù)式的最值　　 例5　(1)已知x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；

15、 (3)已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值． [解]　(1)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12時，上式取等號． 故當(dāng)x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16. (2)∵2x＋y＋6＝xy， ∴y＝，x＞1，xy＝＝＝＝2＝2≥2×＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，等號成立． (3)因為1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2，所以(x＋y)2≤， 即x＋y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＞0且x2＋y2＋xy＝1， 即x＝y(tǒng)＝時，等號成立，x＋y的最大值為. [結(jié)論探

16、究]　若本例(1)中的條件不變，如何求xy的最小值． 解　＋＝≥＝＝， 又因為＋＝1，所以≤1，≥6，xy≥36， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝9x，即x＝2，y＝18時，等號成立． 所以(xy)min＝36. 金版點睛 利用基本不等式求代數(shù)式的最值 (1)利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通?；?或利用)積為定值；若是求積的最大值，通?；?或利用)和為定值，解答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項或配湊因式． 　(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，求＋的最小值； (2)已知x>0

17、，y>0，且滿足＋＝1，求xy的最大值． 解　(1)∵x，y為正數(shù)，且x＋2y＝1， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)x＝－1，y＝1－時等號成立． ∴＋的最小值為3＋2. (2)∵＋＝1，∴1＝＋≥2＝. ∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝即x＝，y＝2時等號成立． ∴xy≤3，即xy的最大值為3. 題型六 利用基本不等式解決實際問題　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例6　某投資公司計劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤y1與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y1＝18－，B產(chǎn)品的利潤y2與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為y2＝(注：利潤與投資金額單位：

18、萬元)． (1)該公司已有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中，其中x萬元資金投入A產(chǎn)品，試把A，B兩種產(chǎn)品利潤總和表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍； (2)在(1)的條件下，試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？ [解]　(1)其中x萬元資金投入A產(chǎn)品，則剩余的(100－x)萬元資金投入B產(chǎn)品， 利潤總和y＝18－＋＝38－－(x∈[0,100])． (2)∵y＝40－－，x∈[0,100]， ∴由基本不等式，得y≤40－2＝28，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝20時，等號成立． 答：分別用20萬元和80萬元資金投資A，B兩種金融產(chǎn)品，可以使

19、公司獲得最大利潤，最大利潤為28萬元． 金版點睛 利用基本不等式解決實際問題應(yīng)遵循的三點 (1)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義，從而指明函數(shù)的定義域； (2)一般利用基本不等式求解最值問題時，通常要指出取得最值時的條件，即“等號”成立的條件； (3)在求函數(shù)最值時，除應(yīng)用基本不等式外，有時會出現(xiàn)基本不等式取不到等號，此時要利用其他方法求解． 　某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價為150元，池壁每1 m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？最低總造價是多少？ 解　設(shè)水池底面一邊的長度為x m

20、，則另一邊的長度為 m. 又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得y＝150×＋120× ＝240000＋720× ≥240000＋720×2 ＝297600(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝40時，y取得最小值297600. 所以水池底面為正方形且邊長為40 m時總造價最低，最低總造價為297600元． 1．若a＞b＞0，則下列不等式中總成立的是(　　) A.＜＜ B.≥≥ C.＞＞ D.<＜ 答案　C 解析　∵a>b>0，∴＜＝＜，故選C. 2．已知x＞0，y＞0，x≠y，則下列四個式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. 答案　C

21、解析　解法一：∵x＋y＞2， ∴＜，排除D； ∵＝＝＞＝， ∴排除B； ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)， ∴＞ ，排除A.故選C. 解法二：取x＝1，y＝2. 則＝；＝； ＝；＝＝. 其中最?。蔬xC. 3．若a＞0，則代數(shù)式a＋(　　) A．有最小值10 B．有最大值10 C．沒有最小值 D．既沒有最大值也沒有最小值 答案　A 解析　利用基本不等式，得a＋≥2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝5時，取得最小值10. 4．當(dāng)x>時，函數(shù)y＝x＋的最小值為________． 答案　 解析　因為x>，所以x－>0，所以y＝x＋＝＋＋≥2＋＝4＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)x－＝，即x＝時，取“＝”． 5．某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位：萬元)與營運年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－10(x－6)2＋110(x∈N*)，求每輛客車營運多少年，可使其運營的年平均利潤最大． 解　因為＝－10＋120≤－20＋120＝20，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝5時，等號成立，所以每輛客車營運5年，可使其運營的年平均利潤最大． - 14 -