2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關(guān) 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案

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1、 第二章 函數(shù)與導數(shù) 第1課時 函數(shù)及其表示(對應學生用書(文)、(理)9~11頁) ① 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分,以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主,同時考查學生在實際問題中的建模能力. ② 本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中,要求相對較低,但很重要,特別是函數(shù)的解析式仍會是2019年高考的重要題型. ① 理解函數(shù)的概念,了解構(gòu)成函數(shù)的要素. ② 在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). ③ 了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用. 1. (必修1P26練習3改編)下列對應關(guān)系中________是函數(shù).(填序號

2、) ① A=R+,B=R,對于任意的x∈A,x→x的算術(shù)平方根; ② A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},對于任意的x∈A,x→2x; ③ x→-x,x∈R; ④ x→y,其中y=|x|,x∈R,y∈R; ⑤ x→y,其中y為不大于x的最大整數(shù),x∈R,y∈Z. 答案:①③④⑤ 解析:①③④⑤均符合函數(shù)的定義,②對于集合A中的元素5,在集合B中找不到元素與之對應. 2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是__________.(填序號) ① y=x+1和y=;② y=x0和y=1;③ f(x)=x2和g(x)=(x+1)2;④ f(

3、x)=和g(x)=. 答案:④ 解析:只有④表示同一函數(shù),①與②中定義域不同,③是對應法則不同. 3. (必修1P31習題1改編)設函數(shù)f(x)=.若f(a)=2,則實數(shù)a=__________. 答案:-1 解析:由題意可知,f(a)==2,解得a=-1. 4. (必修1P31習題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出,則f(3)=__________. x 1 2 3 4 f(x) -3 -2 -4 -1 答案:-4 解析:由表中函數(shù)值得f(3)=-4. 5. (必修1P36習題3改編)已知函數(shù)f(x)在[-1,2]上的圖象如圖所示,則f(x)的解析

4、式為____________. 答案:f(x)= 解析:觀察圖象,知此函數(shù)是分段函數(shù),并且在每段上均是一次函數(shù),利用待定系數(shù)法求出解析式.當-1≤x≤0時,f(x)=x+1;當0

5、數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個x,都有一個輸出值y與之對應.我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域. (3) 函數(shù)的要素 函數(shù)的構(gòu)成要素:定義域、對應法則、值域.由于值域是由定義域和對應法則決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)或同一函數(shù).這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù). 2. 函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、圖象法. 3. 分段函數(shù) 在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析式,像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集,值域是各段上函數(shù)值集合的并集. 4. 映射的概念

6、 一般地,設A,B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射.函數(shù)是映射,但映射不一定是函數(shù).[備課札記] ,         1 函數(shù)的概念) ,     1) 下列集合A到集合B的對應關(guān)系中,是從集合A到集合B的映射的有________.(填序號) ① A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|; ② A={x|x≥2,x∈N*},B={y|y≥0,y∈N},f:x→y=x2-2x+2; ③ A=

7、{x|x>0},B={y|y∈R},f:x→y=±; ④ A={α|α是三角形的內(nèi)角},B={y|y∈R},對應法則:y=tan α; ⑤ A={m|m∈Z},B={y|y=0或y=1},對應法則:y= 答案:②⑤ 解析:① 集合A中的零元素,在集合B中沒有相應的對應元素. ② 按照對應法則,滿足題設條件. ③ 一對多,不滿足映射的概念. ④ ∵ ∈A,但的正切值不存在,∴ 此對應不是從集合A到集合B的映射. ⑤ ∵ 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應,∴ 此對應是從集合A到集合B的映射. 點評:判斷對應是否為映射,即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯

8、一”;但要注意:① A中不同元素可有相同的象,即允許多對一,但不允許一對多;② B中元素可無原象,即B中元素可以有剩余. 已知映射f:A→B,其中A=B=R,對應法則f:x→y=-x2+2x,對于實數(shù)k∈B,在集合A中不存在元素與之對應,則k的取值范圍是________. 答案:(1,+∞) 解析:由題意知,方程-x2+2x=k無實數(shù)根,即x2-2x+k=0無實數(shù)根.∴ Δ=4(1-k)<0,∴ k>1時滿足題意. ,         2 函數(shù)的解析式) ,     2) 求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式. (1) 已知f(+2)=x+4,求f(x); (2) 已知f=lg

9、 x,求f(x); (3) 已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求f(x). 解:(1) (解法1)設t=+2(t≥2),則=t-2,即x=(t-2)2,∴ f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4, ∴ f(x)=x2-4(x≥2). (解法2)∵ f(+2)=(+2)2-4, ∴ f(x)=x2-4(x≥2). (2) 設t=+1,則x=,∴ f(t)=lg , 即f(x)=lg (x>1). (3) ∵ f(x)是二次函數(shù), ∴ 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)=f

10、(x)+2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x, 整理,得(2a-2)x+a+b=0, 由恒等式原理,知? ∴ f(x)=x2-x+1. 變式訓練 根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式. (1) f(+1)=x+2; (2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 解:(1) 令t=+1,∴ t≥1,x=(t-1)2. 則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2) 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴ f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c

11、, 則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴ ∴ 又f(0)=3,∴ c=3,∴ f(x)=x2-x+3. ,         3 分段函數(shù)) ,     3) 如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD上有一點P,沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動.設P點移動的路程為x,△ABP的面積為y=f(x). (1) 求△ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)解析式; (2) 作出函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象求y的最大值. 解:(1) 這個函數(shù)的定義域為(0,12), 當0<x≤4時,S=f(x)=·4·x=2x; 當4<x≤8時,S=f(x)=8; 當

12、8<x<12時,S=f(x)=·4·(12-x)=24-2x. ∴ 函數(shù)解析式為f(x)= (2) 其圖象如圖所示,由圖知fmax(x)=8. 變式訓練 已知函數(shù)f(x)=則滿足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范圍是____________. 答案:(-1,-1) 解析:函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示: f(1-x2)>f(2x)?解得-1

13、2-(3-x)≤1,求得x≤1,則f(x)=(x+2)*(3-x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,方程f(x)=c恰有兩個不同的解,即是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=c有2個交點,數(shù)形結(jié)合可得c<2. 特別提醒:本題主要考查分段函數(shù)的解析式、函數(shù)的零點以及新定義問題,屬于難題.已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法:(1) 直接法:直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2) 分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;(3) 數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y

14、=g(x),y=h(x)的圖象的交點個數(shù)問題,畫出兩個函數(shù)的圖象,其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù),二是轉(zhuǎn)化為y=a,y=g(x)的圖象的交點個數(shù)問題. 1. (2018·溧陽中學周練)若x∈R,則f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是________.(填序號) ① f(x)=x,g(x)=; ② f(x)=1,g(x)=(x-1)0; ③ f(x)=,g(x)=; ④ f(x)=,g(x)=x-3. 答案:③ 解析:①中,g(x)= =|x|≠x; ②中,g(x)=(x-1)0=1(x≠1); ③中,f(x)= =1(x>0),g(x)=1(x>0); ④中,f(x)==

15、x-3(x≠-3). 因此填③. 2. 二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 則關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為____________. 答案:[-3,2] 解析:由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖,結(jié)合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)≤0的解集為[-3,2]. 3. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下: 明文密文密文明文 已知加密為y=ax-2(x為明文、y為密文),如果明文“3”通過加

16、密后得到密文為“6”,再發(fā)送,接受方通過解密得到明文“3”,若接受方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是________. 答案:4 4. 有一個有進水管和出水管的容器,每單位時間進水量是一定的,設從某時刻開始,5分鐘內(nèi)只進水,不出水,在隨后的15分鐘內(nèi)既進水,又出水,得到時間x與容器中的水量y之間的關(guān)系如圖所示.再隨后,只放水不進水,水放完為止,則這段時間內(nèi)(即x≥20),y與x之間的函數(shù)關(guān)系是____________________. 答案:y=-3x+95 解析:設進水速度為a1 L/min,出水速度為a2 L/min,則由題意得解得則y=35-3(x-20),得y=-3x+9

17、5.當水放完,時間為x= min,又知x≥20,故解析式為y=-3x+95. 5. 設函數(shù)f(x)=若f(a)>f(1),則實數(shù)a的取值范圍是____________. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:由f(1)=-2,則f(a)>-2.當a>0時,有2a-4>-2,則a>1;當a<0時,-a-3>-2,則a<-1.所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞). 6. 函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx-k至少有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是____________. 答案:∪(1,+∞) 解析:如圖,作出函數(shù)圖象,y2=kx-k過定點(1,0),

18、臨界點和(1,0)連線的斜率為-,又f′(1)=1,由圖象知實數(shù)k的取值范圍是∪(1,+∞). ,  3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤) 典例 已知實數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為__________. 易錯分析:(1) 誤以為1-a<1,1+a>1,沒有對a進行討論直接代入求解;(2) 求解過程中忘記檢驗所求結(jié)果是否符合要求致誤. 解析:當a>0時,1-a<1,1+a>1, 由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a, 解得a=-,不合題意; 當a<0時,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a)可

19、得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a=-. 答案:- 特別提醒:(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應用,對于分段函數(shù)的求值問題,若自變量的取值范圍不確定,應分情況求解;(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意,求解過程中,求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意,因此要檢驗結(jié)果是否符合要求. 1. 已知集合A={a,b,c},B={1,2},那么可建立從A到B的映射個數(shù)是______,從B到A的映射個數(shù)是______. 答案:8 9 解析:依題意,建立從A到B的映射,即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素,從而從A到B的映射個數(shù)為23=8,從B到A的映射個數(shù)是

20、32=9.所以填寫答案依次為:8;9. 2. 已知一個函數(shù)的解析式為y=x2,它的值域為{1,4},這樣的函數(shù)有________個. 答案:9 解析:列舉法:定義域可能是{1,2}、{-1,2}、{1,-2}、{-1,-2}、{1,-2,2}、{-1,-2,2}、{-1,1,2}、{-1,1,-2}、{-1,1,-2,2}. 3. 若函數(shù)f(x)=,f(2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,則f(x)=________. 答案: 解析:由f(2)=1得=1,即2a+b=2;由f(x)=x得=x,變形得x=0,解此方程得x=0或x=,∵ 方程有唯一解,∴ =0,解得b=1,代入2a+

21、b=2得a=,∴ f(x)=. 4. 如圖,動點P從單位正方形ABCD頂點A開始,順次經(jīng)B,C,D繞邊界一周,當x表示點P的行程,y表示PA之長時,求y關(guān)于x的解析式,并求f的值. 解:當P在AB上運動時,y=x(0≤x≤1);當P在BC上運動時,y=(1

22、018·溧陽中學周測)設函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}(n∈N*)滿足x1=1,且對于任意的正整數(shù)n,均有xn+1=f(xn),求x2 018的值. x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 分析:本題中函數(shù)是用列表法給出的,先觀察數(shù)列的前幾項,看看有沒有規(guī)律可循. 解:因為x1=1,所以x2=f(x1)=f(1)=2,x3=f(x2)=f(2)=3,x4=f(x3)=f(3)=4,x5=f(x4)=f(4)=1,x6=f(x5)=f(1)=2,…,不難看出數(shù)列{xn}是以4為周期的周期數(shù)列,所以x2 018=x4×504+2=x2=2. 點評:通過觀察

23、一些特殊的情形,來獲得深刻的認識,是探索數(shù)學問題的一種重要方法,應注意學習,同時函數(shù)的表示也可以利用列表法來給出. 1. 函數(shù)是特殊的映射,其特殊性在于集合A與B只能是非空數(shù)集,即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射;而映射不一定是函數(shù).從A到B的一個映射,A,B若不是數(shù)集,則這個映射不是函數(shù). 2. 函數(shù)是一種特殊的對應,要檢驗給定的兩個變量是否具有函數(shù)關(guān)系,只需要檢驗:① 定義域和對應法則是否給出;② 根據(jù)給出的對應法則,自變量在定義域中的每一個值,是否都有唯一確定的函數(shù)值. 3. 函數(shù)解析式的求解方法通常有:配湊法、換元法、待定系數(shù)法及消去法.用換元法求解時要特別注意新元的范圍,

24、即所求函數(shù)的定義域;而消去法體現(xiàn)的方程思想,即根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x). 第2課時 函數(shù)的定義域和值域(對應學生用書(文)、(理)12~14頁) ① 函數(shù)的定義域是研究一切函數(shù)的源頭,求各種類型函數(shù)的定義域是高考中每年必考的試題. ② 函數(shù)的值域和最值問題也是高考的必考內(nèi)容,一般不會對值域和最值問題單獨命題,主要是結(jié)合其他知識綜合考查,特別是應用題;再就是求變量的取值范圍,主要是考查求值域和最值的基本方法. ① 會求簡單函數(shù)的定義域. ② 掌握求函數(shù)值域與最值的常用方法. ③ 能運用求值域與最值的常用方法解決實際問題.

25、 1. (必修1P25例2改編)函數(shù)f(x)=+的定義域是____________________. 答案:[2,3)∪(3,+∞) 解析:要使函數(shù)有意義,x需滿足解得x≥2且x≠3. 2. (必修1P26練習6(2)(4)改編)函數(shù)y=+的定義域為__________________. 答案:(-1,1)∪(1,+∞) 解析:依題意得∴ x>-1且x≠1,故函數(shù)的定義域為(-1,1)∪(1,+∞). 3. 函數(shù)y=的值域為________. 答案: 解析:∵ x2+2≥2,∴ 0<≤.∴ 0

26、______. 答案:[-5,+∞) 解析:∵ 有意義,∴ x≥0.又y=x2+3x-5=--5,函數(shù)y=x2+3x-5在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴ 當x=0時,ymin=-5.∴ 函數(shù)y=x2+3x-5的值域是[-5,+∞). 5. 函數(shù)y=的定義域是(-∞,1)∪[2,5),則其值域是____________________. 答案:(-∞,0)∪ 解析:∵ x∈(-∞,1)∪[2,5),∴ x-1∈(-∞,0)∪[1,4).當x-1∈(-∞,0)時,∈(-∞,0);當x-1∈[1,4)時,∈. 1. 函數(shù)的定義域 (1) 函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達式有意義的所有的輸入值

27、x組成的集合.在解決函數(shù)問題時,必須樹立起“定義域優(yōu)先”的觀念. (2) 求定義域的步驟 ① 寫出使函數(shù)有意義的不等式(組). ② 解不等式(組). ③ 寫出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出). (3) 常見基本初等函數(shù)的定義域 ① 分式函數(shù)中分母不等于零. ② 偶次根式函數(shù)中被開方式大于或等于0. ③ 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R. ④ y=ax,y=sin x,y=cos x的定義域均為R. ⑤ y=tan x的定義域為{x|x≠kπ+,k∈Z}. ⑥ 函數(shù)f(x)=x0的定義域為{x|x≠0}. 2. 函數(shù)的值域 (1) 在函數(shù)y=f(x)中,與定義域中

28、輸入值x對應的y的值叫做輸出值,所有輸出值y組成的集合叫做函數(shù)的值域. (2) 基本初等函數(shù)的值域 ① y=kx+b(k≠0)的值域是R. ② y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為[,+∞);當a<0時,值域為(-∞,]. ③ y=(k≠0)的值域為{y|y≠0}. ④ y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤ y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. ⑥ y=sin x,y=cos x的值域是[-1,1]. ⑦ y=tan x的值域是R. 3. 函數(shù)的最值 一般地,設y=f(x)的定義域為A. (1) 如果存在x0∈A,使得對于任意的

29、x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最大值,記為ymax=f(x0). (2) 如果存在x0∈A,使得對于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值,記為ymin=f(x0). 4. 值域與最值的關(guān)系 若函數(shù)y=f(x)的最大值為b,最小值為a,那么y=f(x)的值域必定是數(shù)集[a,b]的子集,若f(x)可以取到[a,b]中的一切值,那么其值域就是[a,b]. 5. 復合函數(shù) 如果函數(shù)y=f(u)(u∈A),u=g(x)(x∈B,u∈A),則y=f(g(x))叫做由函數(shù)y=f(u)(u∈A),u=g(x)(x∈B,u∈

30、A)合成的復合函數(shù),u叫做中間變量.y=f(u)(u∈A),叫做該復合函數(shù)的外層函數(shù),而u=g(x)(x∈B)叫做該復合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù).注意:由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域. 6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域. [備課札記] ,         1 求函數(shù)的定義域) ,     1) (1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=f+f的定義域是__________. (

31、2) 函數(shù)y=的定義域為____________. 答案:(1)  (2) (-1,1) 解析:(1) 因為函數(shù)f(x)的定義域是[0,2],所以函數(shù)g(x)=f+f中的自變量x需要滿足: 解得 所以≤x≤, 所以函數(shù)g(x)的定義域是. (2) 由得-1

32、 求下列函數(shù)的定義域: (1) y=+(x-1)0; (2) y=lg sin x+. 解:(1) 由題意得,解得, ∴ -31). 解:(1) (解法1:換元法)令=t,則t≥0且

33、x=,于是f(t)=-t=-(t+1)2+1.由于t≥0,所以f(t)≤,故函數(shù)的值域是. (解法2:單調(diào)性法)容易判斷f(x)為增函數(shù),而其定義域應滿足1-2x≥0,即x≤,所以f(x)≤f=,即函數(shù)的值域是. (2) y==-1. 因為1+x2≥1,所以0<≤2. 所以-1<-1≤1,即y∈(-1,1]. 所以函數(shù)的值域為(-1,1]. (3) (解法1)由y==2-,結(jié)合圖象知,函數(shù)在[3,5]上是增函數(shù),所以ymax=,ymin=,故所求函數(shù)的值域是. (解法2)由y=,得x=. 因為x∈[3,5],所以3≤≤5,解得≤y≤, 即所求函數(shù)的值域是. (4) (基本不

34、等式法)令t=x-1,則x=t+1(t>0), 所以y===t+-2(t>0). 因為t+≥2=2,當且僅當t=,即x=+1時,等號成立, 故所求函數(shù)的值域為[2-2,+∞). 求下列函數(shù)的值域: (1) f(x)=+; (2) g(x)=; (3) y=log3x+logx3-1. 解:(1) 由解得-3≤x≤1. ∴ f(x)=+的定義域是[-3,1]. 令y=f(x),則y≥0,∴ y2=4+2, 即y2=4+2(-3≤x≤1). 令t(x)=-(x+1)2+4(-3≤x≤1). ∵ x∈[-3,1],由t(-3)=0,t(-1)=4,t(1)=0, 知0

35、≤t(x)≤4,從而y2∈[4,8],即y∈[2,2], ∴ 函數(shù)f(x)的值域是[2,2]. (2) g(x)====1+(x≠3且x≠4). ∵ x≠3且x≠4,∴ g(x)≠1且g(x)≠-6. ∴ 函數(shù)g(x)的值域是(-∞,-6)∪(-6,1)∪(1,+∞). (3) 函數(shù)的定義域為{x|x>0且x≠1}. 當x>1時,log3x>0,logx3>0, y=log3x+logx3-1≥2-1=1; 當0

36、,-3]∪[1,+∞).,         3 函數(shù)值和最值的應用) ●典型示例 ,     3) 已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞). (1) 當a=時,求函數(shù)f(x)的最小值; (2) 若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍. 【思維導圖】 函數(shù)恒成立→不等式恒成立→分類討論→新函數(shù)的最值→a的取值范圍 【規(guī)范解答】 解:(1) 當a=時,f(x)=x++2. ∵ f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),∴ f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=. (2) (解法1)在區(qū)間[1,+∞)上,f(x)= >0恒成立,∴

37、x2+2x+a>0恒成立. 設y=x2+2x+a,x∈[1,+∞). ∵ y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增, ∴ 當x=1時,ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3. (解法2)f(x)=x++2,x∈[1,+∞). 當a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正; 當a<0時,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當x=1時,f(x)min=3+a, 當且僅當f(x)min=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3. 【精要點評】 解法1運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式;解法2運用了

38、分類討論思想. ●總結(jié)歸納 (1) 求函數(shù)的值域 此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域. (2) 函數(shù)的綜合性題目 此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性等一些基本知識相結(jié)合的題目.此類問題要求具備較高的數(shù)學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力. (3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題 此類問題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而利用所學知識去解決.此類題目要求具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力. ●題組練透 1. 函數(shù)y=的值域是____________. 答案

39、: 解析:∵ x2+x+1=2+≥,∴ y≥,∴ 值域為. 2. 函數(shù)y=x+的值域是____________. 答案:(-∞,1] 解析:令=t(t≥0),則x=.∵ y=+t=- (t-1)2+1≤1,∴ 值域為(-∞,1]. 3. 已知函數(shù)f(x)=x2+4ax+2a+6. (1) 若f(x)的值域是[0,+∞),求a的值; (2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,求g(a)=2-a|a-1|的值域. 解:(1) ∵ f(x)的值域是[0,+∞),即f(x)min=0,∴ =0,∴ a=-1或. (2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,則Δ=(4a)2-4(2a+6)

40、≤0,即2a2-a-3≤0,∴ -1≤a≤, ∴ g(a)=2-a|a-1|= 當-1≤a≤1時,g(a)=a2-a+2=+,∴ g(a)∈; 當1

41、<m≤1).所以f(m)=(0≤m≤1),其值域為[0,2]. 1. 函數(shù)f(x)=的定義域為____________. 答案:(0,1)∪(1,2) 解析:由得0<x<2且x≠1. 2. 已知函數(shù)y=的定義域為R,值域為[0,+∞),則實數(shù)a的取值集合為________. 答案:{1} 解析: x2-2x+a≥0恒成立,且最小值為0,則滿足Δ=0,即4-4a=0,則a=1. 3. 函數(shù)f(x)=的值域為____________. 答案:(-∞,1] 解析:可由函數(shù)的圖象得到函數(shù)f(x)的值域為(-∞,1]. 4. 若函數(shù)f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,

42、+∞),則實數(shù)a的取值范圍是________. 答案:(1,2] 解析:當x≤2時,-x+6≥4,要使得函數(shù)f(x)的值域為[4,+∞),只需當x>2時,f(x)=3+logax的值域在區(qū)間[4,+∞)內(nèi)即可,故a>1,所以3+loga2≥4,解得1<a≤2,所以實數(shù)a的取值范圍是(1,2]. 5. 已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=________. 答案:- 解析:當a>1時,該方程組無解;當0

43、; (2) 若g(x)的值域為[0,+∞),求m的取值范圍. 解:令f(x)=mx2+x+1. (1) 由題意知f(x)≥0在R上恒成立. ① 當m=0時, f(x)=x+1≥0在R上不恒成立; ② 當m≠0時,要滿足題意必有∴ m≥. 綜上所述,m的取值范圍是. (2) 由題意知,f(x)=mx2+x+1能取到一切大于或等于0的實數(shù). ① 當m=0時,f(x)=x+1可以取到一切大于或等于0的實數(shù); ② 當m≠0時,要滿足題意必有 ∴ 0

44、的一種重要思想方法,是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一,尤其在解決含參數(shù)的問題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設條件研究透,這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰,進而順利解答,希望同學們能夠熟練掌握并能應用于解題當中. 1. 函數(shù)f(x)=的定義域為__________. 答案:[3,+∞) 解析:由題意知解得x≥3. 2. (2018·溧陽中學周練)函數(shù)f(x)=ln(+)的定義域為____________. 答案:[-4,0)∪(0,1) 解析:函數(shù)的定義域必須滿足條件: 解得x∈[-4,0)∪(0,1

45、). 3. 當x=__________________時,函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取得最小值. 答案: 解析:f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+(a+a+…+a), 當x=時,f(x)取得最小值. 4. 設函數(shù)f(x)=若f(x)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是____________________. 答案:(-∞,-1]∪[2,+∞) 解析:f(x)的值域為R,則22+a≤2+a2,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞). 5. 已知函數(shù)f(x)=-1的定義域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],則滿

46、足條件的整數(shù)數(shù)對(a,b)共有______個. 答案:5 解析:由0≤-1≤1,即1≤≤2,解得0≤|x|≤2,滿足條件的整數(shù)數(shù)對有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5個. 6. 求函數(shù)y=+的值域. 解:函數(shù)y=f(x)的幾何意義:平面內(nèi)一點P(x,0)到兩點A(-3,4)和B(5,2)的距離之和就是y的值.由平面幾何知識,找出點B關(guān)于x軸的對稱點B′(5,-2).連結(jié)AB′,交x軸于一點P,點P即為所求的最小值點,ymin=AB′==10.所以函數(shù)的值域為[10,+∞). 1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂,它決定了函數(shù)的值域,并且它是研究函數(shù)性

47、質(zhì)的基礎,因此,我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識. 2. 函數(shù)的值域常常化歸為求函數(shù)的最值問題,要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的作用. 3. 求函數(shù)值域的常用方法:圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法、分離常數(shù)法、導數(shù)法等.理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導數(shù)法”,但在具體的解題中要與初等方法密切配合.[備課札記] 第1課時  函數(shù)的單調(diào)性(對應學生用書(文)、(理)15~17頁) ① 函數(shù)單調(diào)性的概念是函數(shù)性質(zhì)中最重要的概念,仍將會是2019年高考的重點,特別要注意函數(shù)單調(diào)性的應用. ② 常見

48、題型:a.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性;c.強化應用單調(diào)性解題的意識,如比較式子的大小,求函數(shù)最值,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍等. ① 理解函數(shù)單調(diào)性的定義,并利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性. ② 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值的幾何意義,會用單調(diào)性方法求函數(shù)的最大(小)值. ③ 能利用函數(shù)的單調(diào)性解決其他一些綜合性問題. 1. 下列函數(shù)中,在(-∞,0)上為減函數(shù)的是________.(填序號) ① y=;② y=x3;③ y=x0 ;④ y=x2. 答案:④ 解析:∵ 函數(shù)y=x2的圖象是

49、開口向上的拋物線,對稱軸為y軸,∴ 函數(shù)y=x2在(-∞,0)上為減函數(shù). 2. (必修1P44習題2改編) (1) 函數(shù)f(x)=2x+1的單調(diào)增區(qū)間是__________;函數(shù)g(x)=-3x+2在區(qū)間(-∞,+∞)上為________函數(shù). (2) 函數(shù)f(x)=x2-2x-1的單調(diào)增區(qū)間為________,單調(diào)減區(qū)間為________. (3) 函數(shù)f(x)=--1在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)________函數(shù). (4) 函數(shù)y=在區(qū)間[1,3]上是單調(diào)________函數(shù). 答案:(1) (-∞,+∞) 單調(diào)減 (2) [1,+∞) (-∞,1] (3) 增 (4) 減

50、 3. (必修1P54本章測試6改編)若函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則m=__________. 答案:10 解析:函數(shù)y=5x2+mx+4的圖象為開口向上,對稱軸是x=-的拋物線,要使函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則-=-1,∴ m=10. 4. 已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-2,+∞)上為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是__________. 答案: 解析:f(x)==a+,由復合函數(shù)的增減性可知,g(x)=在(-2,+∞)上為增函數(shù),∴ 1-2a<0, ∴ a>.

51、 5. 設函數(shù)f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是____________. 答案:f(-3)>f(-π) 解析:由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),又-3>-π,∴ f(-3)>f(-π). 1. 增函數(shù)和減函數(shù) 一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為I: 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個值x1,x2,當x1

52、值x1,x2,當x1f(x2),那么就說y=f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù).(如圖②所示) 2. 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果一個函數(shù)在某個區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)或是單調(diào)減函數(shù),那么就說這個函數(shù)在這個區(qū)間D上具有單調(diào)性(區(qū)間D稱為單調(diào)區(qū)間). 3. 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 (1) 定義法 利用定義嚴格判斷. (2) 利用函數(shù)的運算性質(zhì) 如果f(x),g(x)為增函數(shù),則① f(x)+g(x)為增函數(shù);② 為減函數(shù)(f(x)>0);③ 為增函數(shù)(f(x)≥0);④ f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)>0,g(x)>0);⑤ -f(x)為減函數(shù). (3) 利

53、用復合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性 法則是“同增異減”,即兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù);若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù). (4) 圖象法 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 4. 函數(shù)的單調(diào)性的證明方法 已知函數(shù)解析式,證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性一般只能嚴格用定義(或?qū)?shù))來證明.主要步驟: (1) 設元; (2) 作差(商); (3) 變形(變形要徹底,一般通過因式分解、配方等方法,直到符號的判定非常明顯); (4) 判斷符號; (5) 結(jié)論. [備課札

54、記] ,         1 函數(shù)單調(diào)性的判斷) ,     1) 判斷函數(shù)f(x)=(a≠0)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性. 分析:此函數(shù)既不是常見函數(shù),也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復合而成,因此要判斷其在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性,只能用函數(shù)單調(diào)性的定義. 解:任取x1,x2∈(-1,1),且x10,∴ 當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),∴ f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;同理,當a<0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增. 證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1,+

55、∞)上是減函數(shù). 證明:設任取x1,x2∈[1,+∞),且x10, ∴ f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).  ∴ f(x)=在[1,+∞)上為減函數(shù). 點評:亦可證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).由于函數(shù)f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),故利用單調(diào)性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)=的圖象.同時也可得到函數(shù)f(x)=在[-1,1]上的值域為. ,         2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間) ,   

56、  2) 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1) y=x2-3|x|+; (2) y=; (3) y=log2(6+x-2x2). 解:(1) ∵ y=x2-3|x|+= ∴ 由圖象可知,y在,上為減函數(shù),在,上為增函數(shù). (2) 易得定義域為R,令u=x2-2x=(x-1)2-1,則u在(-∞,1]上為減函數(shù),在[1,+∞)上為增函數(shù).又y=在(-∞,+∞)上為減函數(shù),∴ y=的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],單調(diào)減區(qū)間為[1,+∞). (3) 由題意得6+x-2x2>0,化簡得2x2-x-6<0,即(2x+3)(x-2)<0,解得-

57、在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又y=log2u在定義域上為增函數(shù),∴ y=log2(6+x-2x2)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為. 點評:已知函數(shù)的解析式,討論或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應首先確定函數(shù)的定義域,然后再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)相應的單調(diào)區(qū)間. 變式訓練 函數(shù)y=-(x-3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是____________. 答案: 解析:y=畫圖象如圖所示,可知單調(diào)遞增區(qū)間為. 作出函數(shù)f(x)=|x2-1|+x的圖象,并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解:當x≥1或x≤-1時, y=x2+x-1=2-; 當-1

58、2+x+1=-2+.函數(shù)圖象如圖,由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-1],;單調(diào)增區(qū)間為,[1,+∞). ,         3 函數(shù)的單調(diào)性與最值) ●典型示例 ,     3) 求f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值. 【思維導圖】 判斷對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系→分別畫出圖象→判斷f(x)在區(qū)間的單調(diào)性→求出最值 【規(guī)范解答】 解:f(x)=(x-a)2-1-a2,對稱軸為x=a. (1) 當a<0時,由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a. (2) 當0≤a<1時,由圖②可知,f(x)m

59、in=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a. (3) 當12時,由圖④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1. 綜上,當a<0時,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;當0≤a<1時,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;當12時,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1. 【精要點評】 (1) 二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由

60、圖象的對稱軸確定的.故需要確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系.由于對稱軸是x=a,而a的取值不定,從而導致了分類討論. (2) 不是應該分a<0,0≤a≤2,a>2三種情況討論嗎?為什么成了四種情況?這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0,2]所對應的區(qū)域時,最小值是在頂點處取得,但最大值卻有可能是f(0),也有可能是f(2). ●總結(jié)歸納 (1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用,求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調(diào)性.含有參數(shù)的最值問題,需要分類討論參數(shù)在不同范圍內(nèi)時函數(shù)單調(diào)性的變化,進而判斷最值的位置. (2) 不等式恒成立問題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. ●題組練透 1. 函數(shù)y=2x+的值域是__

61、__________. 答案:[-2,+∞) 解析:x≥-1,y是x的增函數(shù),當x=-1時,ymin=-2,∴ 函數(shù)的值域為[-2,+∞). 2. 已知x∈[0,1],則函數(shù)y=-的值域是______________. 答案:[-1,] 解析:該函數(shù)為增函數(shù),自變量最小時,函數(shù)值最?。蛔宰兞孔畲髸r,函數(shù)值最大. 3. 函數(shù)f(x)=(x∈[3,6])的值域為____________. 答案:[1,4] 解析:區(qū)間[3,6]是函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間,把x=3,x=6分別代入f(x)中可得最大值、最小值. 4. 已知a∈R且a≠1,求函數(shù)f(x)=在[1,4]上的最值. 解

62、:由f(x)==a+.當1-a>0,即a<1時,f(x)在[1,4]上為減函數(shù),∴ fmax(x)=f(1)=,fmin(x)=f(4)=;當1-a<0,即a>1時,f(x)在[1,4]上為增函數(shù),∴ fmax(x)=f(4)=,fmin(x)=f(1)=. 5. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1,若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞). (1) 求a,b的值; (2) 若h(x)=2f(x+1)+x|x-m|+2m,求h(x)的最小值. 解:(1) 顯然a≠0,∵ f(1)=0,∴ a+b+1=0. 又f(x)的值域為[0,+∞),∴ Δ=b2-4a

63、=0. 由解得 (2) 由(1)知f(x)=x2-2x+1,h(x)=2x2+x|x-m|+2m,即h(x)= ① 若m≥0,則hmin(x)=min,即hmin(x)=min. 又2m2+2m-=≥0,∴ 當m≥0時,hmin(x)=-+2m; ② 若m<0,則hmin(x)=h=2m-. 綜上所述,hmin(x)= ,         4 函數(shù)的單調(diào)性的綜合應用) ,     4) 已知函數(shù)f(x)=2x-,x∈(0,1]. (1) 當a=-1時,求函數(shù)y=f(x)的值域; (2) 若函數(shù)y=f(x)在(0,1]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 解

64、:(1) 當a=-1時,f(x)=2x+, 因為00恒成立, 所以2x1x2+a<0,即a<-2x1x2在(0,1]上恒成立, 所以a<-2,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2). (解法2)由f(x)=2x-,知f′(x)=2+, 因為函數(shù)y=f(x)在(0,1]上是減函數(shù), 所以f′(x)=2

65、+<0在(0,1]上恒成立, 即a<-2x2在(0,1]上恒成立, 所以a<-2,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2). 變式訓練 若函數(shù)f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________. 答案:[-2,0) 解析:由x≥1時,f(x)=-x2+2ax-2a是減函數(shù),得a≤1.由x<1時,函數(shù)f(x)=ax+1是減函數(shù),得a<0,分界點處的值應滿足-12+2a×1-2a≤1×a+1,解得a≥-2,所以-2≤a<0. 點睛:本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性,解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性,除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)以外,還需考慮分界點兩側(cè)的單調(diào)性,

66、需要列出分界點處的不等關(guān)系. 已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),其在定義域上為增函數(shù),且對任意實數(shù)x,y∈(0,+∞)都滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,試解不等式f(x)+f(x-2)<3. 分析:此題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系,然后借助于函數(shù)的單調(diào)性再將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的大小關(guān)系. 解:由題意得3=1+1+1=f(2)+f(2)+f(2)=f(4)+f(2)=f(8),即f(8)=3, ∴ f(x)+f(x-2)<3?f(x)+f(x-2)

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