2021中考數(shù)學(xué) 第15講 線段、角、相交線與平行線

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1、 第15講 線段、角、相交線與平行線 考點(diǎn)1 直線、射線、線段 直線公理 經(jīng)過兩點(diǎn)，有且只有① 條直線. 線段公理 兩點(diǎn)之間，線段最② . 兩點(diǎn)間的距離 連接兩點(diǎn)間的線段的③ ，叫做兩點(diǎn)間的距離. 考點(diǎn)2 角 角的概念 定義1 有公共端點(diǎn)的兩條④ 組成的圖形叫做角. 定義2 一條⑤ 繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角. 互為余角 定義 如果兩個(gè)角的和等于⑥ ，則這兩個(gè)角互余. 性質(zhì) 同角(或等角)的余角⑦

2、 . 互為補(bǔ)角 定義 如果兩個(gè)角的和等于⑧ ，則這兩個(gè)角互補(bǔ). 性質(zhì) 同角(或等角)的補(bǔ)角⑨ . 考點(diǎn)3 相交線 對(duì)頂角 對(duì)頂角相等. 垂直 性質(zhì)1 過一點(diǎn)有且只有⑩ 條直線與已知直線垂直. 性質(zhì)2 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，? 最短. 點(diǎn)到直線的距離 直線外一點(diǎn)到這條直線的? 的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離. 考點(diǎn)4 角的平分線與線段的垂直平分線 角的平分線 線段的垂直平分線 性質(zhì) 角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離?

3、 . 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離? . 判定 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在? 上. 與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的? 上. 考點(diǎn)5 平行線 平行線的概念 在同一平面內(nèi)， 的兩條直線叫做平行線. 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有 條直線與已知直線平行. 平行公理的推論 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也 . 平行線的判定 同位角相等，兩直線平行. 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 平行線

4、的性質(zhì) 兩直線平行，同位角相等. 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等. 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ). 平行線間的距離 定義 過平行線上的一點(diǎn)作另一條平行線的垂線， 的長(zhǎng)度叫做兩條平行線間的距離. 性質(zhì) 兩條平行線間的距離處處 . 考點(diǎn)6 命題 命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題. 命題的分類 命題分為 命題和 命題. 命題的組成 命題由 和 兩個(gè)部分組成. 1.若某條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則線段的總條數(shù)為條(n為大于或等于2的整數(shù))；在角的內(nèi)部從角的頂點(diǎn)

5、引n條射線，可以得到個(gè)角. 2.“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”在解決最短路徑問題時(shí)經(jīng)常用到. 命題點(diǎn)1 角的有關(guān)計(jì)算 例1 (2013·福州)如圖，OA⊥OB，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是( ) A.20° B.40° C.50° D.60° 方法歸納：計(jì)算角度時(shí)，通常結(jié)合幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)來找出已知角度與所求角度中的數(shù)量關(guān)系. 1.下列四個(gè)角中，最有可能與70°角互補(bǔ)的是( ) 2.如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，E是∠AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OE⊥AB，∠BOD=45°

6、，則∠COE的度數(shù)是( ) A.125° B.135° C.145° D.155° 3.(2014·濱州)如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為( ) A.50° B.60° C.65° D.70° 命題點(diǎn)2 角平分線的性質(zhì)與判定 例2 (2013·湘西)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3. (1

7、)求DE的長(zhǎng)； (2)求△ADB的面積. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，DE=CD，從而可得DE的長(zhǎng)； (2)利用勾股定理先求AB的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式計(jì)算. 【解答】 方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是通過等量代換把要求的邊轉(zhuǎn)化為已知的邊的長(zhǎng). 1.(2014·巴中)如圖，CF是△ABC的外角∠ACM的平分線，且CF∥AB，∠ACF=50°，則∠B的度數(shù)為( ) A.80° B.40° C.60° D.50° 2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA

8、,PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 3.(2013·泉州)如圖，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ= . 命題點(diǎn)3 線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定 例3 (2013·仙桃改編)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6 cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，求MN的長(zhǎng). 【思路點(diǎn)撥】連接

9、MA、NA.根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出等腰三角形△CAN和△MAB，從而說明△AMN是等邊三角形，找出MN與BC的關(guān)系求出MN的長(zhǎng). 【解答】 方法歸納：解答這類題的關(guān)鍵是要通過作輔助線構(gòu)造垂直平分線模型來溝通各邊或者各角之間的關(guān)系，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的. 1.(2014·十堰)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，則△CDE的周長(zhǎng)是( ) A.7 B.10 C.11 D.12 2.(2013·義烏)如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC

10、的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連接OC，若∠AOC＝125°，則∠ABC＝ . 3.(2014·汕尾)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連接AE. (1)求∠ADE(直接寫出結(jié)果)； (2)當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，求△ABE的周長(zhǎng). 命題點(diǎn)4 平行線的性質(zhì)和判定 例4 (2013·重慶)如圖，直線a，b，c，d，已知c⊥a,c⊥b，直線b，c，d交于一點(diǎn)，若∠1=50°，則∠2等于( ) A.60°

11、 B.50 C.40° D.30° 方法歸納：運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)的關(guān)鍵點(diǎn)都是“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”這三對(duì)位置角的等量關(guān)系. 1.(2014·德州)如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B＝30°，則∠C為( ) A.30° B.60° C.80° D.120° 2.(2014·孝感)如圖，直線l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度數(shù)為( ) A.46° B.44° C.36°

12、 D.22° 3.(2014·梅州)如圖，把一塊含有45°角的直角三角板兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上，如果∠1=20°，則∠2的度數(shù)是( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 4.(2014·淄博)如圖，直線a∥b,點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC,∠1=55°，求∠2的度數(shù). 1.(2014·金華)如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是( ) A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.兩點(diǎn)之間，線段最短

13、 C.垂線段最短 D.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 2.(2014·長(zhǎng)沙)如圖，C、D是線段AB上的兩點(diǎn)，且D是線段AC的中點(diǎn)，若AB=10 cm,BC=4 cm,則AD的長(zhǎng)為( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 3.(2014·濟(jì)寧)把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識(shí)解釋其道理正確的是( ) A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.垂線段最短 C.兩點(diǎn)之間線段最短 D.三角形兩邊之和大于第三邊

14、 4.(2014·濱州)如圖，是我們學(xué)過的用直尺畫平行線的方法示意圖，畫圖原理是( ) A.同位角相等，兩直線平行 B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C.兩直線平行，同位角相等 D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 5.(2014·十堰)如圖，直線m∥n，則∠α為( ) A.70° B.65° C.50° D.40° 6.(2014·河南)如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°，則∠CON的度數(shù)為( ) A.35°

15、 B.45° C.55° D.65° 7.(2014·汕尾)如圖，能判定EB∥AC的條件是( ) A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE 8.(2014·白銀)如圖，將直角三角尺的直角頂點(diǎn)靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行.圖中與∠α互余的角共有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 9.(2014·荊門)如圖，AB∥ED,AG平分∠BAC,∠ECF=70°

16、, 則∠FAG的度數(shù)是( ) A.155° B.145° C.110° D.35° 10.(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四個(gè)命題： (1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，則△ABC≌△A1B1C1； (2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，則△ABC≌△A1B1C1； (3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1； (4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，則△ABC∽△A1B1C1. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A.4個(gè) B.3個(gè)

17、 C.2個(gè) D.1個(gè) 11.(2014·廣安)若∠α的補(bǔ)角為76°28′,則∠α= . 12.(2014·廣州)已知命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等.”寫出它的逆命題： ，該逆命題是 命題(填“真”或“假”). 13. (2013·長(zhǎng)沙)如圖，BD是∠ABC的平分線，P是BD上的一點(diǎn)，PE⊥BA于點(diǎn)E，PE=4 cm,則點(diǎn)P到邊BC的距離為 __________cm. 14.(2014·威海)直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角板如圖所示放置，∠1＝85°，則∠2＝

18、 . 15.(2014·鹽城)如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，則∠2＝ . 16.如圖，CD與BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=70°，則∠CAD= . 17.(2014·益陽(yáng))如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度數(shù). 18.如圖，線段AB=4，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)，小明據(jù)此很輕松地求得CD=2.他在反思過程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，原有的結(jié)論“CD=2”是否仍然成立？請(qǐng)幫小明畫出圖形并說明理由.

19、 19.(2014·泰安)把一直尺放置在一個(gè)三角形紙片上，則下列結(jié)論正確的是( ) A.∠1+∠6>180° B.∠2+∠5<180° C.∠3+∠4<180° D.∠3+∠7>180° 20.(2014·鄂州)如圖，直線a∥b,直角三角形如圖放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，則∠2的度數(shù)為( ) A.20° B.40° C.30° D.25° 21.(2013·綏化)如圖所示，以O(shè)為端點(diǎn)畫六條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF后，再?gòu)纳渚€OA上某

20、點(diǎn)開始按逆時(shí)針方向依次在射線上描點(diǎn)并連線，若將各條射線上所描的點(diǎn)依次記為1、2、3、4、5、6、7、8…，那么所描的第2 015個(gè)點(diǎn)在射線 上. 22.(2014·梅州)如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接AE. (1)∠ADE= ； (2)AE CE(填“>”“<”或“=”) (3)AB=3，AC=5時(shí)，△ABE的周長(zhǎng)是 . 23.(2013·寧夏模擬)平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

21、. (1)如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D.將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論； (2)在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？(不需證明) 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①一 ②短 ③長(zhǎng)度 ④射線 ⑤射線 ⑥90° ⑦相等 ⑧180° ⑨相等 ⑩一

22、?垂線段 ?垂線段 ?相等 ?相等 ?角的平分線 ?垂直平分線 不相交 一 平行 垂線段 相等 真 假 題設(shè) 結(jié)論 各個(gè)擊破 例1 C 題組訓(xùn)練 1.D 2.B 3.D 例2 (1)在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴AC⊥CD. 又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE=CD. 又∵CD=3，∴DE=3. (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB===10, ∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15. 題組訓(xùn)練 1.D 2.D 3.35° 例3 連接MA、NA. ∵AB的垂直平分線交BC于

23、M，AC的垂直平分線交BC于N， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C. ∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAM+∠CAN=60°， ∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN是等邊三角形, ∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC， ∴MN=BC=2 cm. 題組訓(xùn)練 1.B 2.70° 3.(1)∠ADE=90°. (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC=4. 又∵M(jìn)N為AC的垂直平分線， ∴AE=EC. C△ABE=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7. 例4

24、 B 題組訓(xùn)練 1.A 2.A 3.C 4.設(shè)直線b與BC所交的另一個(gè)銳角為∠3. ∵AB⊥BC,∴∠1+∠3=90°. ∵∠1=55°,∴∠3=35°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=35°. 整合集訓(xùn) 1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B 11.103°42′ 12.如果兩個(gè)角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等 假 13.4 14.40 15.70° 16.70° 17.∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°-∠B=100°. ∵AC平分∠BAF,∴∠CAF=∠BAF=50°. ∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°. 18.仍然成立， ∵C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)， ∴OC=OA，OD=OB. CD=OC-OD=OA-OB=(OA-OB)=AB=2. 19.D 20.A 21.OE 22.(1)90° (2)= (3)7 23.(1)不成立，結(jié)論是∠BPD=∠B+∠D. 證明：延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E. ∵AB∥CD，∴∠B=∠BED. 又∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D. (2)結(jié)論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. 11