2021中考數(shù)學(xué) 第17講 等腰三角形與直角三角形

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1、 第17講 等腰三角形與直角三角形 考點(diǎn)1 等腰三角形與等邊三角形 等腰三角形 概念 有兩條邊① 的三角形是等腰三角形. 性質(zhì) 1.等腰三角形是軸對稱圖形，一般有② 條對稱軸. 2.性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角③ (簡寫成“等邊對④ ”). 3.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的⑤ 、底邊上的⑥ 相互重合(簡寫成“三線合一”). 判定 等角對⑦ . 等邊三角形 概念 有⑧ 條邊相等的三角形

2、叫做等邊三角形. 性質(zhì) 1.具有一般等腰三角形的所有性質(zhì)； 2.等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于⑨ ； 3.等邊三角形是軸對稱圖形，共有⑩ 條對稱軸. 判定 1.三個(gè)角都? 的三角形是等邊三角形； 2.有一個(gè)角是? 的等腰三角形是等邊三角形. 考點(diǎn)2 直角三角形 概念 有一個(gè)角是? 的三角形叫做直角三角形. 性質(zhì) 1.直角三角形的兩個(gè)銳角? . 2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的? . 3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳

3、角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的? . 4.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊a、b的 等于斜邊c的 ，即 =c2. 判定 1.有一個(gè)角是 或兩個(gè)銳角 的三角形是直角三角形. 2.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的 ，那么這個(gè)三角形為直角三角形. 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的 等于第三邊的 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 【易錯(cuò)提示】勾股定理應(yīng)用的前提是這個(gè)三角形必須是直角三角形，解題時(shí)，只能在同一直角三角形時(shí)

4、，才能利用它求第三邊長. 1.求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件下，應(yīng)按頂角為銳角和鈍角兩種情況來考慮：(1)當(dāng)頂角為銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部；(2)當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部. 2.勾股定理的逆定理是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的重要方法，應(yīng)先確定最大邊，然后驗(yàn)證兩條短邊的平方和是否等于最大邊的平方. 命題點(diǎn)1 等腰三角形的性質(zhì)與判定 例1 (2014·麗水)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AB=6，CD=4，則△ABC的周長是20. 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，利用三線合一可得BD=CD，即B

5、C=2CD=8，從而求出△ABC的周長. 方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是正確理解等腰三角形三線合一的內(nèi)涵——由一推二. 1.(2014·菏澤)如圖，直線l∥m∥n，等邊△ABC的頂點(diǎn)B、C分別在直線n和m上，邊BC與直線n所夾銳角為25°,則∠α的度數(shù)為( ) A.25° B.45° C.35° D.30° 2.(2014·河南)在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M、N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD.若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數(shù)為

6、 . 3.(2014·益陽)如圖，將等邊△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得△ACD，BC的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為F，則∠EAF的度數(shù)是 . 命題點(diǎn)2 直角三角形 例2 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC中點(diǎn)，若DE＝5，求AB的長. 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈E是直角三角形的中線，利用直角三角形的性質(zhì)可以求出AC的長，從而求出AB的長. 【解答】 方法歸納：若題中已知直角三角形的中線長時(shí)，通常利用直角三角形的性質(zhì)來求邊長. 1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是

7、AB邊上的中線，則CD的長是( ) A.20 B.10 C.5 D. 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B=60°，BC＝6.則AB的長為 . 3.如圖，△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AM是BC邊上的中線，且AM=4.求△ABC的周長.(結(jié)果保留根號) 命題點(diǎn)3 勾股定理 例3 (2013·呼和浩特)如圖所示，在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離，現(xiàn)測得AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120°，請計(jì)算

8、A，B兩個(gè)涼亭之間的距離. 【思路點(diǎn)撥】作一條高線CD，構(gòu)造直角三角形，利用∠CAB=120°和AC=30 m求出CD和AD；然后在Rt△CDB中利用勾股定理求出DB的長. 【解答】 方法歸納：利用勾股定理解決實(shí)際問題的前提條件是有直角三角形，作垂線構(gòu)造直角三角形是解決這類問題的關(guān)鍵. 1.(2014·濱州)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是( ) A.4，5，6 B.1.5，2，2.5 C.2，3，4 D.1，，3 2.(2013·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一

9、棵高4米，兩樹相距8米.一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 3.(2014·宜賓)菱形的周長為20 cm，兩個(gè)相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2，則較長的對角線長度是 cm. 4.某校八年級(3)班開展了手工制作競賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品.陳莉同學(xué)在制作手工作品的第一、二個(gè)步驟是：①先裁下了一張長BC=20 cm，寬AB=16 cm的矩形紙片ABCD，②將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處，……請你

10、根據(jù)①②步驟解答下列問題： (1)找出圖中∠FEC的余角； (2)計(jì)算EC的長. 第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.(2013·畢節(jié))已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為8，則這個(gè)等腰三角形的周長為( ) A.16 B.20或16 C.20 D.12 2.(2013·成都)如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，則AC的長為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.

11、(2014·宜昌)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°,以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知：如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾銳角為20°，則∠α的度數(shù)為( ) A.60° B.45° C.40° D.30° 5.如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線，CD=5 cm,則AB的長為

12、( ) A.5 cm B. cm C.10 cm D. cm 6.(2014·南充)如圖，在△ABC中，AB＝AC，且D為BC上一點(diǎn)，CD＝AD，AB＝BD，則∠B的度數(shù)為( ) A.30° B.36° C.40° D.45° 7.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6 cm、BC＝8 cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm

13、 D.10 cm 8.(2014·樂山)如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D.則CD的長為( ) A. B. C. D. 9.(2013·綿陽)如圖，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB=35°，則∠AOD= . 10.(2013·聊城)如圖，在等邊△ABC中，AB=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，那么線段DE的長度為 . 1

14、1.(2013·黔西南)如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E= 度. 12.(2013·桂林)如圖，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，則AE= . 13.(2013·莆田)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2.則最大的正方形E的面積是 . 14.(2014·寧波)為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個(gè)車位是長5米寬2.2米

15、的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個(gè)路段最多可以劃出 個(gè)這樣的停車位.(=1.4) 15.(2014·衡陽)如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：△BED≌△CFD. 16.(2014·菏澤)在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求線段DE的長. 17.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形.若AB=2,求△ABC的周長.(結(jié)果保留根號)

16、 18.(2014·襄陽)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC. (1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序號寫出所有成立的情形) (2)請選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程. 19.如圖1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作BC平行線交AB、AC于E、F. (1)請寫出圖1中線段EF與BE、CF間的關(guān)系，并說明理由. (2)如圖2，△ABC中∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于O，過點(diǎn)

17、O作BC的平行線交AB于E，交AC于F.這時(shí)EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由. 第2課時(shí) 能力訓(xùn)練 1.等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為 . 2.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=BC，則△ABC底角的度數(shù)為( ) A.45° B.75° C.45°或15°或75° D.60° 3.(2014·荊門)如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)

18、△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是( ) A.()n·75° B.()n-1·65° C.()n-1·75° D.()n·85° 4.(2014·荊門)如圖1，正方形ABCD的邊AB、AD分別在等腰直角△AEF的腰AE、AF上，點(diǎn)C在△AEF內(nèi)，則有DF=BE(不必證明).將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α(0°<α<90°)后，連接BE、DF.請?jiān)趫D2中用實(shí)線補(bǔ)全圖形，這時(shí)DF=BE還成立嗎？請說明理

19、由. 5.(2014·自貢)如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF與BC交于點(diǎn)G. (1)求證：AE＝CF； (2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小. 6.(2014·泰安)如圖∠ABC＝90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M. (1)求證：∠FMC=∠FCM; (2)AD與MC垂直嗎？并說明理由. 7.(2013·牡丹江)在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使

20、△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長. 8.某課題學(xué)習(xí)小組對地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析.如圖所示，在討論中得到了∠B=∠C=60°，B、F、H、C都在線段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正確結(jié)論.接著又有兩位同學(xué)各自提出了如下一個(gè)結(jié)論： 甲：△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均為等邊三角形. 乙：線路B→A→C與線路B→E→F→G→H→P→C一樣長. (1)請分別指出甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論是否正確？ (2)將(1)中你認(rèn)為正確的結(jié)論給予證明. 9.(2014·河南)(

21、1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE. 填空：①∠AEB的度數(shù)為 ； ②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 . (2)拓展探究 如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. 10.如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE=CE，連接BD、AC. (1)試判斷BD與AC

22、的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由. (2)如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由. (3)如圖3，若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變， ①試猜想BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. ②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由. 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①相等 ②一 ③相等 ④等角 ⑤中線 ⑥高 ⑦等邊 ⑧三 ⑨60° ⑩三 ?相等 ?60° ?直角 ?互余 ?一半 ?一半 平方和

23、平方 a2+b2 直角 互余 一半 平方和 平方 各個(gè)擊破 例1 20 題組訓(xùn)練 1.C 2.105° 3.60° 例2 ∵AD⊥BC，E是AC中點(diǎn)，DE＝5， ∴AC=2DE=10. ∵AB=AC，∴AB=10. 題組訓(xùn)練 1.C 2.3 3.∵∠B=60°，∠C=30°， ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°. 又∵AM是BC邊上的中線，∴AM=BC. 又∵AM=4，∴BC=2AM=8. 在Rt△ABC中，∠C=30°， ∴AB=BC=4，AC==4. ∴△ABC的周長為AB+BC+AC=12+4. 例3 過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂

24、足為D. ∵AC=30 m，∠CAB=120°， ∴AD=15 m，則CD=15 m. 在Rt△BDC中，BD==65(m)， ∴AB=BD-AD=65-15=50(m). 題組訓(xùn)練 1.B 2.B 3. 4.(1)∠CFE、∠BAF. (2)設(shè)EC=x cm.則EF=DE=(16-x)cm， AF=AD=20 cm. 在Rt△ABF中，BF==12 cm， FC=BC-BF=20-12=8(cm). 在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2， ∴(16-x)2=82+x2，解得x=6. ∴EC的長為6 cm. 整合集訓(xùn) 第1課時(shí) 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.C

25、 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.B 8.C 9.75° 10. 11.15 12.3 13.10 14.17 15.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD. 16.∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD. ∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE. ∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°， ∴∠EAD＋∠ABD＝90°， ∠ADE＋∠BDE＝∠ADB=90°， ∴∠ABD＝∠BDE. ∴DE

26、＝BE， ∴DE＝AB＝×5＝2.5. 17.∵△ABD是等邊三角形，∴∠B=60°. 在Rt△BAC中，∠C=30°，AB=2， ∴BC=2AB=4， ∴AC===2, ∴△ABC的周長為AB+BC+AC=2+4+2=6+2. 18.(1)①②；①③. (2)選①③證明如下， 證明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB. 又∵∠EBO=∠DCO，∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB， ∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC， 即△ABC是等腰三角形. 19.(1)EF=BE+CF.理由如下： ∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC. ∵EF∥B

27、C，∴∠EOB=∠OBC， ∴∠ABO=∠EOB，∴EO=BE. 同理可證：OF=CF. ∴EF=BE+CF. (2)EF=BE-CF.理由如下： 理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC. ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC, ∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE. 同理可得：OF=CF. ∴EF=OE-OF=BE-CF. 第2課時(shí) 能力訓(xùn)練 1.8或或 2.C 3.C 4.補(bǔ)全圖形如圖所示. DF=BE還成立，理由是： ∵正方形ABCD和等腰△AEF， ∴AD=AB,AF=AE,∠FAE=∠DAB=90°. ∴∠FAD=∠EAB. 在△ADF

28、和△ABE中， ∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF=BE. 5.(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC＝90°. ∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF. ∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∴△ABE≌△CBF,∴AE＝CF. (2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°. ∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°， ∴∠GBE＝35°, ∴∠EGC＝∠GBE+∠BEF＝80°. 6.（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)， ∴DF⊥AE,DF=AF=EF. 又∵∠ABC=90°，∠DC

29、F,∠AMF都與∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF. 又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM. ∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM. (2)AD⊥MC.理由如下： 由(1)知∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC， ∴∠FDE=∠FMC=45°, ∴DE∥CM，∴AD⊥MC. 7.∵AC=4，BC=2，AB=2， ∴AC2+BC2=AB2， 即△ACB為直角三角形，且∠ACB=90°. 分三種情況：如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E.易證△ACB≌△BED，易得CD=2.如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥CA，垂足為點(diǎn)E.易證△ACB≌△DEA，易得CD=2

30、.如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F.易證△AFD≌△DEB，易得CD=3. 8.(1)甲、乙的結(jié)論都正確. (2)證明：甲的結(jié)論：∵∠B=∠C=60°，則∠A=60°. ∴△ABC是等邊三角形. 又∵EF∥AC， ∴∠EFB=60°，∠B=60°，則∠BEF=60°. ∴△BEF是等邊三角形， 同理可證△FGH、△HPC是等邊三角形. 乙的結(jié)論：∵△BEF、△FGH、△HPC都是等邊三角形， ∴BE+EF=2BF，F(xiàn)G+GH=2FH，HP+PC=2HC， ∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC. 又∵△A

31、BC為等邊三角形， ∴AB+AC=2BC， ∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC. 即甲、乙的結(jié)論都正確. 9.(1)①60°;②AD=BE. (2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE. 理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°, ∴AC=BC,CD=CE, ∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. 在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高， ∴CM=DM=ME,

32、∴DE=2CM. ∴AE=DE+AD=2CM+BE. 10.(1)BD與AC的位置關(guān)系是：BD⊥AC，數(shù)量關(guān)系是BD=AC.理由如下： 如圖1，延長BD交AC于點(diǎn)F. ∵AE⊥BC于E，∴∠BED=∠AEC=90°. 又∵AE=BE，DE=CE，∴△DBE≌△CAE， ∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE. ∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠ACE. ∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ADF+∠CAE=90°， ∴BD⊥AC. (2)如圖2，∵∠AEB=∠DEC=90°， ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED， 即∠BED=∠AEC. ∵AE=BE，DE=CE，∴△BED≌△AEC, ∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE. ∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°， ∴BD⊥AC. (3)①BD與AC的數(shù)量關(guān)系是：BD=AC. ∵△ABE和△DCE是等邊三角形, ∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE， ∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE， ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED， 即∠BED=∠AEC, ∴△BED≌△AEC. ∴BD=AC. ②BD與AC的夾角度數(shù)為60°或120°. 15