【】2021中考數(shù)學(xué) 第16講 三角形的基本知識(shí)及全等三角形

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1、 第16講 三角形的基本知識(shí)及全等三角形 考點(diǎn)1 三角形的概念及其分類 考點(diǎn)2 與三角形有關(guān)的線段 高 ⑥ 三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于⑦ ；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部. 中線 三角形的三條中線相交于⑧ ，每一條中線都將三角形分成面積⑨ 的兩部分. 角平分線 三角形的三條角平分線相交于⑩ ，這個(gè)點(diǎn)是三角形的? ，這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離? . 三邊關(guān)系 三角形的兩邊之和? 第三邊

2、，三角形的兩邊之差? 第三邊. 穩(wěn)定性 三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性. 三角形的中位線 定義 連接三角形兩邊? 的線段叫做三角形的中位線. 性質(zhì) 三角形的中位線? 第三邊，并且等于第三邊的 . 考點(diǎn)3 與三角形有關(guān)的角 定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 . 推論 直角三角形的兩個(gè)銳角 . 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的 . 考點(diǎn)4 全等三角形的性質(zhì)與判定 性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊 ，對(duì)應(yīng)角

3、 . 判定 判定1：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)； 判定2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”)； 判定3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”); 判定4：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡寫成“角角邊”或“AAS”)； 判定5：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”). 【易錯(cuò)提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等. 1.判斷給定的三條線段能否組成三角形，只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長

4、線段即可. 2.“截長法”和“補(bǔ)短法”是證明和差關(guān)系的重要方法，無論用哪一種方法都是要將線段的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，因此添加輔助線構(gòu)造全等三角形是通向結(jié)論的橋梁. 命題點(diǎn)1 三角形中的線段 例1 不一定在三角形內(nèi)部的線段是( ) A.三角形的角平分線 B.三角形的中線 C.三角形的高 D.三角形的中位線 【思路點(diǎn)撥】不管是哪種類型的三角形，三角形的角平分線、中線和中位線都在三角形內(nèi)部，但是銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，直角三角形的一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條高與直角邊重合，鈍角三角形的一條高在三角形內(nèi)部，

5、其余兩條高在三角形外部. 方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形高、角平分線和中線的畫法. 1.(2013·溫州)下列各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 2.如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個(gè)小長方形的長為2，寬為1，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格格點(diǎn)上，以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形面積為2，則滿足條件的點(diǎn)C個(gè)數(shù)是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.三角形

6、的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是( ) A.中線 B.角平分線 C.高 D.中位線 命題點(diǎn)2 三角形中的角 例2 (2013·海南改編)如圖，AB∥CD，AE＝AF，CE交AB于點(diǎn)F，∠C＝110°，求∠A的度數(shù). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求出∠EFB的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AFE，根據(jù)“等邊對(duì)等角”求出∠E的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù). 【解答】 方法歸納：當(dāng)問題中含有平行線時(shí)，可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其他角；當(dāng)該角是一個(gè)三角形的外角或內(nèi)角時(shí)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角

7、形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算. 1.(2013·龍巖)如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點(diǎn)M，N是射線CD上的一點(diǎn).若∠B＝65°，∠MDN＝135°，則∠AMB＝ . 2.(2014·邵陽)如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( ) A.45° B.54° C.40° D.50° 3.(2014·威海)如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，點(diǎn)E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BC與∠ACE的平分線

8、CD相交于點(diǎn)D，連接AD.下列結(jié)論不正確的是( ) A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55° 命題點(diǎn)3 三角形的中位線 例3 (2014·湘潭)如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計(jì)一方法測(cè)量AB的距離，取點(diǎn)C，連接AC、BC，再取它們的中點(diǎn)D、E，測(cè)得DE=15米，則AB=( ) A.7.5米 B.15米 C.22.5米 D.30米 【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈E是△ABC的中位線，利用中位線定義求AB的長.

9、 方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是要依據(jù)題目條件，活用中位線定理的結(jié)論. 1.(2014·瀘州)如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則∠DEC的度數(shù)為( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3.E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是( ) A.7 B.9 C.10 D.11 3.如圖，在△A

10、BC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若△ABC的周長為12 cm，則△DEF的周長是 cm. 命題點(diǎn)4 全等三角形的性質(zhì)與判定 例4 (2014·福州)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求證：∠A=∠D. 【思路點(diǎn)撥】∠A與∠D分別在△ABF和△DEC中，直接證明△ABF和△DCE全等即可. 【解答】 方法歸納：證明兩條邊或兩個(gè)角相等時(shí)，若兩條邊或兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形當(dāng)中，通常證明這兩條邊或兩個(gè)角所在的三角形全等. 1.(2014·南充)如圖，AD、BC相交于O，OA=OC,

11、∠OBD=∠ODB.求證：AB=CD. 2.(2014·宜賓)如圖，已知：在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC. 求證：AD=BC. 3.(2014·瀘州)如圖正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為G，求證：AE=BF. 1.小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解.”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是(

12、) 2.(2013·襄陽)如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點(diǎn)，∠B＝40°，∠ACD＝120°，則∠A等于( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 3.(2014·棗莊)如圖，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，則∠D的度數(shù)為( ) A.17° B.34° C.56° D.124° 4.(2013·河池)一個(gè)三角形的周長是36 cm，則以這個(gè)三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長是( ) A.6 cm

13、B.12 cm C.18 cm D.36 cm 5.(2014·益陽)如圖，平行四邊形ABCD中，E,F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是( ) A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.∠1=∠2 6.(2014·廣州)△ABC中，已知∠A=60°,∠B=80°,則∠C的外角的度數(shù) . 7.(2014·長沙)如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .

14、 8.(2014·溫州)如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3= 度. 9.(2013·婁底)如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是 .(添加一個(gè)條件即可) 10.(2014·連云港)如圖，AB∥CD，∠1=62°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2= . 11.(2013·威海)將一副直角三角板如圖擺放,點(diǎn)C在EF上,AC經(jīng)過點(diǎn)D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,則∠CDF= . 12.

15、(2014·威海)如圖，有一直角三角形紙片ABC，邊BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則四邊形DBCE的周長為 . 13.(2014·十堰)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，AD=AE.求證：∠B=∠C. 14.(2014·武漢)如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD.求證：DC∥AB. 15.(2014·宜昌)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB. (1)求∠CAD的度數(shù)； (2)延長AC至E

16、，使CE=AC,求證:DA=DE. 16.(2014·杭州)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P，求證：PB=PC，并請(qǐng)直接寫出圖中其他相等的線段. 17.(2014·泰安)如圖，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長到E，使CE=CD,過點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長線交于點(diǎn)F.若AB=6，則BF的長為( ) A.6 B.7 C.8 D.10 1

17、8.(2013·達(dá)州改編)如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分線交于點(diǎn)A2 015，則∠A2 015= 度. 19.(2014·蘇州)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,點(diǎn)D，F(xiàn)分別在AB，AC上，CF=CB.連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CE，連接EF. (1)求證：△BCD≌△FCE; (2)若EF∥CD，求∠BDC的度數(shù). 20.(2013·佛山)課本指出：公

18、認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題(如推論、定理等)的正確性都需要通過推理的方法證實(shí). (1)敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS； (2)證明推論AAS. 要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號(hào)表達(dá)已知、求證，并證明，證明對(duì)各步驟要注明依據(jù). 21.(2014·內(nèi)江)如圖，點(diǎn)M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點(diǎn)，且BM＝CN，AM交BN于點(diǎn)P. (1)求證：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度數(shù). 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①首尾順次 ②銳 ③直 ④鈍 ⑤等邊

19、⑥銳角 ⑦直角頂點(diǎn) ⑧一點(diǎn) ⑨相等 ⑩一點(diǎn) ?內(nèi)心 ?相等 ?大于 ?小于 ?中點(diǎn) ?平行 一半 180° 互余 和 相等 相等 各個(gè)擊破 例1 C 題組訓(xùn)練 1.C 2.C 3.A 例2 ∵AB∥CD，∴∠EFB＝∠C＝110°， ∴∠AFE＝180°-110°＝70°. 又∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE＝70°， ∴∠A＝180°-∠E-∠AFE＝180°-2×70°＝40°. 題組訓(xùn)練 1.70° 2.C 3.B 例3 D 題組訓(xùn)練 1.C 2.D 3.6 例4 證明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+E

20、F，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D. 題組訓(xùn)練 1.證明：∵∠OBD=∠ODB， ∴OB=OD. 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴AB=CD. 2.證明：∵AE=CF，∴AF=CE. ∵AD∥BC，∴∠A=∠C. 在△AFD和△CEB中， ∴△AFD≌△CEB(AAS), ∴AD=BC. 3.證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°. 又∵AE⊥BF，垂足為G，∴∠CBF+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠CB

21、F. 在△ABE與△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(ASA)， ∴AE=BF. 整合集訓(xùn) 1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.140° 7.6 8.80 9.∠C=∠B或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BE 10.31° 11.25° 12.18 13.證明：在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠B=∠C. 14.證明：∵在△ODC和△OBA中， ∵ ∴△ODC≌△OBA(SAS)， ∴∠C=∠A(或者∠D=∠B)(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)， ∴DC∥AB(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

22、). 15.(1)∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠B=90°. 又∵∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠CAB,∴∠CAD=30°. (2)證明：∵∠ACB=90°,∴DC⊥AE. 又∵CE=AC，∴DC垂直平分AE. ∴DA=DE. 16.證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵AE＝AF，∠A＝∠A，∴△ABF≌△ACE， ∴∠ABF＝∠ACE，∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC. 相等的線段還有BF＝CE，PF＝PE，BE＝CF. 17.C 18. 19.(1)證明：∵CD繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得CE,

23、 ∴CD=CE,∠DCE=90°. ∵∠ACB=90°, ∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE. 在△BCD和△FCE中， ∴△BCD≌△FCE. (2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E. ∵EF∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°, ∴∠BDC=90°. 20.(1)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. (2)已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF. 證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B(三角形的內(nèi)角和等于180°). 同理：∠F=180°-∠D-∠E. 又∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C=∠F(等式的性質(zhì)). 在△ABC與△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 21.(1)證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN. 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN(SAS). (2)∵△ABM≌△BCN， ∴∠MBP＝∠BAP. ∵∠MBP＋∠BMP＋∠BPM＝180°， ∠BAP＋∠BMA＋∠MBA＝180°， ∴∠BPM＝∠MBA. ∵∠BPM＝∠APN， ∴∠APN＝∠MBA＝＝108°. 12