2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題五 導數(shù)及其應用（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題五 導數(shù)及其應用（含解析） 抓住5個高考重點 重點 1 導數(shù)的幾何意義與運算 1.常見函數(shù)的導數(shù) （1）（為常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2.可導函數(shù)四則運算的求導法則 （1） （2） （3） （4） 3.導數(shù)的幾何意義 4.已知切線的斜率，求切線方程 [高考常考角度] 角度1 曲線在點處的切線與軸交點的縱坐標是（ C ） A. B. C. D. 解析：，

2、故切線方程為，令，則 角度2在平面直角坐標系中，已知點是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在處的切線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，設線段的中點的縱坐標為，則的最大值是_______解析：設則，過點作的垂線 ， ，所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，. 角度3已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足則（ B ） A. B. C. D. 解析：由已知，令，得 角度4函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交點的橫坐標為為正整數(shù)，則的值為__________ 解析：考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項. 在點處的切線方程為：當時，解得， 所以.

3、 重點 2 定積分與微積分基本定理（理） 1.定積分的性質(zhì) （1） （2） （3）其中 2.微積分基本定理：一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且， 那么 [高考?？冀嵌萞 角度1 的值為（ C ） A. B. C. D. 解析： ，故選C 角度2由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為（ C ） A. B. 4 C. D. 6 解析：由，所求面積為，故選C 角度3 從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點，則點取

4、自陰影部分的概率為（ B ） A. B. C. D. 解析：，故點取自陰影部分的概率為 重點 3 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 [高考?？冀嵌萞 角度1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ D ） A. B. C. D. 解析：由由，故選D 角度2設函數(shù) （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）求所有實數(shù)，使對恒成立.注：為自然對數(shù)的底數(shù). 解析：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用等基礎知識，同時考查抽象概括、推理能力. （Ⅰ）解：因為，其中，

5、 所以 由又 由 所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為 （Ⅱ）證明：由題意得， ，即 由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增 要使對恒成立， 只要 即 角度3（xx全國新課程Ⅱ）已知函數(shù). （Ⅰ）設是的極值點，求,并討論的單調(diào)性； 解析：（Ⅰ） 由得， ，由于，所以令， 所以在為增函數(shù)，且(所以必須分類為和討論) 當時， 當時，, 所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 重點 4 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 [高考常考角度] 角度1設函數(shù)，若為函數(shù)的一個極值點，則下列

6、圖象不可能為的圖象是（ D ） A. B. C. D. 解析：設，∴， 又∴為的一個極值點，∴，即， 對于選項A、B，函數(shù)為 故為函數(shù)的一個極值點，滿足條件； 對于選項C，對稱軸且開口向下，也滿足條件； 對于選項D，對稱軸且開口向上，與圖矛盾，故選D 角度2設直線與函數(shù)的圖象分別交于點，則當達到最小時的值為（ D ） A．1 B． C．

7、 D． 解析：由題，，不妨令，則，令解得， 因時，，當時，，所以當時，達到最小. 即.故選擇D 角度3設 （1） 若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍； （2） 當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值. 解：（1）已知，， 當時，的最大值為，令 因此時，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間， （2）令 所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當時，有，所以在區(qū)間上的最大值為 又 所以在上的最小值為 從而在區(qū)間上的最大值為 角度4設，其中為正實數(shù) （Ⅰ）當時，求的極值點； （Ⅱ）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍. 點評：本題考查導數(shù)的

8、運算，極值點的判斷，導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力. 解：對求導得 ① （Ⅰ）當，若則解得 、隨的變化如下圖 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以，是極小值點，是極大值點. （Ⅱ）若為R上的單調(diào)函數(shù)，則在R上不變號，結(jié)合①與條件， 知在R上恒成立， 因此由此并結(jié)合，知 故的取值范圍為 重點 5 導數(shù)在研究不等式中的應用 [高考?？冀嵌萞 角度1已知函數(shù)． （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設，證明：當時，

9、； 解：（Ⅰ）的定義域為 （i）若則在單調(diào)遞增 （ii）若則由得 且當時，當時， 所以單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 （Ⅱ）設函數(shù)則 當時，而 故當時， 角度2設（為常數(shù)），曲線與直線在相切. （1）求的值； （2）證明：當時， 點評：本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問題，考查運算求解能力，是難題. 解析：（1）由的圖象過點，代入得 由在處的切線斜率為，得由在處的切線斜率為， 有，得 （2）（證法一）由均值不等式，當時，，故 記 則， 令，則當時， 因此在內(nèi)是減函數(shù)，又由，得，所以 因此在內(nèi)

10、是減函數(shù)，又由，得，于是當時， 突破3個高考難點 難點1 利用導數(shù)研究多元不等式問題 典例 已知函數(shù). （1）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍； （2）設且，求證： 解析：（1）由已知 因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立 當時，由得 設，則，當且僅當時，即時取等號 （2）由于交換不影響不等式結(jié)構(gòu)，故可設，原不等式等價于， 即， 即 設，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又， 成立， 即 難點2 利用導數(shù)研究數(shù)列問題 典例 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且其中. （1）求數(shù)列的

11、通項公式； （2）令記數(shù)列的前項積為其中，試比較與的大小，并加以證明. 解析：（1）由得 所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列 由，故數(shù)列的通項公式為 （2），證明如下：構(gòu)造函數(shù),則，故在上遞減 所以，故，所以 設則， 相減得 故 難點3 利用導數(shù)研究方程根的問題 典例 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，求的取值范圍. 解析：(Ⅰ) 由或，由 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減

12、 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，則有 ，故的取值范圍為 點評：利用導數(shù)解決方程根的問題，會涉及到三個根、兩個根、一個根的情況，具體的等價關(guān)系需要通過數(shù)形結(jié)合進行有效分析，找出合適的控制條件. 規(guī)避5個易失分點 易失分點1 導數(shù)的幾何意義不明 典例 已知函數(shù)和點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為 （1）求證：為關(guān)于的方程的兩根 （2）設求的表達式. 解析：（1）由已知，， 切線方程為，又切線過點， ① 同理，切線也過點，可得 ② 由①②可得為關(guān)于的方程 （*） 的兩根 （2）由（*）式知 易失

13、分點2 導數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) （1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； （2）若是的極值點，求在的最小值和最大值. 解析：（1）由已知， 令 記，當時，是增函數(shù)， 故實數(shù)的取值范圍是 （2）由題意，， 由或；由 又，故在上遞增，在上遞減， 時，有極小值 于是 時，,而 易失分點3 導數(shù)符號與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù)在處有極值，求的值. 解析：由已知，，由題意得且， 即且，解之得或 （點評：有些人以為到此就已經(jīng)解決問題了，其實不然，還需要作出判斷予以確認.） 當時，在附近兩側(cè)的符號相反

14、 所以滿足題意 當時，在附近兩側(cè)的符號相同 所以不滿足題意，舍去. 綜上， 易失分點4 導數(shù)符號與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) 在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍 解析：由已知， 若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即恒成立 令，，可得，故 若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即恒成立 令，，可得，故 綜上可知，的取值范圍是 易失分點5 定積分與平面圖形面積關(guān)系理解不透徹（理） 典例 如圖，直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則________ 解析：由已知，拋物線與軸的兩個交點的橫坐標為， 所以拋物線與軸圍成的面積為 設拋物線與直線交點的橫坐標分別為，則， 所以 ， 又，