2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 集合間的基本關(guān)系（2）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 集合間的基本關(guān)系（2）教案 新人教A版 教學(xué)分析 課本從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā),通過類比實數(shù)間的大小關(guān)系引入集合間的關(guān)系,同時,結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集等概念.在安排這部分內(nèi)容時,課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法,如類比等. 值得注意的問題:在集合間的關(guān)系教學(xué)中,建議重視使用Venn圖,這有助于學(xué)生通過體會直觀圖示來理解抽象概念;隨著學(xué)習(xí)的深入,集合符號越來越多,建議教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分一些容易混淆的關(guān)系和符號,例如∈與的區(qū)別. 三維目標(biāo) 1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集,能判斷給定集合間的關(guān)系,提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結(jié)

2、論的能力. 2.在具體情境中,了解空集的含義,掌握并能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系,加強學(xué)生從具體到抽象的思維能力,樹立數(shù)形結(jié)合的思想. 重點難點 教學(xué)重點:理解集合間包含與相等的含義. 教學(xué)難點:理解空集的含義. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.實數(shù)有相等、大小關(guān)系,如5=5,5<7,5>3等等,類比實數(shù)之間的關(guān)系,你會想到集合之間有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言,教師不要急于作出判斷,而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生) 欲知誰正確,讓我們一起來觀察、研探. 思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系——屬于與不屬于的關(guān)系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R. 類比實數(shù)的大

3、小關(guān)系,如5<7,2≤2,試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈) 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 (1)觀察下面幾個例子: ①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; ②設(shè)A為國興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合,B為這個班學(xué)生的全體組成的集合; ③設(shè)C={x|x是兩條邊相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; ④E={2,4,6},F={6,4,2}. 你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系嗎？ (2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同樣是子集,有什么區(qū)別？ (3)結(jié)合例子④,類比實數(shù)中的結(jié)論:“若a

4、≤b,且b≤a,則a=b”,在集合中,你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論? (4)按升國旗時,每個班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi),從樓頂向下看,每位同學(xué)是哪個班的,一目了然.試想一下,根據(jù)從樓頂向下看的,要想直觀表示集合,聯(lián)想集合還能用什么表示？ (5)試用Venn圖表示例子①中集合A和集合B. (6)已知AB,試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系. (7)任何方程的解都能組成集合,那么x2+1=0的實數(shù)根也能組成集合,你能用Venn圖表示這個集合嗎？ (8)一座房子內(nèi)沒有任何東西,我們稱為這座房子是空房子,那么一個集合沒有任何元素,應(yīng)該如何命名呢？ (9)與實數(shù)中的結(jié)論“若a≥b,且

5、b≥c,則a≥c”相類比,在集合中,你能得出什么結(jié)論? 活動：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生: (1)觀察兩個集合間元素的特點. (2)從它們含有的元素間的關(guān)系來考慮.規(guī)定:如果AB,但存在x∈B,且xA,我們稱集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA). (3)實數(shù)中的“≤”類比集合中的. (4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的,學(xué)生看成集合中的元素,從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi).教師指出:為了直觀地表示集合間的關(guān)系,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖. (5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等,沒有限制. (6)分類討論:當(dāng)AB時,AB或A=B

6、. (7)方程x2+1=0沒有實數(shù)解. (8)空集記為,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠). (9)類比子集. 討論結(jié)果： (1)①集合A中的元素都在集合B中; ②集合A中的元素都在集合B中; ③集合C中的元素都在集合D中; ④集合E中的元素都在集合F中. 可以發(fā)現(xiàn):對于任意兩個集合A,B有下列關(guān)系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中. (2)例子①中AB,但有一個元素4∈B,且4A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同. (3)若AB,且BA,則A=B. (4)可以把集合中元素寫在一個封閉曲線的內(nèi)部來

7、表示集合. (5)如圖1121所示表示集合A,如圖1122所示表示集合B. 圖1-1-2-1圖1-1-2-2 (6)如圖1-1-2-3和圖1-1-2-4所示. 圖1-1-2-3圖1-1-2-4 (7)不能.因為方程x2+1=0沒有實數(shù)解. (8)空集. (9)若AB,BC,則AC;若AB,BC,則AC. 應(yīng)用示例 思路1 1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長度上都合格時,該產(chǎn)品才合格.若用A表示合格產(chǎn)品的集合,B表示重量合格的產(chǎn)品的集合,C表示長度合格的產(chǎn)品的集合.已知集合A、B、C均不是空集. (1)則下列包含關(guān)系哪些成立？ AB,BA,AC,CA. (2)試用Venn圖

8、表示集合A、B、C間的關(guān)系. 活動：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式.當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時,則AB成立,否則AB不成立.用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立.教師提示學(xué)生以下兩點: (1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品,但合格的產(chǎn)品一定重量合格; 長度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品,但合格的產(chǎn)品一定長度合格. (2)根據(jù)集合A、B、C間的關(guān)系來畫出Venn圖. 解：(1)包含關(guān)系成立的有:BA,CA. (2)集合A、B、C間的關(guān)系用Venn圖表示,如圖1-1-2-5所示. 圖1-1-2-5 變式訓(xùn)練 課本P7練習(xí)3. 點評：本題主要考查集合間的包含關(guān)系.其

9、關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么. 判斷兩個集合A、B之間是否有包含關(guān)系的步驟是:先明確集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之間的關(guān)系,得:當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時,有AB;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,當(dāng)集合B中至少有一個元素不屬于集合A時,有AB;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,并且集合B中的元素也都屬于集合A時,有A=B;當(dāng)集合A中至少有一個元素不屬于集合B,并且集合B中至少有一個元素也不屬于集合A時,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 2.寫出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 活動：學(xué)生思考子集和真子集的定義,教師提示學(xué)生空集是任何集合的子

10、集,一個集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的個數(shù)分類討論. 解：集合{a,b}的所有子集為,{a},,{a,b}.真子集為,{a},. 變式訓(xùn)練 xx山東濟(jì)寧一模,1 已知集合P={1,2},那么滿足QP的集合Q的個數(shù)是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 分析:集合P={1,2}含有2個元素,其子集有22=4個, 又集合QP,所以集合Q有4個. 答案：A 點評：本題主要考查子集和真子集的概念,以及分類討論的思想.通常按子集中所含元素的個數(shù)來寫出一個集

11、合的所有子集,這樣可以避免重復(fù)和遺漏. 思考:集合A中含有n個元素,那么集合A有多少個子集？多少個真子集？ 解：當(dāng)n=0時,即空集的子集為,即子集的個數(shù)是1=20; 當(dāng)n=1時,即含有一個元素的集合如{a}的子集為,{a},即子集的個數(shù)是2=21; 當(dāng)n=2時,即含有一個元素的集合如{a,b}的子集為,{a},,{a,b},即子集的個數(shù)是4=22. …… 集合A中含有n個元素,那么集合A有2n個子集,由于一個集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)個真子集. 思路2 1.xx上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,則實數(shù)m=

12、_______. 活動：先讓學(xué)生思考BA的含義,根據(jù)BA,知集合B中的元素都屬于集合A,集合元素的互異性,列出方程求實數(shù)m的值.因為BA,所以3∈A,m2∈A.對m2的值分類討論. 解：∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1. 答案：1 點評：本題主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互異性.本題容易出現(xiàn)m2=3,其原因是忽視了集合元素的互異性.避免此類錯誤的方法是解得m的值后,再代入驗證. 討論兩集合之間關(guān)系時,通常依據(jù)相關(guān)的定義,觀察這兩個集合元素的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為解方程或解不等式. 變式訓(xùn)練 已知集合M={x|2-x<0},集合

13、N={x|ax=1},若NM,求實數(shù)a的取值范圍. 分析:集合N是關(guān)于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,則N=或N≠,要對集合N是否為空集分類討論. 解：由題意得M={x|x>2}≠,則N=或N≠. 當(dāng)N=時,關(guān)于x的方程ax=1中無解,則有a=0; 當(dāng)N≠時,關(guān)于x的方程ax=1中有解,則a≠0,此時x=,又∵NM,∴∈M.∴>2. ∴0

14、集合M有多少個子集？ 活動：學(xué)生思考子集的含義,并試著寫出子集.(1)按子集中所含元素的個數(shù)分類寫出子集;(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n=0,n=1,n=2,n=3時子集的個數(shù)規(guī)律,歸納猜想出結(jié)論. 答案：(1)的子集有:,即有1個子集; {a}的子集有:、{a},即{a}有2個子集; {a,b}的子集有:、{a}、、{a,b},即{a,b}有4個子集; {a,b,c}的子集有:、{a}、、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有8個子集. (2)由(1)可得:當(dāng)n=0時,有1=20個子集; 當(dāng)n=1時,集合M有2=21個子集; 當(dāng)n

15、=2時,集合M有4=22個子集; 當(dāng)n=3時,集合M有8=23個子集; 因此含有n個元素的集合M有2n個子集. 變式訓(xùn)練 已知集合A{2,3,7},且A中至多有一個奇數(shù),則這樣的集合A有……( ) A.3個 B.4個 C.5個 D.6個 分析:對集合A所含元素的個數(shù)分類討論. A=或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6個. 答案：D 點評：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力.集合M中含有n個元素,則集合M有2n個子集,有2n-1個真子集,記住這個結(jié)論,可以提高解題速度.寫一

16、個集合的子集時,按子集中元素的個數(shù)來寫不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象. 知能訓(xùn)練 課本P7練習(xí)1、2. 【補充練習(xí)】 1.判斷正誤: (1)空集沒有子集. ( ) (2)空集是任何一個集合的真子集. ( ) (3)任一集合必有兩個或兩個以上子集. ( ) (4)若BA,那么凡不屬于集合A的元素,則必不屬于B.

17、 ( ) 分析:關(guān)于判斷題應(yīng)確實把握好概念的實質(zhì). 解：該題的5個命題,只有(4)是正確的,其余全錯. 對于(1)、(2)來講,由規(guī)定:空集是任何一個集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 對于(3)來講,可舉反例,空集這一個集合就只有自身一個子集. 對于(4)來講,當(dāng)x∈B時必有x∈A,則xA時也必有xB. 2.集合A={x|-1

18、={x|-1

19、1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0} A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M={x|3

20、到的是元素與集合,集合與集合的關(guān)系. ①應(yīng)是{1}{0,1,2},④應(yīng)是{0,1,2},⑤應(yīng)是{0}. 故錯誤的有①④⑤. (3)M={x|3

21、奇數(shù)構(gòu)成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又x=4n=2·2n, 在x=2m中,m可以取奇數(shù),也可以取偶數(shù);而在x=4n中,2n只能是偶數(shù). 故集合A、B的元素都是偶數(shù).但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成,則有BA. 點評：此題是集合中較抽象的題目.要注意其元素的合理尋求. 5.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}滿足QP,求a所取的一切值. 解：因P={x|x2+x-6=0}={2,-3}, 當(dāng)a=0時,Q={x|ax+1=0}=,QP成立. 又當(dāng)a≠0時,Q={x|ax+1=0}={},要QP成立,

22、則有=2或=-3,a=或a=. 綜上所述,a=0或a=或a=. 點評：這類題目給的條件中含有字母,一般需分類討論.本題易漏掉a=0,ax+1=0無解,即Q為空集的情況,而當(dāng)Q=時,滿足QP. 6.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使APB,求滿足條件的集合P. 解：由A={x∈R|x2-3x+4=0}=, B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由APB知集合P非空,且其元素全屬于B,即有滿足條件的集合P為 {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1

23、,1,-4}. 點評：要解決該題,必須確定滿足條件的集合P的元素,而做到這點,必須明確A、B,充分把握子集、真子集的概念,準(zhǔn)確化簡集合是解決問題的首要條件. 7.設(shè)A={0,1},B={x|xA},則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？ 解：因A={0,1},B={x|xA}, 故x為,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B. 點評：注意該題的特殊性,一集合是另一集合的元素. 8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若BA,求實數(shù)m的取值范圍; (2)當(dāng)x∈Z時,求A的非空真子集個數(shù); (3)當(dāng)x∈R時,沒有元素x使x∈A與x∈B

24、同時成立,求實數(shù)m的取值范圍. 解：(1)當(dāng)m+1>2m-1即m<2時,B=滿足BA. 當(dāng)m+1≤2m-1即m≥2時,要使BA成立, 需可得2≤m≤3.綜上所得實數(shù)m的取值范圍m≤3. (2)當(dāng)x∈Z時,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A的非空真子集個數(shù)為2上標(biāo)8-2=254. (3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立. 則①若B≠即m+1>2m-1,得m<2時滿足條件; ②若B≠,則要滿足條件有:或解之,得m>4. 綜上有m<2或m>4. 點評：此問題解決要注意：不應(yīng)忽略;找A中

25、的元素;分類討論思想的運用. 拓展提升 問題:已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},則滿足上述條件的集合A共有多少個？ 活動：學(xué)生思考AB,且AC所表達(dá)的含義.AB說明集合A是集合B的子集,即集合A中元素屬于集合B,同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素. 思路1:寫出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合,得滿足條件的集合A; 思路2:分析題意,僅求滿足條件的集合A的個數(shù),轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個數(shù). 解法一：因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,滿足

26、AB,有:,{0},{1},{2},{3},{4}, {0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(個). 又滿足AC的集合A有:,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},

27、{4,8},{0,2,4}, {0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(個). 其中同時滿足AB,AC的有8個:,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},實際上到此就可看出,上述解法太繁. 解法二：題目只求集合A的個數(shù),而未讓說明A的具體元素,故可將問題等價轉(zhuǎn)化為B、C的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少.顯然公共元素有0、2、4,組成集合的子集有23=8(個). 點評：有關(guān)集合間關(guān)系的問題,常用分類討論的思想來解決;關(guān)于集合的子集個數(shù)的結(jié)論要熟練掌握,其應(yīng)用非常廣泛. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了: ①子集、真子集、空集、Venn圖等概念; ②能判斷存在子集關(guān)系的兩個集合誰是誰的子集,進(jìn)一步確定其是否是真子集; ③清楚兩個集合包含關(guān)系的確定,主要靠其元素與集合關(guān)系來說明. 作業(yè) 課本P11習(xí)題1.1A組5. 設(shè)計感想 本節(jié)教學(xué)設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生通過類比來獲得新知,在實際教學(xué)中, 要留給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間,使學(xué)生自己通過類比得到正確結(jié)論.豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能僅限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受,獨立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學(xué)等都應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.