2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.與三視圖相結合，考查幾何體的表面積、體積；2.作為解答題中的某一問，與空間線面關系相結合考查幾何體體積的計算． 復習備考要這樣做　1.熟記公式，理解公式的意義；2.結合幾何體的結構特征，運用公式解決一些計算問題． 1． 柱、錐、臺和球的側面積和體積 面積 體積 圓柱 S側＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圓臺 S側＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S側＝C

2、h V＝Sh 正棱錐 S側＝Ch′ V＝Sh 正棱臺 S側＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2 .幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和． (2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和． [難點正本　疑點清源] 1． 幾何體的側面積和全面積 幾何體的側面積是指(各個)側面面積之和，而全面積是側面積與所有底面積之和．對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．要特別留意根據(jù)幾何體側面展開圖的平面圖形的特點來求解相關問題．如直棱柱(圓柱

3、)側面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側面展開圖為扇形，此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大?。? 2． 等積法 等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值． 1． 圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是________． 答案　4πS 解析　設圓柱的底面半徑

4、為r，則r＝， 又側面展開圖為正方形，∴圓柱的高h＝2， ∴S圓柱側＝4πS. 2． 設某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)．則該幾何體的體積為________m3. 答案　4 解析　這個空間幾何體是一個三棱錐，這個三棱錐的高為2，底面是一個一條邊長為4、這條邊上的高為3的等腰三角形，故其體積V＝××4×3×2＝4. 3． 表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________． 答案　2 解析　設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則πl(wèi)2＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2. 4． 一個球與一個正方體的各個面均相

5、切，正方體的邊長為a，則球的表面積為________． 答案　πa2 解析　由題意知，球的半徑R＝. 所以S球＝4πR2＝πa2. 5. 如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上 一點，且PB1＝A1B1，則多面體P—BB1C1C的體積為________． 答案　 解析　∵四棱錐P—BB1C1C的底面積為16，高PB1＝1， ∴VP—BB1C1C＝×16×1＝. 題型一　空間幾何體的表面積 例1　一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (　　) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．8

6、0 思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結構特征，然后再求表面積． 答案　C 解析　由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是矩形，寬為4，長為＝.所以S表＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8. 探究提高　(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系． (2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理． (3)圓柱、圓錐、圓

7、臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和． 一個幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是________cm2. 答案　4π＋12 解析　由三視圖知該幾何體為一個四棱柱、一個半圓柱和一個半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為1×2－×π×12＝2－，四棱柱中不重合的表面積為2－＋1×2×2＋2×2＋2＝12－，半圓柱中不重合的表面積為×2π×2＋π＝π，半球的表面積為×4π＝2π，所以該幾何體的表面積為4π＋12. 題型二　空間幾何體的體積 例2　如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體

8、 ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1—B1EDF 的體積． 思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1—B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積； 思路二：先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個三棱錐B1—C1EF與D—C1EF，再求四棱錐C1—B1EDF的體積． 解　方法一　連接A1C1，B1D1交于點O1，連接B1D，EF，過O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1?平面B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離． ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF， 平面B1D1D

9、∩平面B1EDF＝B1D， ∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高． ∵△B1O1H∽△B1DD1， ∴O1H＝＝a. ∴VC1—B1EDF＝S四邊形B1EDF·O1H＝··EF·B1D·O1H＝··a·a·a＝a3. 方法二　連接EF，B1D. 設B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝a. 由題意得，VC1—B1EDF＝VB1—C1EF＋VD—C1EF ＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3. 探究提高　在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時，常常需要用到分割法．在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時，

10、若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積． (xx·課標全國)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍， 所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍． 在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝＝， ∴

11、VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝. 題型三　幾何體的展開與折疊問題 例3　(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O， 剪去△AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、 C、D、O為頂點的四面體的體積為________． (2)有一根長為3π cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________ cm. 思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關系；(2)可利用圓柱的側面展開圖． 答案　(1)　(2)5π 解析　(1)折疊

12、后的四面體如圖所示． OA、OC、OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，體積V＝ S△OCD·OA＝××(2)3＝. (2)把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度． AC＝＝5π (cm)， 故鐵絲的最短長度為5π cm. 探究提高　(1)有關折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開，轉化為平面上

13、兩點間的最短距離問題． 如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 答案　 解析　如圖，四棱錐的高 h＝＝， ∴V＝Sh＝×1×＝. 轉化思想在立體幾何計算中的應用 典例：(12分)如圖，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三 角形，AA′＝4，M為AA′的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面 經過棱CC′到M的最短路線長為，設這條最短路線與CC′的交點為 N，求： (1)該三棱柱的側面展開圖的對角線長； (2)PC與NC的長； (3)三棱錐C—MNP的體積．

14、 審題視角　(1)側面展開圖從哪里剪開展平；(2)MN＋NP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好． 規(guī)范解答 解　(1)該三棱柱的側面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為＝.[2分] (2)將該三棱柱的側面沿棱BB′展開，如下圖，設PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2. ∵MP＝，MA＝2，AC＝3， ∴x＝2，即PC＝2. 又NC∥AM，故＝，即＝. ∴NC＝.[8分] (3)S△PCN＝×CP×CN＝×2×＝. 在三棱錐M—PCN中，M到面PCN的距離， 即h＝×3＝. ∴VC—MNP＝VM—PCN＝·h·S△PCN ＝××＝.[

15、12分] 溫馨提醒　(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個平面上，將問題轉化為平面上的最值問題． (2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上． 如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉化為平面上的問題． (3)本題的易錯點是，不知道從哪條側棱剪開展平，不能正確地畫出側面展開圖．缺乏空間圖形向平面圖形的轉化意識. 方法與技巧 1．對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結合它們的結構特

16、點與平面幾何知識來解決． 2．要注意將空間問題轉化為平面問題． 3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解． 4．一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決． 失誤與防范 1．幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關系． 2．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于

17、球的直徑． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·課標全國)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 (　　) A．6 B．9 C．12 D．18 答案　B 解析　結合三視圖知識求解三棱錐的體積． 由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h＝3，相應底面面積為S＝×6×3＝9， ∴V＝Sh＝×9×3＝9. 2. 已知高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形 (如右圖所示)，則三棱錐B′—ABC的

18、體積為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　VB′—ABC＝×BB′×S△ABC＝×3××12＝. 3． 正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為 (　　) A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 答案　A 解析　S底＝6××42＝24，S側＝6×4×6＝144， ∴S全＝S側＋2S底＝144＋48＝48(3＋)． 4． (xx·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是 (　　) A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12

19、 D．60＋12 答案　B 解析　根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積． 由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示， 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4. ∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE， 則CD⊥平面ABD， 故CD⊥AD， 所以AC＝且S△ACD＝10. 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2. 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4， 故S△BCD＝10，且BC＝. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10. 在△ABC

20、中，AB＝2，BC＝AC＝， 則AB邊上的高h＝6，故S△ABC＝×2×6＝6. 因此，該三棱錐的表面積為S＝30＋6. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx·山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別 為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 答案　 解析　利用三棱錐的體積公式直接求解． VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝. 6． (xx·天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 答案　4 解析　此幾何體是兩個長方體的

21、組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4. 7． 已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為________． 答案　3π 解析　如圖，構造正方體ANDM—FBEC.因為三棱錐A—BCD的所有棱長都為，所以正方體ANDM—FBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為. 易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球，所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球＝4π2＝3π. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖所示，在邊長為5＋的正方形ABCD中，以A為圓心 畫一個扇形，以O為圓心畫一個圓，M

22、，N，K為切點，以扇形為 圓錐的側面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，求圓錐的全面積 與體積． 解　設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h， 由已知條件， 解得r＝，l＝4，S＝πrl＋πr2＝10π， h＝＝，V＝πr2h＝2π. 9． (12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)． (1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)； (2)求這個幾何體的表面積及體積． 解　(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的組合體． 由PA1＝PD1＝， A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.

23、故所求幾何體的表面積 S＝5×22＋2×2×＋2××()2 ＝22＋4(cm2)， 體積V＝23＋×()2×2＝10(cm3)． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為 (　　) A.π B．π＋ C.π＋ D.π＋ 答案　C 解析　由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，∴表面積S＝×2×＋×π×12＋×π×1×2＝＋. 2． 在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為

24、AE的中點，設E—ABCD的體積為V，那么三棱錐M—EBC的體積為 (　　) A.V B.V C.V D.V 答案　D 解析　設點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2. 連接MD. 因為M是AE的中點， 所以VM—ABCD＝V. 所以VE—MBC＝V－VE—MDC. 而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC， 所以＝＝. 因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝. 所以VE—MBC＝VM－EBC＝V. 3． (xx·遼寧)已知球的直徑SC＝4，A、B

25、是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為 (　　) A．3 B．2 C. D．1 答案　C 解析　由題意知，如圖所示，在棱錐S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一個角為30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D點，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4. 如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則 一質點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的

26、最短路線 的長為______ cm. 答案　13 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后 將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為＝13 cm. 5． 已知一個幾何體是由上、下兩部分構成的組合體，其三視圖如圖所示， 若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是 ________． 答案　π 解析　這個幾何體是由一個底面半徑為1，高為2的圓錐和一個半徑為1的半球組成的幾何體，故其體積為π×12×2＋×π×13＝π. 6． (xx·上海)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC＝ 2.若AD＝2c，且AB

27、＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c為常數(shù)，則四面 體ABCD的體積的最大值是________． 答案　c 解析　利用橢圓的定義及割補法求體積． ∵AB＋BD＝AC＋CD＝2a>2c＝AD， ∴B、C都在以AD的中點O為中心，以A、D為焦點的兩個橢圓上， ∴B、C兩點在橢圓兩短軸端點時，到AD距離最大，均為， 此時△BOC為等腰三角形，且AD⊥OC，AD⊥OB， ∴AD⊥平面OBC.取BC的中點E，顯然OE⊥BC， OEmax＝， ∴(S△BOC)max＝×2×＝. ∴VD－ABC＝VD－OBC＋VA－OBC ＝·OD·S△OBC＋·OA·S△OBC ＝(OD＋OA)

28、S△OBC ＝×2c ＝c. 三、解答題 7． (13分)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D—ABC，如圖2所示． 　圖1　　　　 　圖2 (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D—ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC. 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知BC為三棱錐B—ACD的高， BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB—ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝， 由等體積性可知，幾何體D—ABC的體積為.