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1、2022年春八年級數(shù)學下冊 第19章 矩形、菱形與正方形 19.1 矩形 2.矩形的判定練習 （新版）華東師大版
1.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,則下面條件能判定平行四邊形ABCD是矩形的是( A )
(A)AC=BD
(B)AC⊥BD
(C)AO=CO
(D)AB=AD
2.已知平行四邊形ABCD,AC,BD是它的兩條對角線,那么下列條件中,能判斷這個平行四邊形為矩形的是( C )
(A)∠BAC=∠DCA
(B)∠BAC=∠DAC
(C)∠BAC=∠ABD
(D)∠BAC=∠ADB
3.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與B
2、D相交于點O,∠1=∠2.若AC=13,BC=12,則四邊形ABCD的面積是( D )
(A)20 (B)30 (C)50 (D)60
4.在四邊形ABCD中,AC和BD的交點為O,不能判斷四邊形ABCD為矩形的是( C )
(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD
(B)AO=CO,BO=DO,∠A=90°
(C)∠A=∠C,∠B+∠C=180°
(D)AB∥CD,AB=CD,∠A=90°
5.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,添加一個條件: ∠ABC=90°(或AC=BD等) ,可使它成為矩形.?
6.如圖,在△ABC中,AB=AC,將△ABC繞點C旋轉
3、180°得到△FEC,連結AE,BF.當∠ACB為 60 °時,四邊形ABFE為矩形.?
7.如圖,在兩條平行直線a和b上用直角曲尺畫兩條直線,則構成的四邊形ABCD為 矩形 .?
8.學完矩形的判定后,小明和小麗想實際應用一下(檢驗教室的門是否為矩形).根據(jù)小明和小麗的對話,你認為小明和小麗誰正確:
小明:“我用直尺量這個門的兩條對角線,發(fā)現(xiàn)它們的長度相等,所以這個四邊形門就是矩形.”
小麗:“我用角尺量這個門的任意三個角,發(fā)現(xiàn)它們都是直角.所以這個四邊形門就是矩形.”
解:小明的不一定是矩形,只根據(jù)對角線相等不能判定四邊形為矩形;
因為對角線相等的平行四邊形是矩形,所以
4、小明的說法錯誤;
小麗的一定是矩形,因為有三個角是直角的四邊形是矩形.
所以小麗的說法正確.
9.(xx北京門頭溝期末)已知,如圖,在?ABCD中,過點D作DE⊥AB于點E,點F在邊CD上,DF=BE,連結AF和BF.
(1)求證:四邊形BFDE是矩形;
(2)如果CF=3,BF=4,DF=5,求證:AF平分∠DAB.
證明:(1)因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以DF∥BE.因為DF=BE,
所以四邊形BFDE是平行四邊形.
因為DE⊥AB,所以∠DEB=90°.
所以四邊形BFDE是矩形.
(2)因為四邊形BFDE是矩形,
所以∠BFD=∠BFC=90°.
5、
所以BC==5,所以AD=BC=5.
因為DF=5,所以AD=DF.
所以∠DAF=∠DFA.
因為AB∥CD,
所以∠DFA=∠FAB.
所以∠DAF=∠FAB.
所以AF平分∠DAB.
10.如圖,在△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB,外角∠ACD的平分線于點E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的長;
(2)連結AE,AF.問:當點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
解:(1)因為EF交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于
點F,
所以∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF
6、,
因為EF∥BC,
所以∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
所以∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
所以OE=OC,OF=OC,所以OE=OF.
因為∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
所以∠ECF=90°,
在Rt△CEF中,
由勾股定理得EF===10,
所以OC=OE=EF=5.
(2)當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形.理由:
連結AE,AF,如圖所示,
當O為AC的中點時,
AO=CO,
因為EO=FO,
所以四邊形AECF是平行四邊形,
因為∠ECF=90°,
所以平行四邊形AECF是矩形.
7、
11.(拓展探究)(xx青島)已知,如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點E,點G為AD的中點,連結CG,CG的延長線交BA的延長線于點F,連結FD.
(1)求證:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判斷四邊形ACDF的形狀,并證明你的
結論.
(1)證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以BF∥CD,AB=CD,所以∠AFG=∠DCG.
因為GA=GD,∠AGF=∠CGD,
所以△AGF≌△DGC.
所以AF=CD.所以AB=AF.
(2)解:四邊形ACDF是矩形.
證明如下:
因為AF=CD,AF∥CD,
所以四邊形ACDF
8、是平行四邊形.
所以AG=DG,FG=CG.
因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以∠BAD=∠BCD=120°.
所以∠FAG=60°.因為AB=AF,AG=AB,
所以AG=AF.所以△AFG是等邊三角形.
所以AG=GF.
所以AG=DG=FG=CG.所以AD=CF.
所以四邊形ACDF是矩形.
12.(方程思想)如圖,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=
14 cm,AD=18 cm,BC=21 cm,點E由點A出發(fā)沿AD方向向點D勻速運動,速度為1 cm/s,點F由點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動,速度為2 cm/s,如果動點E,F同時從A,C兩
9、點出發(fā),連結EF,若設運動的時間為t s,解答下列問題:
(1)當t何值時,梯形AEFB的面積是91 cm2?
(2)當t何值時,四邊形AEFB是矩形?
解:(1)根據(jù)題意,得AE=t cm,CF=2t cm,
則BF=(21-2t)cm.因為S梯形AEFB=91,
所以×(t+21-2t)×14=91.所以t=8.
所以當t=8時,梯形AEFB的面積是91 cm2.
(2)根據(jù)題意,得AE=t cm,CF=2t cm,
則BF=(21-2t)cm.
因為AE∥BF,∠B=90°,
所以當AE=BF時,四邊形AEFB是矩形.
所以t=21-2t.所以t=7.
所以當t=7時,四邊形AEFB是矩形.
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