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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 理(I)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
． ． ．或 ．
2．“”是“”的（ ）
．充要條件 ．必要而不充分條件
．充分而不必要條件 ．既不充分也不必要條件
3．甲、乙、丙3人分配到7個(gè)實(shí)驗(yàn)室準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)，若每個(gè)實(shí)驗(yàn)室最多分配2人，則不同分配方案共有 ( )
．336 ．306 ． 258 ?。?96
2、4．執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的（ ）
． ． ． ．
開始
?
是
輸入p
結(jié)束
輸出
否
5．若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為，則該幾何體的俯視圖可以是( )
6．將函數(shù)f(x)＝sinx－cosx的圖象向左平移m個(gè)單位(m＞0)，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是 ( )
Ａ． B． C． D．
7．(1－)8展開式中不含x4項(xiàng)的系數(shù)的和為( )
A．－1 B．0
3、 C．1 D．2
8.給出下列命題：
①函數(shù) 的定義域是（-3, 0）；
②在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于1的概率是；
③如果數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn 的平均值為，方差為S2 ，則3x1+5、3x2+5、…、3xn+5 的方差為9S2；
④直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2＝9相交；
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知點(diǎn)M是⊿ABC的重心，若A=60°，，則的最小值為 ( )
A． B． C． D．2
10．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積T
4、n＝ (n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是( )
A．S6 B．S5 C．S4 D．S3
11．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足.當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間上方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12. 我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知、是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（ ?。?
A． B. C. D.
5、 第Ⅱ卷
二．填空題：（本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卷中的指定位置）
13．某校高三有1000個(gè)學(xué)生，高二有1200個(gè)學(xué)生，高一有1500個(gè)學(xué)生，現(xiàn)按年級分層抽樣，調(diào)查學(xué)生的視力情況，若高一抽取了75人，則全校共抽取了 人．
14．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10＝S11，則a1的值為_______．
15．設(shè)變量x，y滿足約束條件：則的最大值為_______．
16．已知函數(shù)f(x)＝()x－log2x，正實(shí)數(shù)a、b、c成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f(
6、a)f(b)f(c)<0，若實(shí)數(shù)d是方程f(x)＝0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：
①db；③dc中有可能成立的是________．
三、解答題：（本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
17. (本小題滿分10分) 已知函數(shù)f(x)＝sin2x－(cos2x－sin2x)－1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期；
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)與向量n＝(3，sinB)共線，求a，b的值．
18．(本小題滿分10
7、分)某分公司有甲、乙、丙三個(gè)項(xiàng)目向總公司申報(bào)，總公司有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)部門進(jìn)行評估審批，已知這三個(gè)部門的審批通過率分別為、、．只要有兩個(gè)部門通過就能立項(xiàng)，立項(xiàng)的每個(gè)項(xiàng)目能獲得總公司100萬元的投資．
(1)求甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率；
(2)設(shè)該分公司這次申報(bào)的三個(gè)項(xiàng)目獲得的總投資額為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．
19. （本小題滿分13分）
如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，AB＝PB＝PD＝2，PC＝，AC與BD交于O點(diǎn)，E，H分別為PA，OC的中點(diǎn)．
(1)求證：PC∥平面BDE；
(2)求證：PH⊥平面ABCD；
(3)求直線CE與平面PA
8、B所成角的正弦值．
20.（本小題滿分13分）
如圖所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲線段DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等．
(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線段DE的方程；
(2)過C能否作一條直線與曲線段DE相交，且所得弦以C為中點(diǎn)，如果能，求該弦所在的直線的方程；若不能，說明理由．
21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a∈R.
(1)若在x＝1處取極值．求實(shí)數(shù)a的值；
(2)在(1)的條件下：求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明 (其中n！＝1×2×3×…×n，n∈N且n≥2)；
(3)若關(guān)于x
9、的方程f(x)＝0有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
四．選考題（從下列兩道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請注明題號；若多做，則按首做題計(jì)入總分，滿分10分． 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
22．（本小題滿分分）選修4─4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講．
如圖，在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為1.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．
23．（本小題滿分分）選修4─5：不等式證明選講．
已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－
10、|x|.
(1)求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
成都市龍泉一中高三第二次數(shù)學(xué)（理科）月考試題答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。
B C A B C B A D B D A D
12解:設(shè)橢圓的半長軸為，橢圓的離心率為，則.
雙曲線的實(shí)半軸為，雙曲線的離心率為，.，則由余弦定理得，
當(dāng)點(diǎn)看做是橢圓上的點(diǎn)時(shí),有，
當(dāng)點(diǎn)看做是雙曲線上的點(diǎn)時(shí),有，
兩式聯(lián)立消去得，即，
所以，又因?yàn)?，所以?
整理得，解得，所以，即雙曲線的離心率為.
二．填空題：（本大題共4小題,每小題5分,共20
11、分,把答案填在答題卷中的指定位置）
13． 185 14． __20__ 15． __9__ 16． __①②③__
16解析：易知f(x)＝()x－log2x是定義域(0，＋∞)上的減函數(shù)，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)d.由f(a)f(b)f(c)<0及0f(b)>f(c)有兩種可能：f(a)>f(b)>0>f(c)或0>f(a)>f(b)>f(c)．
所以a
12、當(dāng)2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z時(shí)，f(x)取得最小值－2.
f(x)的最小正周期為π. (5分)
(2)由f(C)＝0，得C＝.又c＝，得a2＋b2－ab＝7， (7分)
由向量m＝(1，sinA)與向量n＝(3，sinB)共線，得sinB＝3sinA，b＝3a. (9分)
解方程組，得.(10分)
18．解：解：(1)設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)部門審批通過分別計(jì)為事件A，B，C，
則P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝． ?。?分）
甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率為：
，甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率為；（3分）
（2）X的可能取值為0，100，200，300． （4分）
，，
， ，
13、（8分）
X的概率分布列為：
X
0
100
200
300
P
X的數(shù)學(xué)期望為EX＝（萬元）．（10分）
19. 解：(1)證明：連接OE，因?yàn)镋，O分別為PA，AC的中點(diǎn)，所以EO∥PC.
又EO?平面BDE，PC?平面BDE.所以PC∥平面BDE.(4分)
(2)證明：連接OP，因?yàn)镻B＝PD，所以O(shè)P⊥BD.
在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因?yàn)镺P∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH.
在直角三角形POB中，OB＝1，PB＝2，所以O(shè)P＝.
又PC＝，H為OC的中點(diǎn)，所以PH⊥OC.
14、
又因?yàn)锽D∩OC＝O，所以PH⊥平面ABCD.(8分)
(3)過點(diǎn)O作Oz∥PH，所以O(shè)z⊥平面ABCD.
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，Oz所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
可得，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，P(－，0，)，E(，0，)．
所以＝(－，1,0)，＝(－，0，)，＝(，0，)．(11分)
設(shè)n＝(x，y，z)是平面PAB的一個(gè)法向量，則，即，
令x＝1，則n＝(1，，)．
設(shè)直線CE與平面PAB所成的角為θ，可得sinθ＝|cos〈n，〉|＝.
所以直線CE與平面PAB所成角的正弦值為.(13分)
20. 解： (
15、1)以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則A(－2,0)，B(2,0)，C(2，)，D(－2,3)．
依題意，曲線段DE是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．
因?yàn)閍＝(|AD|＋|BD|)＝4，c＝2，b2＝12，
所以所求方程為＋＝1(－2≤x≤4,0≤y≤2)．(5分)
(2)設(shè)這樣的直線存在，其方程為y－＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋，
將其代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋(8k－16k2)x＋16k2－16k－36＝0.(7分)
設(shè)弦的端點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由＝2，知x1＋x2＝4，
所以－＝4，解得k＝－．所以弦MN所在直
16、線方程為y＝－x＋2，(11分)
驗(yàn)證得知，這時(shí)M(0,2)，N(4,0)適合條件．
故這樣的直線存在，其方程為y＝－x＋2.(1３分)
21．解： (1)f′(x)＝－a，(1分)
因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)在x＝1時(shí)取極值，所以f′(1)＝1－a＝0，(2分)
經(jīng)檢驗(yàn)：a＝1滿足f(x)在x＝1時(shí)取極大值．(3分)
(2)由(1)f(x)＝lnx－x，
f′(x)＝－1＝<0?x>1，所以[1，＋∞)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，(5分)
所以x≥1時(shí)，f(x)＝lnx－x≤f(1)＝－1，所以lnx≤x－1.(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立)
故ln1＝0，ln2<1，ln3<2，…，
17、lnn0，x∈(0，＋∞)．
即f(x)＝lnx－ax在(0，＋∞)為單調(diào)增函數(shù)，故f(x)＝0在(0，＋∞)不可能有兩實(shí)根．(10分)
所以a>0.
令f′(x)＝0，得x＝.
當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增，
當(dāng)x∈(
18、，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減，(12分)
所以f(x)在x＝處取到極大值－lna－1.
要使x>0時(shí)，f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)－lna－1>0.
解得00.
由幾何意義知y＝lnx與直線y＝ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y＝ax的變化應(yīng)是從x軸到與y＝lnx相切之間的情形．(11分)
設(shè)切點(diǎn)(t，lnt)?k＝(lnx)′|
19、x＝t＝，
所以切線方程為：y－lnt＝(x－t)．(12分)
由切線與y＝ax重合知a＝，lnt＝1?t＝e，a＝，(13分)
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，)．(14分)
方法3：轉(zhuǎn)化為a＝處理，根據(jù)步驟相應(yīng)計(jì)分．
22．解：(1)如圖，設(shè)M(ρ，θ)為圓C上除點(diǎn)O，B外的任意一點(diǎn)，連接OM，BM，在Rt△OBM中，
|OM|＝|OB|cos ∠BOM，所以ρ＝2cos θ.
可以驗(yàn)證點(diǎn)O(0，)，B(2,0)也滿足ρ＝2cos θ，
故ρ＝2cos θ為所求圓的極坐標(biāo)方程．（5分）
(2)由(t為參數(shù))，
得直線l的普通方程為y＝(x＋1)，即直線l的普通方程為x－y＋1＝0.
由ρ＝2cos θ，得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1.
因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝1，所以直線l與圓C相切．（10分）
23．解：(1)由題知f(x)＝
當(dāng)x＜－時(shí)，由－x－1＞0得x＜－1，
當(dāng)－≤x≤0時(shí)，由3x＋1＞0得x＞－，即－＜x≤0，
當(dāng)x＞0時(shí)，由x＋1＞0得x＞－1，即x＞0.
綜上，不等式的解集是.（5分）
(2)由(1)知，f(x)min＝f＝－.
若存在x0∈R，使得f(x0)≤m成立，即m≥－.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.（10分）
2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 理(I)
