2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角》教案 新人教A版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角》教案 新人教A版必修4 教學(xué)目的： ⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 ⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式. ⑶能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用 授課類型：新授課 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．兩個(gè)非零向量夾角的概念 已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角. C 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它

2、們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積. 4．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量. 1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° a^b ? a×b = 0 3° 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a||b|. 特別的a×a = |a|2或 4° cosq = ；5°|a

3、×b| ≤ |a||b| 5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律：a × b = b × a 數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b) 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 二、講解新課： ⒈ 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量，，試用和的坐標(biāo)表示. 設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以 又，，，所以 這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即 2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 一、 設(shè)，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) 二、 向量垂直的判定 設(shè)

4、，，則 三、 兩向量夾角的余弦（） cosq = 四、 講解范例： 五、 設(shè)a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b及a、b間的夾角θ(精確到1o) 例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足x×a = 9與x×b = -4的向量x. 解：設(shè)x = (t， s)， 由 ∴x = (2， -3) 例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再結(jié)合夾角

5、θ的范圍確定其值. 解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１） 有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２． 記a與b的夾角為θ，則ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評(píng)述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，使DB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo). 解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：1

6、0x + 4y = 29 由 ∴B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或 例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求k值. 解：當(dāng)A = 90°時(shí)，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90°時(shí)，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3) ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C = 90°時(shí)，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 六、 課堂練習(xí)： 1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，則3|a|２－４a·b＝（ ） A.23 B.

7、57 C.63 D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（ ） A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形 3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.a=(2，3)，b=(-2，4)，則(a+b)·(a-b)= . 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點(diǎn)P(x，-)在線段AB的中垂線上，則x= . 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，則a與b的夾角為 小結(jié)（略） 七、 課后作業(yè)（略） 八、 板書設(shè)計(jì)（略） 九、 課后記：