2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習 9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查直線與圓的相交、相切問題，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；2.計算弦長、面積，考查與圓有關(guān)的最值；根據(jù)條件求圓的方程． 復(fù)習備考要這樣做　1.會用代數(shù)法或幾何法判定點、直線與圓的位置關(guān)系；2.掌握圓的幾何性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題，體會用代數(shù)法處理幾何問題的思想． 1． 直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)， 圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)， d為圓心(a，b)到直線l

2、的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ. 幾何法 代數(shù)法 相交 d0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 2. 圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2>0). 方法 位置關(guān)系　　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|

3、r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 [難點正本　疑點清源] 1． 直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的． 2． 計算直線被圓截得的弦長的常用方法 (1)幾何方法 運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算． (2)代數(shù)方法 運用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式 |AB|＝|xA－xB| ＝. 1． (xx·重慶)過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________． 答案　2x－

4、y＝0 解析　圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦長為2，故相交弦為圓的直徑，由此得直線過圓心(1,2)，故所求直線方程為2x－y＝0. 2． 若圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為__________． 答案　(－，) 解析　由圓與直線沒有公共點，可知圓的圓心到直線的距離大于半徑，也就是>1，解得－

5、點到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d<1. ∵d＝＝，∴0≤|c|<13，即c∈(－13,13)． 4． 從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦 值為 (　　) A. B. C. D．0 答案　B 解析　圓的方程整理為(x－1)2＋(y－1)2＝1，C(1,1)， ∴sin∠APC＝， 則cos∠APB＝cos 2∠APC ＝1－2×2＝. 5． 圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有

6、且僅有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 答案　B 解析　⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圓心C1(－1，－1)，半徑r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C2(2,1)，半徑r2＝2. ∴|C1C2|＝，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|

7、數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù)；最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定． 方法一　(1)證明　由 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因為Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0， 所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點． (2)解　設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點， 則直線l被圓C截得的弦長 |AB|＝|x1－x2| ＝2＝2 ， 令t＝，則tk2－4k＋(t－3)＝0， 當t＝0時，k＝－，當t≠0時，因為k∈R， 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 故t＝的最大值為4，此時|AB|最小為

8、2. 方法二　(1)證明　圓心C(1，－1)到直線l的距離d＝，圓C的半徑R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k2－4k＋8>0對k∈R恒成立， 所以R2－d2>0，即d

9、　由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|＝2＝2， 即直線l被圓C截得的最短弦長為2. 探究提高　(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系； (2)勾股定理是解決有關(guān)弦問題的常用方法． (xx·安徽)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1]

10、 D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案　C 解析　由題意知，圓心為(a,0)，半徑r＝. 若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑， 即≤，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1. 題型二　圓與圓的位置關(guān)系 例2　a為何值時，圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3 ＝0. (1)外切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)切． 思維啟迪：(1)分別表示出兩圓的圓心坐標和半徑；(2)利用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系求解． 解　將兩圓方程寫成標準方程． C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(

11、y－a)2＝4. ∴兩圓的圓心和半徑分別為 C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2， 設(shè)兩圓的圓心距為d， 則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)當d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切， 此時a＝－5或a＝2. (2)當15，即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5. (4)當d＝1，即2a2＋6a＋5＝1時，兩圓內(nèi)切，此時a＝－1或a＝－2. 探究提高　判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑

12、和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法． 已知圓C與圓C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且與直線l：x＋y＝0相切于點P(3，－)，求圓C的方程． 解　設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，半徑長為r， 則圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵C(a，b)在過點P且與l垂直的直線上， ∴＝.① 又∵圓C與l相切于點P，∴r＝.② ∵圓C與圓C1相外切，∴＝r＋1.③ 由①得a－b－4＝0， 從而由②③④可得＝|2a－6|＋1，④ 解得，或，此時，r＝2或r＝6. 即所求的圓C的方程為 (x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 題型三　直線與圓的綜合問

13、題 例3　已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點． (1)若|AB|＝，求|MQ|、Q點的坐標以及直線MQ的方程； (2)求證：直線AB恒過定點． 思維啟迪：第(1)問利用平面幾何的知識解決；第(2)問設(shè)點Q的坐標，從而確定點A、B的坐標與AB的直線方程． (1)解　設(shè)直線MQ交AB于點P，則|AP|＝， 又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ， 得|MP|＝＝， 又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3. 設(shè)Q(x,0)，而點M(0,2)，由＝3， 得x＝±，則Q點的坐標為(，0)或(－，0)． 從而直線MQ的方程為2x＋y－2＝0或

14、2x－y＋2＝0. (2)證明　設(shè)點Q(q,0)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x(x－q)＋y(y－2)＝0，而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即為qx－2y＋3＝0，所以直線AB恒過定點. 探究提高　在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯． 已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求過P點的

15、圓C的弦的中點的軌跡方程． 解　(1)如圖所示，|AB|＝4，將圓C方程化為標準方程為(x＋2)2＋(y－6)2＝16， ∴圓C的圓心坐標為(－2,6)，半徑r＝4，設(shè)D是線段AB的中點，則CD⊥AB， ∴|AD|＝2，|AC|＝4.C點坐標為(－2,6)． 在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由點C到直線AB的距離公式：＝2， 得k＝. 故直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0. ∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)設(shè)

16、過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)， 則CD⊥PD，即·＝0， ∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 與圓有關(guān)的探索問題 典例：(12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問在圓C上是否存在兩點A、B關(guān)于直線y＝kx－1對稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說明理由． 審題視角　(1)假設(shè)存在兩點A、B關(guān)于直線對稱，則直線過圓心． (2)若以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，轉(zhuǎn)化為·＝0. 規(guī)范解答 解　圓C的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C

17、(1，－2)．假設(shè)在圓C上存在兩點A、B滿足條件， 則圓心C(1，－2)在直線y＝kx－1上，即k＝－1.[3分] 于是可知，kAB＝1. 設(shè)lAB：y＝x＋b，代入圓C的方程， 整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 則Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，即b2＋6b－9<0. 解得－3－3

18、＋x2)＋b2＝0.[10分] ∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化簡得b2＋3b－4＝0. 解得b＝－4或b＝1，均滿足Δ>0， 即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.[12分] 答題模板 第一步：假設(shè)符合要求的結(jié)論存在． 第二步：從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線與圓的關(guān)系求解． 第三步：確定符合要求的結(jié)論存在或不存在． 第四步：給出明確結(jié)果． 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點及答題規(guī)范． 溫馨提醒　(1)本題是與圓有關(guān)的探索類問題，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)答題．(2)要注意解答這類題目的答題格式．使答題過程完整規(guī)范．(3)本題的易錯點是轉(zhuǎn)化方向不明確

19、，思路不清晰． 方法與技巧 1． 過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法 先求切點與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為－，由點斜式方程可求切線方程．若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程x＝x0. 2． 過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法 (1)幾何方法 當斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程． (2)代數(shù)方法 設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出． 3．

20、兩圓公共弦所在直線方程求法 若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程． 4． 圓的弦長的求法 (1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2＝r2－d2. (2)代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方程，從而求得x1＋x2，x1x2，則弦長為 |AB|＝(k為直線斜率)． 失誤與防范 1． 求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算． 2． 過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有

21、且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． “a＝3”是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，則有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但當a＝3時，直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”

22、是“直線y＝x＋4與圓(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要條件． 2． (xx·重慶)對任意的實數(shù)k，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系一定是 (　　) A．相離 B．相切 C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心 答案　C 解析　∵x2＋y2＝2的圓心(0,0)到直線y＝kx＋1的距離 d＝＝≤1， 又∵r＝，∴0

23、斜角為60°的直線方程為x－y＝0，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心(0,2)到直線的距離為d＝＝1，因此弦長為2＝2＝2. 4． 直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖，若|MN|＝2，則由圓與直線的位置關(guān)系可知圓心到 直線的距離滿足d2＝22－()2＝1. ∵直線方程為y＝kx＋3， ∴d＝＝1， 解得k＝±. 若|MN|≥2，則－≤k≤. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 設(shè)直線ax－y

24、＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a＝________. 答案　0 解析　d＝，由已知條件d2＋3＝4， 即d＝1，＝1，解得a＝0. 6． 若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦長為2，則a＝________. 答案　1 解析　方程x2＋y2＋2ay－6＝0與x2＋y2＝4. 相減得2ay＝2，則y＝.由已知條件＝， 即a＝1. 7． (xx·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的

25、最大值是________． 答案　 解析　圓C的標準方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0)． 由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2， 即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤. 故k的最大值是. 三、解答題(共22分) 8． (10分)求過點P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點M(1,2)的圓的方程． 解　設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r， 則A，M，C三點共線，且有|MA|＝|AP|＝r， 因為圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)， 則， 解得m＝3，n＝1，r＝， 所以所求圓的方程為

26、(x－3)2＋(y－1)2＝5. 9． (12分)已知點A(1，a)，圓x2＋y2＝4. (1)若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程； (2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程． 解　(1)由于過點A的圓的切線只有一條，則點A在圓上，故12＋a2＝4，∴a＝±. 當a＝時，A(1，)，切線方程為x＋y－4＝0； 當a＝－時，A(1，－)，切線方程為x－y－4＝0， ∴a＝時，切線方程為x＋y－4＝0， a＝－時，切線方程為x－y－4＝0. (2)設(shè)直線方程為x＋y＝b，由于直線過點A，∴1＋a＝b， ∴直線方程為x＋y＝1＋a，即x＋

27、y－a－1＝0. 又直線與圓相切，∴d＝＝2，∴a＝±2－1. ∴切線方程為x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·天津)設(shè)m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是 (　　) A．[1－，1＋] B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2] D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞) 答案　D 解析　圓心(1,1)到直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距離為＝1

28、， 所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2， 所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2. 2． (xx·江西)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是 (　　) A．(－，) B．(－，0)∪(0，) C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞) 答案　B 解析　C1：(x－1)2＋y2＝1， C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 當m＝0時，C2：y＝0，此時C1與C2顯然只有兩個交點； 當m≠0時，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)

29、有兩交點，當圓與直線相切時，m＝±，即直線處于兩切線之間時滿足題意，則－

30、＋(1－x)2＝x2的兩個根， 整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝＝8. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 若過點A(a，a)可作圓x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍為______________． 答案　(－∞，－3)∪ 解析　圓方程可化為(x－a)2＋y2＝3－2a， 由已知可得，解得a<－3或1

31、_________． 答案　(0，) 解析　圓的標準方程為(x＋2)2＋y2＝9，令x＝0得圓與y軸的兩個交點為(0，±)，如圖，直線kAM＝.若過定點M(－1,0)且斜率為k的直線與圓x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是0

32、直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過 點B(－2，0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點． (1)求圓A的方程； (2)當|MN|＝2時，求直線l的方程． 解　(1)設(shè)圓A的半徑為R， 由于圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝＝2. ∴圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意； ②當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0. 連接AQ，則AQ⊥MN. ∵|MN|＝2， ∴|AQ|＝＝1， 則由|AQ|＝＝1，得k＝， ∴直線l：3x－4y＋6＝0. 故直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.