2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關系教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關系教案 新人教版 一．課標要求： 1．通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想； 2．掌握直線與圓錐曲線的位置關系判定及其相關問題。 二．命題走向 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關直線與圓錐曲線的位置關系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。 預測07年高考： 1．會出現(xiàn)1道關于直線與圓錐曲線的位置關系的解答題； 2．與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲

2、線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。 三．要點精講 1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關系 2．直線與圓錐曲線的位置關系 直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。 直線與圓錐曲線的位置關系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的。 直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這

3、三種位置關系的判定條件可引導學生歸納為： 注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 3．直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 則弦長公式為： d====。 焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應于焦點的準線的距離，是離心率）。 四．典例解析 題型1：直線與橢圓的位置關系 例1．已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B

4、兩點，求弦AB的長。 解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。 由題意知：與聯(lián)立消去y得：。 設A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理，，，又因為A、B、F都是直線上的點， 所以|AB|= 點評：也可讓學生利用“焦半徑”公式計算。 例2．中心在原點，一個焦點為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程。 解析：設橢圓的標準方程為，由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得：。 設弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關系得： ，又AB的中點橫坐標為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為：。 點評：根據(jù)題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯(lián)

5、立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F1（0，）知，c=，，最后解關于a、b的方程組即可。 例3．（06遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數(shù)為（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：將代入得：。 ，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。 點評：本題考查了方程與曲線的關系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。 例4．（xx上海，17）已知橢圓C的焦點分別為F1（，0）和F2（2，0），長軸長為6，設直線y=x+

6、2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。 解析：設橢圓C的方程為， 由題意a=3，c=2，于是b=1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1． 由得10x2＋36x＋27＝0， 因為該二次方程的判別式Δ＞0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點， 設A（x1，y1），B（x2，y2）， 則x1＋x2＝， 故線段AB的中點坐標為（）． 點評：本題主要考查橢圓的定義標準方程，直線與橢圓的位置關系及線段中點坐標公式。 題型2：直線與雙曲線的位置關系 例5．（1）過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。 （2）直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲

7、線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解析：（1）解：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件； 若直線的斜率存在時，設直線的方程為則， ， ∴， ， 當時，方程無解，不滿足條件； 當時，方程有一解，滿足條件； 當時，令， 化簡得：無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條和。 （2）把代入整理得：……（1） 當時，。 由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。 若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。 故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。 點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。

8、一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 例5．（1）求直線被雙曲線截得的弦長； （2）求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。 解析：由得得（*） 設方程（*）的解為，則有 得， （2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應的中點為， 由得（*） 設方程（*）的解為，則， ∴， 且， ∴， 得或。 方法二：設弦的兩個端點坐標為，弦中點為，則 得：， ∴， 即， 即（圖象的一部分） 點評：（1）弦長公式；（2）有關中點弦問題的兩種處理方法。

9、 例7．過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。 解析：設雙曲線的方程為，，漸近線，則過的直線方程為，則， 代入得， ∴即得， ∴，即得到。 點評：直線與圓錐曲線的位置關系經常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應關系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 題型3：直線與拋物線的位置關系 例8．已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。 解析：設與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p>0，解得 點評：方程組有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交；有兩組相同實數(shù)解則相切；無實數(shù)解則相

10、離。 例9．xx上海春，4）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是_____. 答案：（3，2） 解法一：設直線y=x－1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點為P（x0，y0）。 由題意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。 ∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。 解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1， =4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。 故中點為P（3，2）。 點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關系.同時應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。 例

11、10．（1997上海）拋物線方程為y2=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊. （1）求證：直線與拋物線總有兩個交點； （2）設直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關于m的函數(shù)f（m）的表達式； （3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程； （理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍. 解：（1）拋物線y2=p（x+1）的準線方程是x=－1－，直線x+y=m與x軸的交點為（m，0），由題設交點在準線右邊，得m＞－1－，即4m+p+4＞0. 由 得x2－（2m

12、+p）x+（m2－p）=0. 而判別式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直線與拋物線總有兩個交點； （2）設Q、R兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的兩根， ∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQ·kOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R為直線x+y=m上的點， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－p）－m（

13、2m+p）+m2=0， ∴p=f（m）=， 由得m＞－2，m≠0； （3）（文）由于拋物線y2=p（x+1）的焦點F坐標為（－1+，0），于是有 ，即|p－4m－4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0，m2=－，m3=－4，m4=－. 但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線方程為3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點O到直線x+y=m的距離不大于，于是 ，∴|m|≤1. 由（2），知m＞－2且m≠0， 故m∈［－1，0）∪（0，1］. 由（2），知f（m）==（m+2）+－4， 當m∈［－1，0）時，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1

14、，則 f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（） =（m1－m2）［1－］. 由0＞m1＞m2≥－1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－＜0. 又由m1－m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）為減函數(shù). 可見，當m∈［－1，0）時，p∈（0，1］. 同樣可證，當m∈（0，1］時，f（m）為增函數(shù)，從而p∈（0，］. 解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知 p=f（m）=. 設t=，g（t）=t+2t2，則t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又 g（t）=2t2+t=2（t+）2－. ∴當t∈（－∞，－1］時，g（t）為減函數(shù)，g（t）∈［

15、1，+∞）. 當t∈［1，+∞）時，g（t）為增函數(shù)，g（t）∈［3，+∞）. 因此，當m∈［－1，0］時，t∈（－∞，－1］，p=∈（0，1］； 當m∈（0，1］時，t∈［1，+∞），p∈（0，］. 點評：本題考查拋物線的性質與方程，拋物線與直線的位置關系，點到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。 例11．（06山東卷）已知拋物線y2=4x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 。 解析：顯然30，又＝4（）38，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。 點評：該題考查直線與拋

16、物線位置關系下的部分求值問題，結合基本不等式求得最終結果。 五．思維總結 1．加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習 由于直線與圓錐曲線的位置關系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結合思想來設。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查； 2．關于直線與圓錐曲線相交弦則結合韋達定理采用設而不求法。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果； 3．直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法； 4．當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化。同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍；