2022年高考數(shù)學 數(shù)學圓錐曲線方程講解例題新人教版

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1、2022年高考數(shù)學 數(shù)學圓錐曲線方程講解例題 新人教版 說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘. 一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分) 1.如果橢圓的兩個焦點將長軸三等分，那么這個橢圓的兩條準線間的距離是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 解析:設兩條準線間的距離是焦距的k倍，則=2ck,k=()2. 由已知得a=3c,∴k=()2=32=9. 答案:B 2.橢圓+=1上一點P到左焦點F1的距離為2，M是線段PF1的中點，則

2、M到原點O的距離等于 A.2 B.4 C.6 D.8 解析:如圖，易知|OM|=|PF2|, 而|PF2|=2a－|PF1|=2×5－2=8,∴|OM|=4. 答案:B 3.AB為過橢圓+=1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的右焦點，則△AFB面積的最大值是 A.b2 B.ab C.ac D.bc 解析:設A(x0,y0),B(－x0,－y0), S△ABF=S△OFB+S△OFA=c·|y0|+c·|－y0|=c·|y0|. ∵點A、B在橢圓+=1上, ∴|y0|的最大值為b. ∴S△ABF的最

3、大值為bc. 答案:D 4.函數(shù)y=的圖象是平面上到兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡,則這兩個定點間的距離為 A.8 B.4 C.4 D.2 分析:本題主要考查雙曲線的定義. 解:函數(shù)y=的圖象是等軸雙曲線,e=,實軸所在的直線方程為x－y=0. 解方程組得或 即頂點為A1(,),A2(－,－). ∵e===,∴c=2. 根據(jù)雙曲線的定義,兩定點間的距離為2c=4. 答案:C 5.點P在橢圓7x2+4y2=28上，則點P到直線3x－2y－16=0的距離的最大值為 A. B. C. D. 解

4、析:化橢圓方程為參數(shù)方程(α為參數(shù)). ∴點P到直線3x－2y－16=0的距離為 d==. ∴dmax==. 答案:C 6.一動圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y2－6x+8=0內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是 A.雙曲線的一支 B.橢圓 C.拋物線 D.圓 解析:已知x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為r1=1,圓x2+y2－6x+8=0的圓心為A(3，0),半徑為r2=1. 設動圓的圓心為P，半徑為r, 則|PO|=1+r,|PA|=r－1. 則有|PO|－|PA|=2<|OA|=3, ∴軌跡為雙曲線的一支. 答案:A 7.過

5、原點的直線l與雙曲線－=－1有兩個交點，則直線l的斜率的取值范圍是 A.(－，) B.(－∞,－)∪(,+∞) C.［－,］ D.(－∞,－］∪［,+∞) 解析:雙曲線方程－=1,其漸近線的斜率k=±,當直線l的斜率為±時，直線與漸近線重合，直線l與雙曲線無交點，排除C、D.又雙曲線的焦點在y軸上，當 －

6、析:本題考查雙曲線的定義. 解:∵雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0, ∴可求得a2=4. ∴雙曲線的方程為－=1,2a=4. 如圖,可知P點在左支上. 由雙曲線定義,|PF2|－|PF1|=4, ∴|PF2|=4+3=7. 答案:C 9.橢圓具有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點A、B是它的焦點,長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點A的小球(小球的半徑忽略不計)從點A沿直線出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時,小球經(jīng)過的路程是 A.4a B.2(a－c) C.2

7、(a+c) D.4a或2(a－c)或2(a+c) 分析:本題屬信息遷移題,考查學生靈活應用知識的能力. 解:設靠近A的長軸端點為M，另一長軸的端點為N.若小球沿AM方向運動,則路程應為2(a－c)；若小球沿ANM方向運動,則路程為2(a+c)；若小球不沿AM與AN方向運動,則路程應為4a. 答案:D 10.橢圓a2x2+y2=a2(0

8、AP|2=1－+(y－a)2 =y2－2ay+a2+1. ∵0

9、. ∴方程為－=1(x>1). 答案:x2－=1(x>1) 12.點M到一個定點F(0，2)的距離和它到一條定直線y=8的距離之比是1∶2，則M點的軌跡方程是__________. 解析:根據(jù)橢圓第二定義可知，橢圓焦點為(0，2)，y==8,e=. 由c=2,=8,得a=4,滿足e===. ∴橢圓方程為+=1. 答案: +=1 13.橢圓+ =1的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是__________. 解析:設P點橫坐標為x0,則|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=a－ex0=3－x0.∠F1PF2為鈍角，當且僅當|

10、F1F2|2－|PF1|2－|PF2|2>0,解之即得－|AP|+|PN|). 答案:(2,) 三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應寫出文字說明、證明

11、過程或演算步驟) 15.(本小題滿分8分)設橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點為F1(－2,0),左準線l1與x軸交于點N(－3,0),過點N且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A、B兩點. (1)求直線l和橢圓的方程； (2)求證:點F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上. (1)解:可知直線l:y=(x+3). 由c=2及=3,解得a2=6, ∴b2=6－22=2.∴橢圓方程為+=1. ① ② (2)證明:聯(lián)立方程組 將②代入①,整理得2x2+6x+3=0. 設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=－3,x1x2=. 方法一:k·k=·=

12、===－1, ∴F1A⊥F1B,即∠AF1B=90°. ∴點F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上. 方法二:·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2 =x1x2+2(x1+x2)+4+［x1x2+3(x1+x2)+9］ =x1x2+3(x1+x2)+7=0, ∴F1A⊥F1B,則∠AF1B=90°. ∴點F1(－2,0)在以線段AB為直徑的圓上. 16.(本小題滿分10分)設F1、F2是雙曲線x2－y2=4的左、右兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為M，求點M的軌跡方程. 解:如圖,F1(－2，0

13、)、F2(2，0)、M(x,y)， 延長F1M與PF2相交于點N，設N(x0,y0). 由已知可得M為F1N的中點, ∴ 又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=2a=4, ∴(x0－2)2+y02=16. ∴(2x+2－2)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4. 評注:適當運用平面幾何知識把條件進行轉化，會給我們解題帶來方便. 17.(本小題滿分12分)如圖，某農(nóng)場在P處有一堆肥，今要把這堆肥料沿道路PA或PB送到莊稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中確定一條界線，使位于界線一側的點，沿道路

14、PA送肥較近；而另一側的點，沿道路PB送肥較近?如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出其方程. 解:設M是這種界線上的點， 則必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. ∴這種界線是以A、B為焦點的雙曲線靠近B點的一支.建立以AB為x軸，AB中點 O為原點的直角坐標系，則曲線為－=1, 其中a=25,c=|AB|. ∴c=25,b2=c2－a2=3750. ∴所求曲線方程為－=1(x≥25,y≥0). 18.(本小題滿分12分)已知點F(1，0)，直線l:x=2.設動點P到直線l的距離為d,且|PF|=d,

15、≤d≤. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若·=，求向量與的夾角. 解:(1)根據(jù)橢圓的第二定義知，點P的軌跡為橢圓.由條件知c=1,=2,∴a=. e===滿足|PF|=d. ∴P點的軌跡為+=1. 又d=－x,且≤d≤, ∴≤2－x≤.∴≤x≤. ∴軌跡方程為+y2=1(≤x≤). (2)由(1)可知，P點的軌跡方程為+y2=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x0,y0). =(1,0),=(x0,y0),=(1－x0,－y0). ∵·=,∴1－x0=. ∴x0=,y0=±. 又·=||·||·cosθ, ∴1·x0+0·y0=·1·cosθ. ∴cosθ=

16、===. ∴θ=arccos. 19.(本小題滿分12分)(1)求右焦點坐標是(2,0),且經(jīng)過點(－2,－)的橢圓C的標準 方程； (2)對(1)中的橢圓C,設斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M,證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上； (3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心. 解:(1)由題中條件,設橢圓的標準方程為+=1,a＞b＞0, ∵右焦點為(2,0),∴a2=b2+4, 即橢圓的方程為+=1. ∵點(－2,－)在橢圓上,∴+=1. 解得b2=4或b2

17、=－2(舍), 由此得a2=8,即橢圓的標準方程為+=1. (2)設直線l的方程為y=x+m,與橢圓C的交點為A(x1,y1)、B(x2,y2), 則由得12x2+16mx+8m2－32=0, 即3x2+4mx+2m2－8=0. ∵Δ＞0,∴m2＜12,即－2＜m＜2. 則x1+x2=－,y1+y2=x1+m+x2+m=m, ∴AB中點M的坐標為(－m,). ∴線段AB的中點M在過原點的直線x+2y=0上. (3)如下圖,作兩條平行直線分別交橢圓于點A、B和點C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連結直線MN；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于點A1、B1和點C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點M1、N1,連結直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點O即為橢圓中心 .