2022年高中數(shù)學 3-3-1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性同步練習 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學 3-3-1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性同步練習 新人教B版選修1-1 一、選擇題 1．函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0,1)上是(　　) A．單調(diào)增函數(shù) B．單調(diào)減函數(shù) C．在(0，)上是減函數(shù)，在(，1)上是增函數(shù) D．在(0，)上是增函數(shù)，在(，1)上是減函數(shù) [答案]　C [解析]　f′(x)＝lnx＋1，當00. 2．若在區(qū)間(a，b)內(nèi)有f′(x)＞0，且f(a)≥0，則在(a，b)內(nèi)有(　　) A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＝0 D．不能確定 [答案]　A [解

2、析]　∵在區(qū)間(a，b)內(nèi)有f′(x)>0，且f(a)≥0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是遞增的， 且f(x)>f(a)≥0. 3．設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)為增函數(shù)的一個充分條件是(　　) A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0 C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＞0 [答案]　C [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，又a>0，∴當b＝0，c>0時，f′(x)>0恒成立． 4．函數(shù)f(x)＝2x2－ln2x的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(0，) B．(0，) C．(，＋∞) D．(－，0)及(0，)

3、 [答案]　C [解析]　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝4x－，令f′(x)>0，得x>， ∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增． 5．函數(shù)y＝x＋lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，－1)，(0，＋∞) B．(－∞，－1)，(1，＋∞) C．(－1,0) D．(－1,1) [答案]　A [解析]　令f′(x)＝1＋＝>0.得x>0或x<－1. 6．下列函數(shù)中在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)的是(　　) A．y＝2－3x2 B．y＝lnx C．y＝ D．y＝sinx [答案]　C [解析]　對于函數(shù)y＝，其導數(shù)y′＝<0，且函數(shù)在

4、區(qū)間(－1,1)上有意義，所以函數(shù)y＝在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)，其余選項都不符合要求，故選C. 7．(xx·湖南文，7)若函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是(　　) [答案]　A [解析]　考查導函數(shù)的基本概念及導數(shù)的幾何意義． ∵導函數(shù)f′(x)是增函數(shù)， ∴切線的斜率隨著切點橫坐標的增大逐漸增大， 故選A. [說明]　B圖中切線斜率逐漸減小，C圖中f′(x)為常數(shù)，D圖中切線斜率先增大后減?。? 8．給出下列結論： ①單調(diào)增函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù)； ②單調(diào)減函數(shù)的導函數(shù)也是單調(diào)減函數(shù)； ③單調(diào)函數(shù)

5、的導函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)； ④導函數(shù)是單調(diào)的，則原函數(shù)也是單調(diào)的． 其中正確的結論個數(shù)是(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　舉反例的方法：如函數(shù)y＝x是單調(diào)增函數(shù)，但其導函數(shù)y′＝1不具有單調(diào)性，排除①③，如函數(shù)y＝－x是單調(diào)減函數(shù)，但其導函數(shù)y′＝－1不具有單調(diào)性，排除②，再如函數(shù)y＝x2，其導函數(shù)y′＝2x是單調(diào)的，但原函數(shù)不具有單調(diào)性，排除④. 9．設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為(　　) [答案]　D [解析]　函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)增，則導函數(shù)

6、y＝f′(x)在區(qū)間(－∞，0)上函數(shù)值為正，排除A、C，原函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上先增再減，最后再增，其導函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)值先正、再負、再正，排除B，故選D. 10．如果函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋1在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．－6 D．－12 [答案]　C [解析]　f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0， 當a>0時，解得－

7、題 11．函數(shù)y＝x3＋x2－5x－5的單調(diào)遞增區(qū)間是________． [答案]　(－∞，－)，(1，＋∞) [解析]　令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1. 12．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是____________． [答案]　[3，＋∞) [解析]　y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax≤0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立， 即a≥x在區(qū)間(0,2)上恒成立，∴a≥3. 13．函數(shù)f(x)＝xlnx(x＞0)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． [答案]　[，＋∞) [解析]　∵f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，

8、 令f′(x)>0，即lnx>－1，∴x>. ∴增區(qū)間為[，＋∞)． 14．三次函數(shù)f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． [答案]　a>0 [解析]　f(x)＝3ax2＋1，由條件知3ax2＋1≥0在R上恒成立，且a≠0，∴解得a>0. 三、解答題 15．求函數(shù)f(x)＝x3＋x2－6x的單調(diào)區(qū)間． [解析]　∵f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)， 令f′(x)>0得，x>2或x<－3. ∴函數(shù)f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函數(shù)， 令f′(x)<0，得－3

9、的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－3)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3,2)． 16．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為(－5,5)，求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間． [證明]　f′(x)＝3x2＋a. ∵(－5,5)是函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，則－5、5是方程3x2＋a＝0的根， ∴a＝－75.此時f′(x)＝3x2－75. 令f′(x)>0，則3x2－75>0.解得x>5或x<－5. ∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－5)和(5，＋∞)． 17．已知：x＞0，求證：x＞sinx. [證明]　設f(x)＝x－sinx (x＞0)， f′(x)＝1－cos

10、x≥0對x∈(0，＋∞)恒成立． ∴函數(shù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)． 又f(0)＝0∴f(x)＞0對x∈(0，＋∞)恒成立． 即：x＞sinx (x＞0)． 18．(xx·北京)設函數(shù)f(x)＝xekx(k≠0)． (1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍． [解析]　(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0， 曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x. (2)由f ′(x)＝(1＋kx)ekx＝0得x＝－(k≠0)． 若k>0，則當x∈時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當x∈時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 若k<0，則當x∈時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當x∈時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． (3)由(2)知，若k>0，則當且僅當－≤－1，即k≤1時，函數(shù)f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增； 若k<0，則當且僅當－≥1，即k≥－1時，函數(shù)f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增． 綜上可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞增時，k的取值范圍是[－1,0)∪(0,1]．