2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十四 概率（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十四 概率（含解析） 重點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率 1．頻率與概率 （1）頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A的頻數(shù)，那么事件A出現(xiàn)的頻率，頻率的取值范圍為. （2）概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，我們把這個(gè)常數(shù)記為P(A)，稱(chēng)為事件A的概率． 頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率向概率靠近.只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)做隨機(jī)事件的

2、概率. 2．事件的關(guān)系及運(yùn)算 （1）對(duì)于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱(chēng)事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)． （2）若事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件B也發(fā)生，稱(chēng)事件A等于事件B． （3）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱(chēng)該事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作(或)． （4）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A且事件B都發(fā)生，則稱(chēng)該事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作AB(或)． （5）若為不可能事件，則稱(chēng)事件A與事件B互斥． （6）若為不可能事件，而為必然事件，則稱(chēng)A與B為對(duì)立事件． 3．概率的性質(zhì) （1），其

3、中必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0． （2）若事件A與事件B互斥，則． （3）若事件A與事件B對(duì)立，則 [高考常考角度] 角度1 某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000 擊中靶心的次數(shù)m 8 19 44 90 178 455 906 擊中靶心的頻率 （1）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率； （2）這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率約是多少？ 解析：本題考查頻率與概率． （1）依據(jù)頻率的計(jì)算公式，可以依次計(jì)算出表中擊中靶心的的頻率．

4、 （2）由（2）知，射擊的次數(shù)不同，計(jì)算得到的頻率值也不同，但隨著射擊次數(shù)的增多，頻率都在常數(shù)0.9的附近擺動(dòng)，所以擊中靶心的概率約為0.9 角度2 （1）以下命題： ①將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B是對(duì)立事件； ②在命題①中，事件A與事件B是互斥事件； ③在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件. 正確命題的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3

5、 （2）盒中有4只白球，5只黑球，從中任意取出一只球． ①“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？ ②“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解析：本題考查隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率. （1）將一枚硬幣拋擲兩次，除去A、B的結(jié)果，還可能出現(xiàn)“一次正面，一次反面”或“一次反面，一次正面”兩種情況，因此①不正確，②正確；對(duì)于③，A與B有可能出現(xiàn)共同結(jié)果“1件正品，2件次品”，即事件A與事件B不是互斥事件，故③不正確．故選B （2）①“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下不可能發(fā)生，是不可能事件，概率為0 ②

6、“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，概率是 ③“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，是必然事件，概率為1 重點(diǎn)2 古典概型 1．古典概率模型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； （2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型． 并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，例如，在適宜的條件下種下一粒種子并觀察它是否“發(fā)芽”，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間為{發(fā)芽，不發(fā)芽}，而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般是不均等的． 2．古典概型的概率公式： 3．學(xué)會(huì)用最原始的方法計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)，許多古典概型的試題其基本

7、事件個(gè)數(shù)的計(jì)算沒(méi)有直接的公式可以套用，這時(shí)就要回歸到最原始的方法解基本事件的個(gè)數(shù)，一般就是列舉法，通過(guò)列舉把所有的基本事件找出來(lái)，在列舉時(shí)注意借助于圖表、坐標(biāo)系等進(jìn)行． 4．對(duì)于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問(wèn)題，可以利用分類(lèi)討論的方法求出總體包含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕剩? [高考?？冀嵌萞 角度1 有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（

8、） A. B. C. D. 解析：（理科解法）由題知，故選A. （文理解法）記三個(gè)興趣小組分別為1，2，3，甲參加1組記為“甲1” 則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9種 記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”，其中事件A包含的基本事件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個(gè)．因此，故選A 角度2甲乙兩人一起去游“xx西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小

9、時(shí)，則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是（ ） A. B. C. D. 點(diǎn)評(píng)：本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時(shí)間）可以簡(jiǎn)化解題思路，然后把問(wèn)題簡(jiǎn)化為兩人所選的游覽景點(diǎn)路線的排列問(wèn)題．理科使用排列組合反而復(fù)雜 解析：（理科解法）甲、乙兩人各自獨(dú)立任選4個(gè)景點(diǎn)的情形共有種；最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的情形有種，所以． （文理科解法）若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點(diǎn)，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36種；其中滿足題意的“同一景點(diǎn)相遇”包括{1,1}、{2,2

10、}、{3,3}、…、{6,6}，共6個(gè)基本事件， 故所求的概率為，故選D 對(duì)一些情境較為簡(jiǎn)單、基本事件個(gè)數(shù)不是太多的古典概型問(wèn)題，用枚舉法即可求事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意：枚舉時(shí)要嚴(yán)防遺漏，絕不重復(fù)． 角度3 電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00：00到23：59，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為（ ） A． B． C． D． 解析：本題考查古典概型概率的求解，數(shù)字之和為23的只有09：59，18：59，19：49，19：58四種可能，一天顯示的時(shí)間總共24×60 =1 440種，故所求概率為

11、，故選C 點(diǎn)評(píng)：本題中，如何得出隨機(jī)事件“任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．在小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為10，即19點(diǎn)，最小為0；在分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為14，即每個(gè)小時(shí)段的第59分鐘．要想使四個(gè)數(shù)字之和等于23，只有以下兩種情形：當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于14時(shí)，小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于9，也即只有9點(diǎn)和1 8點(diǎn)；當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于13時(shí)，即每個(gè)小時(shí)段的第49分鐘和第58分鐘，小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于10，即19點(diǎn). 角度4 （理科）已知一組拋物線其中為2，4，6，8中任取的一個(gè)數(shù)，為1，3，5，7中任取的一個(gè)數(shù)，從這些拋物線中任意抽取

12、兩條，它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（ ） A． B． C． D. 解析：本題結(jié)合拋物線、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查古典概型概率的求解．這一組拋物線共條，從中任意抽取兩條，共有種不同的方法．它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線的斜率 若，只有一種情形，（2+1），不合題意； 若，有兩種情形，（2+3，4+1），從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（2+5，4+3，6+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有四種情形，（2+7，4+5，6+3，8+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（4+7，6+5，8+3）從中取出兩條

13、，有種取法； 若，有兩種情形，（8+5，6+7）從中取出兩條，有種取法； 若，只有一種情形，（8+7），不合題意 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知任取兩條拋物線且滿足題目要求的情形共有 故所求概率為，故選B 本題中所有的拋物線共16條，這些拋物線在處的斜率可以是3，5，7，9，11，13，15，按照這個(gè)斜率對(duì)16條拋物線進(jìn)行分類(lèi)，每一類(lèi)中取出的兩條拋物線在與直線交點(diǎn)處的切線斜率是相等的，隨機(jī)事件的總數(shù)就是所有這些取法之和，而基本事件的總數(shù)就是在條拋物線中選取兩條． 角度5甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （Ⅰ）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫(xiě)出

14、所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （Ⅱ）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率． 解析：（Ⅰ）甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示．從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為： (A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共9種， 從中選出的兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共4種， 選出的兩名教師性別相同的概率為 （Ⅱ）從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的

15、所有可能的結(jié)果為： (A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F(xiàn))(B，C)(B，D)(B，E)(B，F(xiàn))(C，D)(C，E)(C，F(xiàn))(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共15種， 從中選出兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的結(jié)果有： (A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共6種， 選出的兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為. 重點(diǎn)3 幾何概型 1．幾何概型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型． 2．幾何概型的概率公式： 3．均勻隨機(jī)數(shù)：在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會(huì)是一樣的

16、，通過(guò)模擬一些試驗(yàn)，可以代替我們做大量的重復(fù)試驗(yàn)，從而求得幾何概型的概率，一般地，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的rand()函數(shù)可以產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．a(chǎn)~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x= rand()，然后利用伸縮和平移變換x= rand()*（b-a）+a，就可以產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)． 4．幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是等可能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型和用古典概型求解概率問(wèn)題的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的

17、圖形面積（體積、長(zhǎng)度）”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積（總體積、總長(zhǎng)度）”之比來(lái)表示． 5．幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型，兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的，不同點(diǎn)是基本事件數(shù)前者是無(wú)限的（基本事件可以抽象為點(diǎn)），后者是有限的．對(duì)于幾何概型而言，這些點(diǎn)盡管是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，其中某個(gè)點(diǎn)落在某區(qū)域上的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)． 6．幾種常見(jiàn)的幾何概型概率的求法： （1）設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在線段l上的概率為 （2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在區(qū)域g

18、上的概率為 （3）設(shè)空間區(qū)域v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域v上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為 7．化解幾何概型問(wèn)題要從以下三方面做起： （1）明確幾何概型的意義．幾何概型是基本事件個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等的一個(gè)概率模型，這個(gè)概率模型的顯著特點(diǎn)是每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例． （2）記住幾何概型的計(jì)算公式．幾何概型的計(jì)算就是找隨機(jī)事件所占有的幾何度量值和整個(gè)基本事件所占有的幾何度量值的比值．即如果整個(gè)基本事件占有的幾何度量值為M，隨機(jī)事件A所占有的幾何度量值為N，則事件A發(fā)生的概率 （3）掌握轉(zhuǎn)化策略．很多幾何概型往往要通過(guò)一定的

19、手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來(lái)，在解決問(wèn)題時(shí)要善于根據(jù)問(wèn)題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如把從兩個(gè)區(qū)間內(nèi)取出的實(shí)數(shù)看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的區(qū)域問(wèn)題等，這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題難點(diǎn)的關(guān)鍵. [高考?？冀嵌萞 角度1 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則該菱形內(nèi)的點(diǎn)到菱形的頂點(diǎn)A，B的距離均不小于1的概率是（ ） A． B. C. D. 解析：本題考查幾何概型的意義以及幾何概型概率的求解． 如圖所示，只有當(dāng)點(diǎn)位于菱形內(nèi)的空白區(qū)域時(shí)，其到A，B的距離才均不小于1，菱形的面積為 兩個(gè)陰影部分的扇形面積之和

20、恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，其面積為，故空白區(qū)域的面積為， 所求的概率是，故選B 點(diǎn)評(píng)：經(jīng)分析可知本題中以點(diǎn)B為圓心的扇形，其圓弧恰好與菱形的邊AB，CD相切.幾何概型所依據(jù)的知識(shí)背景極為廣闊，面對(duì)不同的試題要認(rèn)真進(jìn)行分析. 角度2 已知關(guān)于的一元二次函數(shù)，其中實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率是_______ 解析：本題結(jié)合不等式組所表示的平面區(qū)域考查幾何概型概率的求解，函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是，即.作出平面區(qū)域如圖所示. 問(wèn)題等價(jià)于向區(qū)域OAB中任意擲點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域OAC（點(diǎn)C的坐標(biāo)是） 中的概率，這個(gè)概率值是 [答案] 角度3 蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛

21、行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱(chēng)其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”概率為（ ） A． B． C． D. 解析：本題考查幾何概型概率的求解．蜜蜂“安全飛行”需要距正方體各表面距離均大于1，故其活動(dòng)范圍在大正方體內(nèi)的一個(gè)棱長(zhǎng)為l的小正方體中，所以蜜蜂“安全飛行”的概率為，故選D 幾何概型有“線型”的，其概率是隨機(jī)事件所在線段和所有基本事件所在線段的長(zhǎng)度之比；“面積型”的，其概率是隨機(jī)事件所在面和所有基本事件所在面的面積之比；“體積型”的，其概率是隨機(jī)事件所在的空間幾何體和所有基本事件所在的空間幾何

22、體的體積之比. 角度4如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），且，過(guò)的平面與棱相交，交點(diǎn)分別為. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）設(shè)在長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體 內(nèi)的概率為.當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)且滿足時(shí)，求的最小值. 點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系，以及空間幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理推證能力、運(yùn)算求解能力. 解析：（Ⅰ）方法一：在長(zhǎng)方體中， 又， 平面， 平面 平面； （Ⅱ）設(shè)，則長(zhǎng)方體的體積為， 幾何體的體積 ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 的最小值為 方法二：（Ⅰ）同方

23、法一 （Ⅱ）設(shè)，則長(zhǎng)方體的體積為， 幾何體的體積 設(shè)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 的最小值為 重點(diǎn)4 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題（理科） 1. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的概率為p，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為這是概率計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型． 2．明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境：根據(jù)定義，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)，也就是說(shuō)每次試驗(yàn)時(shí)事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生，但事件A發(fā)生的概率是相同的．在實(shí)際問(wèn)題中，

24、我們往往把一些發(fā)生的概率相等，互相之間沒(méi)有必然聯(lián)系的事件看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如5位同學(xué)參加競(jìng)賽，每位同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率都是0.4，則獲獎(jiǎng)的人數(shù)就可以看作5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，可以根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型進(jìn)行解決.明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境，善于將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)到這個(gè)概率模型是化解這類(lèi)概率應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵. 3．注意部分中的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型：在實(shí)際問(wèn)題中，往往一個(gè)隨機(jī)事件其中的一部分或若干部分符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的條件，這時(shí)可以在這些部分中使用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的計(jì)算公式，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的． [高考?？冀嵌萞 角度1 在全國(guó)大學(xué)生智能汽車(chē)總決賽中，某高校學(xué)生開(kāi)發(fā)的智能汽車(chē)在

25、一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，每次只能移動(dòng)一個(gè)單位，沿x軸正方向移動(dòng)的概率是，沿y軸正方向移動(dòng)的概率為，則該智能汽車(chē)移動(dòng)6次恰好移動(dòng)到點(diǎn)(3，3)的概率為_(kāi)___． 解析：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率．若該智能汽車(chē)移動(dòng)6次恰好到點(diǎn)(3，3)，則智能汽車(chē)在移動(dòng)過(guò)程中沿x軸正方向移動(dòng)3次、沿y軸正方向移動(dòng)3次，因此智能汽車(chē)移動(dòng)6次后恰好位于點(diǎn)(3，3)的概率為 角度2 一袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè)，記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次停止，用表示取球的次數(shù)，則=______________ 解析：本題考查相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試

26、驗(yàn)概型.由已知，一次取球取到紅球的概率為，取到白球的概率為，，說(shuō)明第12次取到的是紅球，前11次取到9個(gè)紅球和2個(gè)白球 角度3 有一種旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)燈，外形是正六棱柱，在其每一個(gè)側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5．若一個(gè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要維修這個(gè)面． （1）求恰好有兩個(gè)面需要維修的概率； （2）求至少3個(gè)面需要維修的概率． 解析：（1）因?yàn)橐粋€(gè)面不需要維修的概率為 所以一個(gè)面需要維修的概率為 因此，6個(gè)面中恰好有兩個(gè)面需要維修的概率為 （2）設(shè)需要維修的面為X個(gè)，則， 又 故至少3個(gè)面需要維修的概率是 即至少3個(gè)面

27、需要維修的概率是 點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是計(jì)算一個(gè)面不需要維修的概率．每個(gè)面上的5只彩燈正常發(fā)光的概率都相等，故可以看作是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，一個(gè)面不需要維修的概率也即是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件至少發(fā)生3次的概率，按照獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算即可． 重點(diǎn)5 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差（理科） 1.期望： 2.方差： 3.標(biāo)準(zhǔn)差： 4. 5.求離散型隨機(jī)變量的分布列 （1）求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按下述三個(gè)步驟進(jìn)行： ①明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義； ②利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率； ③按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并用分布列的

28、性質(zhì)驗(yàn)證． （2）如果分布列中某一欄的概率比較復(fù)雜；可以利用分布列的性質(zhì)求解． （3）求隨機(jī)變量的分布列，基礎(chǔ)是概率的計(jì)算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等． 6．期望、方差的求法 （1）對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： ①數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均． ②是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài). ③直接給出了的求法，即隨機(jī)變量的取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加． ④教材中給出的，說(shuō)明隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)

29、期望的線性函數(shù). （2）對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： ①表示隨機(jī)變量對(duì)的平均偏離程度．越大，表明平均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散．反之，越小，的取值越集中；在附近．統(tǒng)計(jì)中常用來(lái)描述的分散程度． ②與一樣，也是實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定． ③對(duì)于結(jié)論：，在記憶和使用此結(jié)論時(shí)，請(qǐng)注意. （3）求離散型隨機(jī)變量的期望與方差韻方法： ①理解的意義，寫(xiě)出可能取的全部值； ②求取每個(gè)值的概率； ③寫(xiě)出的分布列； ④由期望的定義求； ⑤由方差的定義求. （4）當(dāng)斷定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接求出與. （5）在計(jì)算

30、離散型隨機(jī)變量的期望和方差時(shí)，首先要搞清其分布特征及分布列，然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式．充分利用期望和方差的性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．如． （6）求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵在于求出分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是過(guò)好四關(guān)： ①過(guò)好“題目的理解關(guān)”．要抓住題中關(guān)鍵字句，盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型． ②過(guò)好“隨機(jī)變量的取值關(guān)”．準(zhǔn)確無(wú)誤地找出隨機(jī)變量的所有可能取值． ③過(guò)好“事件的類(lèi)型關(guān)”，事件通常包括等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件等，在計(jì)算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類(lèi)型，尤其注意“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別． ④

31、過(guò)好“概率的運(yùn)算關(guān)”．運(yùn)用公式 ，確保正確無(wú)誤. [高考常考角度] 角度1 （xx.江西）（本小題滿分12分） 某飲料公司招聘一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元.令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力. （1） 求X的分布列； （2） 求此員工月工資的期望. 解析：本題綜合考查了排列組合、互斥事

32、件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列及期望等知識(shí)，以及數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算求解的能力. （1）的所有可能取值為, 則 即，，， ，. 則的分布列為 0 1 2 3 4 （2）令表示此員工的月工資，則的所有可能的取值為2 100，2 800，3 500，則 ，， 或者 所以 此員工月工資的期望為 角度2 （xx遼寧）（本小題滿分12分） 某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱(chēng)為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植

33、品種乙． （Ⅰ）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 品種甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品種乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)． 解析：（Ⅰ）可能的取值為，且 則

34、的分布列為 0 1 2 3 4 X的數(shù)學(xué)期望為 （Ⅱ）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 重點(diǎn)6 二項(xiàng)分布（理科） 二項(xiàng)分布：若， 判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵是看某一事件是否進(jìn)行了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)是否只有兩種結(jié)果，如果不滿足這兩個(gè)條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布. [高考?？冀嵌萞 角度1（本小題滿分12

35、分） 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 解析：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、二項(xiàng)分布、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力. (Ⅰ)（i）設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)白球”為事件，則 ．

36、 (ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件，則， ， 因?yàn)楹突コ?，所以? (Ⅱ) 的所有可能值為 ，, 所以的分布列是 0 1 2 ． 突破2個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 事件的互斥與對(duì)立（文、理） 解決互斥事件和對(duì)立事件問(wèn)題的難點(diǎn)就是對(duì)事件的互斥性與對(duì)立性的辨別，在解題中要根據(jù)問(wèn)題的具體情況作出準(zhǔn)確的判斷．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，其概率滿足加法公式，即若互斥，則；對(duì)立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件，也就是說(shuō)對(duì)立的兩個(gè)事件首先必須是互斥的，而且這兩個(gè)事件之和是一個(gè)必然事件，即一個(gè)事件與它的對(duì)立事件的概率之間有關(guān)系式，用好這個(gè)關(guān)系對(duì)解決概率問(wèn)題

37、是非常有用的，它往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化． 典例1 甲：是互斥事件；乙：是對(duì)立事件，那么下列說(shuō)法正確的是_____________ ①甲是乙的充分但不必要條件； ②甲是乙的必要但不充分條件； ③甲是乙的充要條件； ④甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件． 解析：兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不成立． 故選 ② 點(diǎn)評(píng)：互斥的兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事件，因?yàn)檫@兩個(gè)事件可能都不發(fā)生，但對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，即互斥是對(duì)立的必要條件，不互斥的兩個(gè)事件一定不是對(duì)立事件．該題的難點(diǎn)就是對(duì)立事件與互斥事件之間關(guān)系的掌握. 典例2 根據(jù)多年經(jīng)

38、驗(yàn)，張先生在本單位的一次考核中，獲得第一、二、三、四名的概率分別為0. 21，0.23，0. 25，0.28，計(jì)算張先生在一次考核中： （1）獲得第一名或第四名的概率； （2）名次不在前四名的概率． 解析：（1）記“獲得第一名”為事件，“獲得第四名”為事件，由于在一次考核中，與不可能同時(shí)發(fā)生，故與是互斥事件．則獲得第一名或第四名的概率為 （2）記“名次不在前四名”為事件E，則事件E為“獲得第一名、第二名、第三名、第四名”的對(duì)立事件，獲得第一名、第二名、第三名、第四名這幾個(gè)事件是彼此互斥的，故 點(diǎn)評(píng)：注意分析事件是否互斥，只有互斥事件才能利用概率的加法公式．當(dāng)直接求某一事件的概率較

39、為復(fù)雜或根本無(wú)法求時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率，這是化解概率計(jì)算難點(diǎn)的基本指導(dǎo)思想之一. 難點(diǎn)1 事件的互斥與對(duì)立（文、理） 概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題重在考查考生根據(jù)生活、生產(chǎn)等實(shí)際問(wèn)題的情境分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查考生的思維能力及運(yùn)算能力．解決概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題的關(guān)鍵，就是要善于從普通語(yǔ)言中捕捉到有用信息，并將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，因此在復(fù)習(xí)時(shí)要留意概率型綜合題中的新背景，夯實(shí)概率基礎(chǔ)知識(shí)與方法，注重對(duì)自己閱讀理解能力的培養(yǎng)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析解決問(wèn)題的能力． 典例 連續(xù)擲兩枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，求的概率. 解析：解法一：由

40、向量夾角的定義及圖形可直觀地得出，當(dāng)點(diǎn)位于直線及其下方時(shí)，滿足 點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為36 又位于直線及其下方的點(diǎn)有（個(gè)） 故所求的概率為 解法二 由向量夾角公式，得，從而 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…；當(dāng)時(shí)，． 故所求概率為 解法三 由向量夾角公式，得，從而 顯然當(dāng)時(shí)，有6種可能，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，與的可能性相同，即各有15種可能 故所求概率為 難點(diǎn)1 獨(dú)立事件的概率、條件概率（理） 化解本難點(diǎn)要從以下三方面做起： 1．深入理解獨(dú)立事件的本質(zhì)：兩個(gè)事件的發(fā)生與否相互之間沒(méi)有關(guān)系，事件的相互獨(dú)立性的概念可以推

41、廣到n個(gè)事件之間的相互獨(dú)立． 2．掌握條件概率的計(jì)算方法：條件概率具有概率的一般性質(zhì)，即概率值都在區(qū)間內(nèi)， 若互斥，則等，在古典概型中往往是根據(jù)古典概型的公式計(jì)算條件概率，而不是根據(jù)上述定義進(jìn)行計(jì)算． 3．學(xué)會(huì)分析事件之間的關(guān)系：一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中往往涉及多個(gè)事件，正確理解這些事件之間的相互關(guān)系是解決問(wèn)題的核心，一般的思路是先把所要解決的隨機(jī)事件分成若干個(gè)互斥事件的和，再把這些互斥事件中的每一個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積，把所要求的隨機(jī)事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為已知的一些事件的概率之積、之和的計(jì)算，這是化解概率計(jì)算問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在， 典例1 某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種

42、考試方案． 方案一：考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)合格為考試通過(guò)； 方案二：在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都合格為考試通過(guò)． 假設(shè)某應(yīng)聘者這三門(mén)指定課程考試合格的概率分別是,且三門(mén)課程考試是否合格相互之間沒(méi)有影響． （1）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率； （2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小．（說(shuō)明理由） 解析：設(shè)三門(mén)考試課程考試合格的事件分別為,相應(yīng)的概率為． （1）考試三門(mén)課程，至少有兩門(mén)合格的事件可表示為，設(shè)其概率為， 則 設(shè)在三門(mén)課程中，隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都合格的概率為，則 算法解析：從三門(mén)課程任選2門(mén)，有AB,A

43、C,BC3種情況，選中AB的概率為，然后A與B都合格的概率為ab （2） ，即用方案一通過(guò)考試的概率大于用方案二通過(guò)考試的概率. 典例2 設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)） （1）求方程有實(shí)根的概率； （2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （3）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率. 解析：（1）基本事件的總數(shù)為個(gè) 若使方程有實(shí)根，則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)為，因此方程有實(shí)根的概率為 （2）由

44、題意知，則 故 的分布列為 0 1 2 （3）記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件，“方程有實(shí)根”為事件 則 具體算法：事件的情況有共11個(gè)， 其中有實(shí)根的情況是后面7個(gè) 條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，其中表示A與B同時(shí)發(fā)生的概率. 典例3 某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課，學(xué)生是否選修哪門(mén)課互不影響．已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門(mén)的概率是0.88，用表示該學(xué)生選修的課程門(mén)數(shù)和沒(méi)有選修的課程門(mén)數(shù)的乘積．記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率． 解析：設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的

45、概率分別為，依題意得 若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則 當(dāng)時(shí)，該學(xué)生選修三門(mén)課程或三門(mén)課程都沒(méi)選 點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件求出學(xué)生選修甲、乙、丙的概率，破解此難點(diǎn)的關(guān)鍵是利用相互獨(dú)立事件、互斥事件與對(duì)立事件的概率把已知條件轉(zhuǎn)化為這三個(gè)概率的方程組進(jìn)行求解，其中“至少選修一門(mén)的概率”，如果從正面求解則要利用互斥事件的概率來(lái)表示，比較復(fù)雜，而轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率則較為簡(jiǎn)單．把復(fù)雜問(wèn)題利用互斥事件或?qū)α⑹录D(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率是求解概率問(wèn)題中常用的一種數(shù)學(xué)思想，即正難則反易． 難點(diǎn)2 正態(tài)分布（理） 化解正態(tài)分布問(wèn)題中的難點(diǎn)的依據(jù)是正態(tài)密度曲線的性質(zhì)： （1）曲線在軸上

46、方，與軸無(wú)交點(diǎn)，且軸為其漸近線； （2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)； （3）曲線在處達(dá)到最大值； （4）當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿軸平移； （5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越尖陡，表示總體的分布越集中；越大，曲線越扁平，表示總體的分布越分散． 典例1 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ） A. B. C. D. 解析：正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象是一條關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)， 在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線， 越犬，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭．故選A 點(diǎn)評(píng)：本題考查的就是正態(tài)分布的均值和方差的意義，理

47、解均值和方差的意義，特別是方差的意義才能作出正確的判斷，方差越小，整體分布就越向均值集中，表現(xiàn)在正態(tài)密度曲線上就是曲線越“尖陡”． 典例2 xx年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況；共抽查了1200名車(chē)主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車(chē)的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車(chē)的耗油量服從正態(tài)分布，已知耗油量的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車(chē)大約有________輛． 解析：由題意可知,故正態(tài)密度曲線以為對(duì)稱(chēng)軸，叉因?yàn)? 故，又 所以耗油量大于9升的汽車(chē)大約有 輛

48、 點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上正態(tài)密度曲線和軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)時(shí)必然有，這是解決正態(tài)分布類(lèi)試題的一個(gè)重要結(jié)論. 規(guī)避5個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 誤解基本事件的等可能性 典例 若將一枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_(kāi)_________. 易失分提示：解本題時(shí)易出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11（點(diǎn)數(shù)和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

49、、12），或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1，3)，(2，2)兩種，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 解析：將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo),則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3個(gè)， 故將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為 易失分點(diǎn)2 幾何概型概念不清 典例1 在等腰中，直角頂點(diǎn)為，在的內(nèi)部任作一條射線，與線段交于點(diǎn)， 的概率為_(kāi)________． 易失分提示：解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)幾何概型的概念把握不準(zhǔn)，理解模糊，將角度型的幾何概型錯(cuò)誤地當(dāng)成長(zhǎng)度型幾何概型求解，得到以下錯(cuò)解： 根據(jù)題設(shè)，點(diǎn)隨機(jī)地落在

50、線段上，故線段為基本事件的區(qū)域，當(dāng)位于線段上時(shí)，，故線段為所求 解析：由于在內(nèi)作射線，等可能分布的是在內(nèi)的任一位置（如圖所示），因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是，在上取一點(diǎn)，使，則 易失分點(diǎn)3 互斥和對(duì)立相混淆 典例 判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明道理. 從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，點(diǎn)數(shù)都是從1—10）中，任取一張． （1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； （2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”． 易失分提示：對(duì)事件互斥意義不明確，對(duì)事件的互斥與對(duì)立之間的關(guān)系不清楚，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤

51、的判斷．如對(duì)事件“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”的判斷：這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，忽視了“所有的牌只有紅色和黑色兩種，抽出的牌不是紅色就是黑色，這兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生”，就會(huì)作出這兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的錯(cuò)誤判斷． 解析：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件． （2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件

52、不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件． （3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9"這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽的點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對(duì)立事件． 易失分點(diǎn)4 互斥事件與相互獨(dú)立事件相混淆（理） 典例 某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0

53、.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響． （1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； （2）求這三人該課程考核都合格的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)） 易失分提示：解本題時(shí)可以把隨機(jī)事件分拆成若干個(gè)互斥事件的和，再把每個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的積進(jìn)行解答．容易出錯(cuò)的地方就是在分拆時(shí)可能混淆了互斥事件與相互獨(dú)立事件，從而造成分拆錯(cuò)誤． 解析： 記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對(duì)立事件，，記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件． （1）記“理論考核中至少有兩人

54、合格”為事件， 則

55、 所以理論考核中至少有兩人合格為 （2）記“三人該課程考核都合格”為事件 則 所以這三人該課程考核都合格的概率為 易失分點(diǎn)5 對(duì)二項(xiàng)分布理解不準(zhǔn)（理） 典例 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位） （1）

56、5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率； （2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率5 （3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率. 易失分提示： 由于5次預(yù)報(bào)之間沒(méi)有什么影響，故這是一個(gè)5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型，我們可以利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的知識(shí)加以解決.其中第（1）問(wèn)是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件恰好發(fā)生2次的概率，第（2）利用對(duì)立事件的概率解決，第（3）問(wèn)相當(dāng)于事件在第3次發(fā)生，第1，2，4，5這4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生1次的概率．解本題容易出錯(cuò)的地方，一是對(duì)“恰有2次”、“至少有2次”理解錯(cuò)誤，誤用二項(xiàng)分布；二是對(duì)隨機(jī)事件“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的意義理解錯(cuò)誤，不能把問(wèn)題歸結(jié)為“在第1,2,4,5次預(yù)報(bào)中有1次準(zhǔn)確，在第3次也預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，出現(xiàn)仍然用5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型解決問(wèn)題的錯(cuò)誤． 解析：設(shè)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”為事件A，“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”為事件B，“5次預(yù)報(bào)恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”為事件C （1） （2） （3）