2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.3圓的方程教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考　1.考查圓的方程的形式及應(yīng)用；2.利用待定系數(shù)法求圓的方程． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.熟練掌握?qǐng)A的方程的兩種形式及其特點(diǎn)；2.會(huì)利用代數(shù)法、幾何法求圓的方程，注意圓的方程形式的選擇． 1． 圓的定義 在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓． 2． 確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑． 3． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑． 4． 圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，其中圓心為

2、，半徑r＝. 5． 確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程． 6． 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0) (1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)點(diǎn)在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2

3、程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì) (1)圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上； (2)圓心在任一弦的中垂線上； (3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線． 2． 圓的一般方程的特征 圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若化為標(biāo)準(zhǔn)式，即為2＋2＝.由于r2相當(dāng)于. 所以①當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，圓心為，半徑r＝. ②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn). ③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，這樣的圓不存在． 1． 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是______________． 答案　 解析　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a

4、－1＝0 轉(zhuǎn)化為2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1， 所以若方程表示圓，則有－a2－a＋1>0， ∴3a2＋4a－4<0，∴－2

5、2，－3) 答案　D 解析　圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)為，即(2，－3)． 4． (xx·遼寧)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是 (　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 答案　C 解析　因?yàn)閳A心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選C. 5． (xx·湖北)過點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 (　　) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x

6、－y＝0 D．x＋3y－4＝0 答案　A 解析　當(dāng)圓心與P的連線和過點(diǎn)P的直線垂直時(shí)，符合條件． 圓心O與P點(diǎn)連線的斜率k＝1， ∴過點(diǎn)P垂直于OP的直線方程為x＋y－2＝0. 題型一　求圓的方程 例1　根據(jù)下列條件，求圓的方程： (1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6； (2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)． 思維啟迪：(1)求圓心和半徑，確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解． 解　(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分

7、別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 設(shè)x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0. (2)方法一　 如圖，設(shè)圓心(x0，－4x0)，依題意得＝1， ∴x0＝1，即圓心坐標(biāo)為(1，－4)，半徑r＝2， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二　設(shè)所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2， 根據(jù)已知條件得 解得 因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋

8、4)2＝8. 探究提高　求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解． (1)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為 (　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3,2)，圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為 _______

9、_____________． 答案　(1)B　(2)(x－4)2＋(y－5)2＝10 解析　(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)， 則＝， 即|a|＝|a－2|，解得a＝1， 故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. (2)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則， 可得a＝4，b＝5，r2＝10. 題型二　與圓有關(guān)的最值問題 例2　已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值． 思維啟迪：根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助圖形來求最值． 解　(1)原方程化為(

10、x－2)2＋y2＝3，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓．設(shè)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)＝，解得k＝±.故的最大值為，最小值為－. (2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當(dāng)y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí)＝，即b＝－2±.故y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. 探究提高　與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： (1)形如μ＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的

11、平方的最值問題． 已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 解　(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4. ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直線MQ的斜率， 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以≤2. 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為

12、2＋，最小值為2－. 題型三　與圓有關(guān)的軌跡問題 例3　設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡． 思維啟迪：結(jié)合圖形尋求點(diǎn)P和點(diǎn)M坐標(biāo)的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法(代入法)解決． 解　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分， 故＝，＝.從而. N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4， 但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況)． 探究提高　求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根

13、據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程． ②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程． ③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程． ④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等． 點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是 (　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， x＋y＝4，連線中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 則?， 代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(

14、y＋1)2＝1. 利用方程思想求解圓的問題 典例：(12分)已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑． 審題視角　(1)求圓心及半徑，關(guān)鍵是求m. (2)利用OP⊥OQ，建立關(guān)于m的方程求解． (3)利用x1x2＋y1y2＝0和根與系數(shù)的關(guān)系或利用圓的幾何性質(zhì)． 規(guī)范解答 解　方法一　將x＝3－2y， 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5y2－20y＋12＋m＝0.[2分] 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件： y1＋y2＝4，y1y2＝.[4分]

15、 ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.[6分] 故＋＝0，解得m＝3，[9分] 此時(shí)Δ>0，圓心坐標(biāo)為，半徑r＝.[12分] 方法二　如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M， ∵O1M⊥PQ，∴kO1M＝2.[2分] ∴O1M的方程為y－3＝2， 即y＝2x＋4.[4分] 由方程組. 解得M的坐標(biāo)為(－1,2)．[6分] 則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2

16、. 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2. ∴＝2＋(3－2)2＋5. ∴m＝3.[9分] ∴半徑為，圓心為.[12分] 方法三　設(shè)過P、Q的圓系方程為 x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0.[2分] 由OP⊥OQ知，點(diǎn)O(0,0)在圓上． ∴m－3λ＝0，即m＝3λ.[4分] ∴圓系方程可化為 x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0. 即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0.[6分] ∴圓心M，又圓心在PQ上． ∴－＋2(3－λ)－3＝0， ∴λ＝1，∴m＝3.[9分] ∴圓心為，半徑為.[12分] 溫馨提

17、醒　(1)在解決與圓有關(guān)的問題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)捷明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算． (2)本題中三種解法都是用方程思想求m值，即三種解法圍繞“列出m的方程”求m值． (3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)：不能正確構(gòu)建關(guān)于m的方程，找不到解決問題的突破口，或計(jì)算錯(cuò)誤． 方法與技巧 1． 確定一個(gè)圓的方程，需要三個(gè)獨(dú)立條件．“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個(gè)參數(shù)． 2． 解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算． 失誤與防范 1． 求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)

18、的三個(gè)獨(dú)立方程． 2． 過圓外一定點(diǎn)，求圓的切線，應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為， 則a<0，b>0.直線y＝－x－，k＝－>0，－>0， 直線不經(jīng)過第四象限． 2．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)

19、2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A．－11或a<－1 D．a(chǎn)＝±1 答案　A 解析　因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1

20、，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為 (　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案　A 解析　設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知 ＝1，解得b＝2， 故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 若圓x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0與y軸的兩交點(diǎn)A，B位于原點(diǎn)的同側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________． 答案?。?3 解析　令x＝0，可得y2＋2my＋m＋6＝0，由題意知，此方程有兩個(gè)不相等且同號(hào)

21、的實(shí)數(shù)根，即 解得－63. 6． 以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為________________． 答案　(x＋2)2＋2＝ 解析　直線3x－4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 A(－4,0)、B(0,3)， 所以線段AB的中點(diǎn)為C，|AB|＝5. 故所求圓的方程為(x＋2)2＋2＝2. 7． 已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是__________． 答案　x＋y－1＝0 解析　過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵k

22、CM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 三、解答題(共22分) 8． (10分)根據(jù)下列條件求圓的方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上； (2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解　(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由題意列出方程組 ，解之得 ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)方法一　設(shè)圓的一般方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則 解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95. ∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－9

23、5＝0. 方法二　由A(1,12)，B(7,10)， 得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－， 則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0. 聯(lián)立，得， 即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10. ∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100. 9． (12分)一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2，求此圓的方程． 解　設(shè)圓心為(a，b)，圓與x軸分別交于(x1,0)，(x2,0)，與y軸分別交于(0，y1)，(0，y2)，根據(jù)題意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，∵a＝，b＝，∴a＋b＝1. 又∵

24、點(diǎn)(a，b)在線段AB的中垂線上，∴5a－b－5＝0. 聯(lián)立解得 ∴圓心為(1,0)，半徑為＝. ∴所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝13. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則P(a，b) (　　) A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能 答案　B 解析　由已知條件<1，即a2＋b2>1. 因此點(diǎn)P(a，b)在圓外． 2． 已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為

25、 (　　) A．8 B．－4 C．6 D．無法確定 答案　C 解析　圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對(duì)稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6. 3． 已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x＋4y＋4＝0相切，則圓的方程是 (　　) A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 答案　A 解析　設(shè)圓心為C(m,0) (m>0)，因?yàn)樗髨A與直線3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|3m＋4|＝10，

26、解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱，則a－b的取值范圍是 ________． 答案　(－∞，1) 解析　圓的方程化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a， ∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<5. 又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱， ∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1. 5． 若PQ是圓O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中點(diǎn)是M(1,2)，則直線PQ的方程是____________． 答

27、案　x＋2y－5＝0 解析　由圓的幾何性質(zhì)知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－，故直線PQ的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 6． 已知AC、BD為圓O：x2＋y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形 ABCD的面積的最大值為________． 答案　5 解析　如圖，取AC的中點(diǎn)F，BD的中點(diǎn)E， 則OE⊥BD，OF⊥AC. 又AC⊥BD， ∴四邊形OEMF為矩形， 設(shè)|OF|＝d1，|OE|＝d2， ∴d＋d＝|OM|2＝3. 又|AC|＝2，|BD|＝2， ∴S四邊形ABCD＝|AC|·|BD| ＝2·＝2 ＝2. ∵

28、0≤d≤3.∴當(dāng)d＝時(shí)，S四邊形ABCD有最大值是5. 三、解答題 7． (13分)圓C通過不同的三點(diǎn)P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1，試求圓C的方程． 解　設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則k、2為x2＋Dx＋F＝0的兩根， ∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F(xiàn)＝2k， 又圓過R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1. 故所求圓的方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0， 圓心坐標(biāo)為. ∵圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1， ∴kCP＝－1＝，∴k＝－3. ∴D＝1，E＝5，F(xiàn)＝－6. ∴所求圓C的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0.