2022年高中數(shù)學 電子題庫 第2章章末綜合檢測 蘇教版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學 電子題庫 第2章章末綜合檢測 蘇教版選修1-1 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請把答案填在題中橫線上) 橢圓+=1的焦距為6,則k的值為________. 解析:由已知2c=6,∴c=3,而c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29. 答案:11或29 已知雙曲線9y2-m2x2=1(m>0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為,則m=________. 解析:雙曲線9y2-m2x2=1(m>0)可化為-=1, ∴a=,b=. 不妨取頂點,一條漸近線為mx-3y=0, ∵=,∴m2+9=25.∴m=4.

2、答案:4 在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為,焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離心率為________. 解析:不妨設橢圓方程為+=1(a>b>0),則有,即,②÷①得e=. 答案: 與x2-4y2=1有相同的漸近線,且過M(4,)的雙曲線方程為________. 解析:設雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0),將M(4,)代入方程得λ=4,所以方程為-y2=1. 答案:-y2=1 已知雙曲線3x2-y2=9,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于________. 解析:即求離心率,雙曲線化為標準方程-=1,可得a=,c===2,e===2.

3、 答案:2 若拋物線y2=2px的焦點與橢圓+=1的右焦點重合,則p的值為________. 解析:橢圓+=1的右焦點為(2,0),而拋物線y2=2px的焦點為,則=2,故p=4. 答案:4 設O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點,A是拋物線上一點,若·=-4,則點A的坐標是________. 解析:F(1,0),設A,則=,=,由·=-4,解得y0=±2,此時x0=1,故A的坐標為(1,±2). 答案:(1,±2) 設P是橢圓+=1上的任意一點,又點Q(0,-4),則PQ的最大值為________. 解析:設P的坐標為(x,y),則PQ2=x2+(y+4)2= 25+

4、(y+4)2=-+(-4≤y≤4),當y=4時,PQ2最大,此時PQ最大, 且PQ的最大值為?。?. 答案:8 以雙曲線-=1的右焦點為圓心,且與其漸近線相切的圓的方程是________. 解析:由題意知圓心坐標應為(5,0).又因為點(5,0)到漸近線y=±x的距離為4,所以圓的方程為x2+y2-10x+9=0. 答案:x2+y2-10x+9=0 橢圓對稱軸在坐標軸上,短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形,焦點到橢圓上的點的最短距離為,則這個橢圓方程為________. 解析:由題意知,解得, ∴橢圓方程為+=1或+=1. 答案:+=1或+=1 已知兩點M(-2,0),

5、N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點,滿足||·||+·=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為________. 解析:由題意知P(x,y),M(-2,0),N(2,0),||=4,則=(x+2,y),=(x-2,y); 由||·||+·=0,得4+4(x-2)=0,化簡整理得y2=-8x. 答案:y2=-8x 設過點P(x,y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,O為坐標原點,若 =2 且 ·=1,則點P的軌跡方程是________. 解析:設P(x,y),則Q(-x,y),又設A(a,0),B(0,b),則a>0,b>0. 于是=(x,y

6、-b),=(a-x,-y), 由=2可得a=x,b=3y, 所以x>0,y>0.又=(-a,b)=, 由·=1可得x2+3y2=1(x>0,y>0). 答案:x2+3y2=1(x>0,y>0) 橢圓+=1與曲線+=1(0

7、曲線-=1(a>0,b>0且a≠b)的兩個焦點,P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點,O為坐標原點.下面四個命題 ①△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=a上; ②△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線x=b上; ③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上; ④△PF1F2的內(nèi)切圓必通過點(a,0). 其中真命題有________(寫出所有真命題的代號). 解析:設△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1、PF2切于點A、B,與F1F2切于點M,則PA=PB,F(xiàn)1A=F1M,F(xiàn)2B=F2M,又點P在雙曲線右支上,所以PF1-PF2=2a,故F1M-F2M=2a,而F1M+F2M=2c,設M點坐標

8、為(x,0),則由F1M-F2M=2a,可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,顯然內(nèi)切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸,故①、④正確. 答案:①④ 二、解答題(本大題共6小題,共90分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (本小題滿分14分) 如圖,有一塊拋物線形鋼板,其垂直于對稱軸的邊界線AB長為2r,高為4r,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,以AB為下底,上底CD的端點在拋物線上,記CD=2x,梯形面積為S.求面積S,使其為以x為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域. 解: 建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,則B(r,-4r), 設拋物線方程為x2=-2py(

9、p>0), ∵點B(r,-4r)在拋物線上, ∴r2=8pr,即p=. ∴拋物線方程為x2=-y. 又點C的橫坐標為x, 則點C的縱坐標為y=-, ∴梯形ABCD的高h=4r-. ∴S=(2r+2x)·=(x+r)(r2-x2), 其定義域為{x|00,b>0),則,解得:

10、. 故所求雙曲線的標準方程為-=1. (2)由(1)知雙曲線的右準線方程為x=,即為拋物線的準線方程. 故設拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0),則有=,故p=. 所以拋物線的標準方程為y2=-x. (本小題滿分14分)已知雙曲線-=1與點M(5,3),F(xiàn)為右焦點,試在雙曲線上求一點P,使PM+PF最小,并求出這個最小值. 解: 雙曲線的右焦點F(6,0), 離心率e=2,右準線為l:x=. 作MN⊥l于N,交雙曲線右支于P,連結(jié)FP,則 PF=ePN=2PN?PN=PF.此時PM+PF=PM+PN=MN=5-=為最?。? 在-=1中,令y=3,得x2=12?x=

11、±2; 又∵x>0,∴取x=2. 即當所求P點的坐標為(2,3)時,PM+PF取最小值. (本小題滿分16分)已知F1、F2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,點Q(-,1)在橢圓上,線段QF2與y軸的交點M滿足+=0; (1)求橢圓C的方程; (2)設P為橢圓C上一點,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面積. 解:(1)由已知,點Q(-,1)在橢圓上,∴有+=1;① 又∵+=0,M在y軸上,∴M為QF2的中點, ∴-+c=0,c=.∴有a2-b2=2,② 由①②,解得b2=2(b2=-1舍去),∴a2=4,故所求橢圓C的方程為+=1. (2)設PF1=m,PF

12、2=n,則S△F1PF2=mnsin=mn. 由橢圓的定義知PF1+PF2=2a,即m+n=4.① 又由余弦定理得PF+PF-2PF1·PF2cos=F1F,即m2+n2-mn=(2)2.② 由①2-②,得mn=,∴S△F1PF2=. (本小題滿分16分)一束光線從點F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點P反射后,恰好穿過點F2(1,0). (1)求P點的坐標; (2)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程. 解:(1)設F1關(guān)于l的對稱點為F(m,n),則=-且2·-+3=0,解得m=-,n=,即F,故直線F2F的方程為x+7y-1=0. 由,解得P.

13、(2)因為PF1=PF,根據(jù)橢圓定義,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=?。?,所以a=.又c=1,所以b=1.所以橢圓C的方程為+y2=1. (本小題滿分16分)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M. (1)求拋物線方程; (2)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標; (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當K(m,0)是x軸上一動點時,討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 解:(1)拋物線y2=2px的準線為x=-,于是4+=5,∴

14、p=2. ∴拋物線方程為y2=4x. (2)∵點A的坐標是(4,4),由題意得B(0,4),則M(0,2), 又∵F(1,0),∴kFA=;∵MN⊥FA,∴kMN=-, 則FA的方程為y=(x-1), MN的方程為y-2=-x. 解方程組,得,∴N. (3)由題意得,圓M的圓心是點(0,2),半徑為2. 當m=4時,直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離, 當m≠4時,直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0, 圓心M(0,2)到直線AK的距離d=, 令d>2,解得m>1. ∴當m>1時,直線AK與圓M相離; 當m=1時,直線AK與圓M相切; 當m<1時,直線AK與圓M相交.

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