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1、2022年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程思想專題突破教案
典例分析：
1、記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域?yàn)锽.
(1) 求A；
(2) 若BA, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （難度：★）
解：(1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1
2、,
∴≤a<1或a≤－2, 故當(dāng)BA時(shí), 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－2]∪[,1)
2、已知函數(shù)，常數(shù)．
（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
對(duì)任意，， 為偶函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，
取，得 ，
，
函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）解法一：設(shè)，
，
要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立．
，即恒成立．
又，．
的取值范圍是．
解法二：當(dāng)時(shí)，，顯然在為增函數(shù)
3、．
當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在為增函數(shù)，
在為增函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，同解法一． （難度★★★）
已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（I）設(shè)函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,
則 即 .
∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
即 故g(x)＝.
(II)由可得：
當(dāng)1時(shí)，
此時(shí)不等式無(wú)解。
4、
當(dāng)時(shí)，
因此，原不等式的解集為[-1, ].
(III)
① 當(dāng)時(shí)，＝在[-1,1]上是增函數(shù)，
②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸的方程為
(i) 當(dāng)時(shí)，，解得。
(ii) 當(dāng)時(shí)，1時(shí)，解得
綜上, （難度★★★）
設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［-xx，xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．
.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為,
從而知函數(shù)不是奇函數(shù),
由
,
5、從而知函數(shù)的周期為
又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
I）
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個(gè)解,在[-xx.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[-xx,xx]上有802個(gè)解. （難度★★★★）
3、設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒有成立，求t的取值范圍；（難度★★★）
4、已知函數(shù)
（I）求在區(qū)間上的最大值
（II）是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。
分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、
6、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿分12分。
解：（I）
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
綜上，
（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)
的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。
當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；
當(dāng)或時(shí)，
當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，
要使的圖象與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須
即
所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖
7、象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為 （難度★★★★）
5、已知函數(shù)在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0）如圖所示，求
（I）x0的值；
（II）a ，b ，c的值。 （難度★★）
=========================================================================
6、已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．
分析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的
8、幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法．滿分12分．
（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，，，
又，．
所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分兩種情況討論．
（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
0
0
極小值
極大值
所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)．
函數(shù)在處取得極小值，且，
函數(shù)在處取得極大值，且．
（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
0
9、0
極大值
極小值
所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值，且．
函數(shù)在處取得極小值，且．
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（－1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M（－1f(－1)）處的 切線方程為x+2y+5=0，知
（難度★★）
設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；
（3）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直
10、線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.
【解析】:（Ⅰ），
于是解得或因，故．
(II)證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)，
所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形。
而函數(shù)。
可知，函數(shù)的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)（1，1）為中心的中心對(duì)稱圖形。
（III）證明：在曲線上任一點(diǎn).
由知,過(guò)此點(diǎn)的切線方程為.
令得,切線與直線交點(diǎn)為.
令得,切線與直線交點(diǎn)為.
直線與直線的交點(diǎn)為(1,1).
從而所圍三角形的面積為.
所以, 所圍三角形的面積為定值2.
【點(diǎn)評(píng)】：本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題,主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以
11、及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),以及函數(shù)與方程的思想,以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力. （難度★★★）
7、已知求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. （難度★★）
解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：
（I）當(dāng)a=0時(shí)，若x<0，則<0，若x>0,則>0.
所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù).
（II）當(dāng)
由
所以，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
（III）當(dāng)a<0時(shí)，由2x+
12、ax2>0，解得0－.
所以當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，－）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（－，+∞）內(nèi)為減函數(shù).
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．
解：（1）求導(dǎo)：
當(dāng)時(shí)，，，在上遞增
當(dāng)，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增
（2），且解得： （難度★★★）
8、設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)且時(shí)，。 （難度★★）
設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對(duì)所有的
13、x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， 5分
(i)當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，
又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，
即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． 9分
(ii)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是減函數(shù)，
又g(0)＝0，所以對(duì)0
14、＜x＜ea－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，
即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立． ……3分
對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分
當(dāng)x＞ ea－1－1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，
當(dāng)－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)， 9分
所以要對(duì)所有x≥0都有g(shù)
15、(x)≥g(0)充要條件為ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]．
9、已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力，滿分14分。
證明：（Ⅰ）由
得
而 ①
又
∴ ②
∵ ∴
16、
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即
（Ⅱ）證法一：由，得
∴
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立
即證成立
∵
設(shè)，則
令得，列表如下：
極小值
∴
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
證法二：由，得
∴
∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)
∴
設(shè)，
則，列表：
極小值
∴ 即
∴
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最大值；
（Ⅱ）設(shè)0
17、)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)以及綜合推理論證的能力，滿分14分.
（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?
令
當(dāng) 當(dāng) 又
故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得最大值，最大值為0.
（Ⅱ）證法一：
由（Ⅰ）結(jié)論知
由題設(shè)
因此
所以
又
綜上
證法二：
設(shè)
則
當(dāng) 在此內(nèi)為減函數(shù).
當(dāng)上為增函數(shù).
從而，當(dāng)有極小值
因此 即
設(shè) 則
當(dāng) 因此上為減函數(shù).
因?yàn)?
即
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
（Ⅰ）用表示出，;
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）證明：1+++…+＞+）（n≥1）．
2022年高考數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程思想專題突破教案
