2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法教案 蘇教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法教案 蘇教版 一．復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1．了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)．掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念． 2．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用． 3．了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的

2、求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 4．了解復(fù)合函數(shù)的概念。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過(guò)程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法則解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。 二．考試要求： ⑴了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。 ⑵熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3、⑶了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)），會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。 三．教學(xué)過(guò)程： （Ⅰ）基礎(chǔ)知識(shí)詳析 導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面: 1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題： （1）刻畫(huà)函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）； （2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）； （3）應(yīng)用問(wèn)題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類型。 2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專項(xiàng)討

4、論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。 3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。 4．曲線的切線 在初中學(xué)過(guò)圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過(guò)該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)模鐖D3—1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx．直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說(shuō)直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是說(shuō)直線是曲線C在點(diǎn)N處

5、的切線．因此，對(duì)于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義．所以課本利用割線的極限位置來(lái)定義了曲線的切線． 5．瞬時(shí)速度 在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過(guò)瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書(shū)中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車(chē)速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說(shuō)明．物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度． 6．導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)．

6、 對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量)． (2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果△x→0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． (3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)．反之不一定成立．例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)． 由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： (1)求函數(shù)的增量； (2)求平均變化率； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。 7

7、．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步： (1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率； (2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為 8．和（或差）的導(dǎo)數(shù) 對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求。 我們不難發(fā)現(xiàn)，即

8、兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。 由此我們猜測(cè)在一般情況下結(jié)論成立。事實(shí)上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。 9．積的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，證明過(guò)程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過(guò)程見(jiàn)課本P120） 說(shuō)明： （1）； （2）若c為常數(shù)，則(cu) ′=cu′。 10．商的導(dǎo)數(shù) 兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運(yùn)用就可以?，F(xiàn)補(bǔ)充證明如下： 設(shè) 因?yàn)関(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)

9、，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是△x→0時(shí)，v(x+△x)→v(x)，從而 即。 說(shuō)明：（1）； （2） 學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。 11. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 ㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。 能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。 ㈡時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。 若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。∴當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條

10、件。 ㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。 為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛?。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。 ㈣單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間 （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減

11、區(qū)間 我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。 ㈤函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 （1）恒成立 ∴為上 ∴ 對(duì)任意 不等式 恒成立 （2）恒成立 ∴ 在上 ∴ 對(duì)任意不等式 恒成立 ㈥注意事項(xiàng) 1．導(dǎo)數(shù)概念的理解． 2．利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極

12、值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過(guò)實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來(lái)對(duì)法則進(jìn)行了證明。 對(duì)于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見(jiàn)過(guò)，沒(méi)有專門(mén)定義和介紹過(guò)它，課本中以描述性的方式對(duì)復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對(duì)復(fù)合函數(shù)的的概念有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。 3．要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)： （1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 （2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變

13、量求導(dǎo)。 4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行： （1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系； （2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）； （3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。 也就是說(shuō)，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說(shuō)明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分解——求導(dǎo)——回代。熟練以后，可以省略中間過(guò)程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。 （Ⅱ） 范例分析 例1． 在處可導(dǎo)，則

14、 思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限： （1）； （2） 分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解：（1） （2） 說(shuō)明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)

15、變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 例3．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 解：若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 例4．（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程； （2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。 分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

16、 解：（1）， ，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0 因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1 （2） 。 例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （1） （2） （3） （4） 解：（1） 時(shí) ∴ ， （2） ∴ ， （3） ∴ ∴ ， ， （4） 定義域?yàn)? 例6．求證下列不等式 （1） （2） （3） 證：（1） ∴ 為上 ∴

17、 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ ∴ （3）令 ∴ ∴ 例7．利用導(dǎo)數(shù)求和： （1）； （2）。 分析：這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷。 解：（1）當(dāng)x=1時(shí)， ； 當(dāng)x≠1時(shí)， ∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 即

18、 （2）∵， 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。 令x=1得 ， 即。 例8．求滿足條件的 （1）使為上增函數(shù) （2）使為上…… （3）使為上 解：（1） ∴ 時(shí) 也成立 ∴ （2） 時(shí) 也成立 ∴ （3） 例9．（1）求證 （2） 求證 （1）證：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立 將各式相加 即 例10．

19、 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力. 解：. 當(dāng)時(shí) . （i）當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有. 即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增. （ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有， 即，此時(shí)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此， 函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增 （iii）當(dāng)時(shí)，令，即. 解得. 因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間 內(nèi)也單調(diào)遞增. 令， 解得. 因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 說(shuō)明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無(wú)法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗(yàn)本第三冊(cè)P148

20、）： 設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。 例11．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。 （1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線與的夾角。 分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。 解 （1）由方程組 解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由y′=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式， 所以 說(shuō)明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直

21、線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。 例12．設(shè)，是上的偶函數(shù)。 （I）求的值； （II）證明在上是增函數(shù)。 解：（I）依題意，對(duì)一切有，即， ∴對(duì)一切成立， 由此得到，， 又∵，∴。 （II）證明：由，得， 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。 ∴在上是增函數(shù)。 例13．設(shè)函數(shù)，其中。 （I）解不等式； （II）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。 解1：（I）分類討論解無(wú)理不等式（略）。 （II）作差比較（略）。 解2： （i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。 （ii）當(dāng)時(shí)，解不等式，得，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 解方程，得或， ∵，

22、 ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，， 綜上，（I）當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：； 當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：。 （II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)。 例14． 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：①②若，則 解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程 ， （2）依題得，切線方程中令，得 ，其中， （ⅰ）由，，有，及， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。 （ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因此，，且由（?。?， 所以。 例15． 已知為正整數(shù). （Ⅰ）設(shè)； （Ⅱ）設(shè) 分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所數(shù)學(xué)知

23、識(shí)解決問(wèn)題的能力。 證明：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以 （Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù): ∴ 即對(duì)任意 （Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練 1．設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于 （ ） A． B． C． D． 2．若，則等于 （ ） A． B． C．3 D．2 3．曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ） A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2） 4．若函數(shù)f(x)

24、的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4））處的切線的傾斜角為（ ） A．90° B．0° C．銳角 D．鈍角 5．函數(shù)在[0，3]上的最大值、最小值分別是 （ ） A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 6．一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+△t時(shí)，物體的位移為△s，那么為（ ） A．從時(shí)間t到t+△t時(shí)，物體的平均速度 B．時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度 C．當(dāng)時(shí)間為△t 時(shí)該物體的速度 D．從時(shí)間t到t+△t時(shí)位移的平均變化率 7．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確

25、的是 （ ） A．在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù) B．在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù) C．在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù) D．在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù) 8．對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 9．函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 10．設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是

26、（ ） （1）； （2）； （3） （4）。 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 11．f()是定義在區(qū)間[－c,c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下 列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ） A．若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. B．若a=－1，－2

27、函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_____________。 13．設(shè)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_(kāi)_____________。 14．設(shè)，則_____________。 15．垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是________．? 16．已知曲線，則_____________。 17．y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 18．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___________。 19．P是拋物線上的點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過(guò)P點(diǎn)處的切線方程是____________。 20．在拋物線上依

28、次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________。 21．曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。 22．在拋物線上求一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。 23．判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。 24．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。 25．求曲線y=xcosx在處的切線方程。 26．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4). 27．已知曲線與。直線l與、都相切，求

29、直線l的方程。 28．設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。 29．求曲線在點(diǎn)處的切線方程。 30．求證方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根 31． 、、、均為正數(shù) 且 求證： 32．（1）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)； （2）求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。 33．證明：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。 34． 已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：①；②若，則。 （Ⅳ）、參考答案 1－5 CBDCA； 6－10 BDB

30、AB； 11 B 12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1) 14．-6 15．3x+y+6=0 16． 17．(-∞,-2)與(0,+ ∞) 18． 19．2x-y-1=0 20．（2，4） 21．由導(dǎo)數(shù)定義求得， 令，則x=±1。 當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0； 當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所

31、以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。 22．由導(dǎo)數(shù)定義得f′(x)=2x，設(shè)曲線上P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)處切線的斜率為，根據(jù)夾角公式有 解得或， 由，得； 由，得； 則P（-1，1）或。 23．， ， ∵， ∴不存在。 ∴函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。 24．可以驗(yàn)證點(diǎn)（2，0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為。 由 ， 得所求直線方程為

32、 。 由點(diǎn)（2，0）在直線上，得， 再由在曲線上，得， 聯(lián)立可解得，。所求直線方程為x+y-2=0。 25．Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx ，切點(diǎn)為， ∴切線方程為： 即。 26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) ∴ =2x+a =2x+c ∴a=c ③ 又知52+5a+b=30

33、 ∴5a+b=5 ④ 由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5， d=－g(4)=42+2×4－=23 27．解：設(shè)l與相切于點(diǎn)，與相切于。對(duì)，則與相切于點(diǎn)P的切線方程為，即。 ① 對(duì)，則與相切于點(diǎn)Q的切線方程為 ，即。 ② ∵ 兩切線重合，∴， 解得或， ∴直線方程為y=0或y=4x-4。 28．解： ∴ 令x=1得

34、 29．解：，則 。 ∴切線方程為 即5x+32y-7=0。 30解： 在 ∴ 在內(nèi)與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn) ∴ 方程 在內(nèi)僅有一解 31．證：由對(duì)稱性不妨設(shè) （1）若 顯然成立 （2）若 設(shè) ∴ ∵ ∴ ∴ 時(shí) ∴ ∴ 32．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。 解（1） ， ， ∴。 （2）

35、 ， 。 ∴y′=2x+a 說(shuō)明 應(yīng)熟練掌握依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟。 33．分析：從已知和要證明的問(wèn)題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化。 已知： 求證： 證明：考慮，令，則，等價(jià)于△x→0，于是 ∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。 說(shuō)明：函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限。反之則不一定成立，例如y=|x|在點(diǎn)x=0處有極限且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在。 34．解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程 ， （2）依題意，在切線方程中令，得， （?。?， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等成立。 （ⅱ）若，則，，且由（?。?， 所以。