2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專(zhuān)題11 計(jì)數(shù)原理(理)(含解析)
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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專(zhuān)題11 計(jì)數(shù)原理(理)(含解析) 排列與組合的綜合問(wèn)題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成,則要用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加;如果需要通過(guò)若干步才能將規(guī)定的事件完成,則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘. 2. 排列與組合的定義 (1)排列:從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)公式是A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或?qū)懗葾=. (2)組合:
2、從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素組成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)公式是C=或?qū)懗蒀=. 3. 組合數(shù)的性質(zhì) ①C=C; ②C=C+C. 【講一講提高技能】 1.必備技能: (1)在應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí),一般先分類(lèi)再分步,每一步當(dāng)中又可能用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理. (2)對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問(wèn)題,可恰當(dāng)列出示意圖或表格,使問(wèn)題形象化、直觀(guān)化. (3)求解排列、組合問(wèn)題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無(wú)序組合;分類(lèi)相加,分步相乘. 具體地說(shuō),解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑: ①
3、以元素為主體,即先滿(mǎn)足特殊元素的要求,再考慮其他元素. ②以位置為主體,即先滿(mǎn)足特殊位置的要求,再考慮其他位置. ③先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 2.典型例題: 例1將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1,2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( ) A.52種 B.36種 C.20種 D.10種 【答案】D 【解析】 試題分析:1號(hào)盒放1個(gè),2號(hào)盒放3個(gè),方法種數(shù)是, 1號(hào)盒放2個(gè),2號(hào)盒放2個(gè),方法種數(shù)是, 所以不同的放球方法有. 例2把5件
4、不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰, 且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰,則不同的擺法有 種. 分析:這是一道排列問(wèn)題,先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,再考慮當(dāng)A、B相鄰又滿(mǎn)足A、C相鄰,利用“間接法”. 【解析】先考慮產(chǎn)品A與B相鄰,把A、B作為一個(gè)元素有種方法,而A、B可交換位置,所以有種擺法,又當(dāng)A、B相鄰又滿(mǎn)足A、C相鄰,有種擺法,故滿(mǎn)足條件的擺法有種. 【練一練提升能力】 1.從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng),要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有( ) A.70種 B.112種 C.140種 D.168種 【答案】
5、C 【解析】 2.將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀(guān)券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀(guān)券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是_________. 【答案】96 【解析】這相當(dāng)于相鄰問(wèn)題,連號(hào)的兩張票是12,23,34,45中的一種,把這兩張票合起來(lái)作為一張票,這樣相當(dāng)于4張不同的票給4個(gè)人,因此不同分法種種數(shù)為. 利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 二項(xiàng)式定理:(a+b)n=Canb0+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Ca0bn(r=0,1,2,…,n). 2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):Tr+1=Can-rbr,r=0,
6、1,2,…,n,其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù). 【講一講提高技能】 1.必備技能:應(yīng)用二項(xiàng)式定理關(guān)鍵是掌握通項(xiàng)公式,在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí),要注意: ①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng),只要與確定,該項(xiàng)就隨之確定; ②是展開(kāi)式中的第項(xiàng),而不是第項(xiàng); ③公式中,的指數(shù)和為且不能隨便顛倒位置; ④對(duì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題. 2.典型例題: 例1若()的展開(kāi)式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)系數(shù)最大,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 例2若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為20,則的最小值 . 分析:展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令根據(jù)得,再應(yīng)用基
7、本不等式即得. 解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令得,所以,由得,從而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為. 【練一練提升能力】 1.若的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( ) A.-10 B.10 C.-45 D.45 【答案】D 【解析】 2.在的展開(kāi)式中,的冪指數(shù)是整數(shù)的共有( ) A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng) 【答案】C 【解析】 試題分析:,,若要是冪指數(shù)是整數(shù),所以0,6,12,18,24,30,所以共6項(xiàng),故選C. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 【背一背
8、重點(diǎn)知識(shí)】 1. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①對(duì)稱(chēng)性:與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等, 即C=C,C=C,…,C=C,…. ②最大值:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn取得最大值;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn,Cn相等,且同時(shí)取得最大值. 2.各二項(xiàng)式系數(shù)的和 a.C+C+C+…+C+…+C=2n; b.C+C+…+C+…=C+C+…+C+… =·2n=2n-1. 【講一講提高技能】 1必備技能:在處理二項(xiàng)式系數(shù)或者各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),“賦值思想”是一種重要方法,是處理組合數(shù)問(wèn)題、系數(shù)問(wèn)題的經(jīng)典方法. 2典型例題: 例1已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則 ( ?。?/p>
9、 A. B. C. D. 分析:根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則知,展開(kāi)式中是由1與中的項(xiàng)相乘旂積再加上與中的項(xiàng)相乘的積,因此我們要求出中項(xiàng),這可由二項(xiàng)式定理得到. 【解析】中這兩項(xiàng)的系數(shù)分別為,因此有,解得. 例2的二項(xiàng)展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________. 【答案】15 【解析】 【練一練提升能力】 1.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)______. 【答案】 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,因此的系數(shù)為,解得:. 2. 設(shè),則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為 . 【答案】 【解析】 (一) 選擇題(12*5=60分) 1. 在的展開(kāi)式中
10、,含項(xiàng)的系數(shù)為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,所以含項(xiàng)的系數(shù)為15.選C 2.滿(mǎn)足,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 ( ?。? A.14 B.13 C.12 D.10 【答案】B 【解析】 3.從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng),要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有( ) A.70種 B.112種 C.140種 D.168種 【答案】C 【解析】 4. 若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則的系數(shù)為( ) A.10 B.20
11、 C.30 D.60 【答案】C 【解析】 試題分析:由題意得,令,則可的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和,即,得,在展開(kāi)式中,根據(jù)排列組合的知識(shí)可得的系數(shù)為,故選C. 5.方程中的,且互不相同,在所有這些方程所表示的曲線(xiàn)中,不同的拋物線(xiàn)共有( ) A、60條 B、62條 C、71條 D、80條 【答案】B 【解析】本題可用排除法,,6選3全排列為120,這些方程所表示的曲線(xiàn)要是拋物線(xiàn),則且,,要減去,又和時(shí),方程出現(xiàn)重復(fù),用分步計(jì)數(shù)原理可計(jì)算重復(fù)次數(shù)為,所以不同的拋物線(xiàn)共有120-40-18=6
12、2條.故選B. 6. 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是( ) 【答案】D 【解析】第一個(gè)因式取,第二個(gè)因式取 得:,第一個(gè)因式取,第二個(gè)因式取得: 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是. 7.學(xué)校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課程,其中數(shù)學(xué)開(kāi)設(shè)了三個(gè)不同的班,選課結(jié)束后,有四名選修英語(yǔ)的同學(xué)要求改修數(shù)學(xué),但數(shù)學(xué)選修班每班至多可接收兩名同學(xué),那么安排好這四名同學(xué)的方案有( ) A.72種 B.54種 C.36種 D.18種 【答案】B 【解析】 8. 的展開(kāi)式中的系數(shù)是( ) A. B. C. D.
13、 【答案】D 【解析】展開(kāi)式中系數(shù)為,展開(kāi)式中的系數(shù)為,因此所求的系數(shù)為,選D. 9.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍(lán)顏色衣服的有一人,現(xiàn)將五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法共有( ) A.48種 B.72種 C.78種 D.84種 【答案】A 【解析】 試題分析:根據(jù)題意知先使五個(gè)人的全排列,共有種結(jié)果.穿紅色相鄰或穿黃色相鄰兩種情況,有種,穿紅色相鄰且穿黃色也相鄰情況,有種,故穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是,故選A. 10. 6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)
14、之間最多交換一次,進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品,已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換,則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為( ) 或 或 或 或 【答案】D 【解析】沒(méi)有交換的次數(shù)為. ①設(shè)僅有甲與乙,丙沒(méi)交換紀(jì)念品,則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人, ②設(shè)僅有甲與乙,丙與丁沒(méi)交換紀(jì)念品,則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人. 循環(huán)不滿(mǎn)足條件輸出,選C. 11.設(shè)函數(shù) , 則當(dāng)x>0時(shí), 表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ( ) A.-20 B.20 C.-15 D.15 【答案】A 【解析】 12.設(shè),且,若能被13整除,則 A.0
15、 B.1 C.11 D.12 【答案】D 【解析】由于51=52-1,,又由于13|52,所以只需,,所以,選D. (二) 填空題(4*5=20分) 13.將六個(gè)字母排成一排,且均在的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答) 【答案】480 【解析】六個(gè)字母排成一排,占6個(gè)位置,我們可以從中任選3個(gè)排,共有種排法,剩下的三個(gè)位置排,由于要求在的同側(cè),則有4種排法(),因此總排法為. 14. 某班級(jí)要從名男生、名女生中選派人參加社區(qū)服務(wù),如果要求至少有名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為 .(用數(shù)字作答) 【答案】1
16、4 【解析】 6人中選4人的方案種,沒(méi)有女生的方案只有一種,所以滿(mǎn)足要求的方案總數(shù)有14種。 24.將7個(gè)市三好學(xué)生名額分配給5個(gè)不同的學(xué)校,其中甲、乙兩校至少各有兩個(gè)名額,則不同的分配方案種數(shù)有 _________ . 【答案】35 【解析】 15.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則其常數(shù)項(xiàng)是 . 【答案】70 【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中,僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以,由的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為,令,,所以,常數(shù)項(xiàng)是,答案為. 16華師一“長(zhǎng)飛班”由m位同學(xué)組成,學(xué)校專(zhuān)門(mén)安排n位老師作為指導(dǎo)老師,在該班級(jí)的一次活動(dòng)中,每?jī)晌煌瑢W(xué)之間相互向?qū)Ψ教嵋粋€(gè)問(wèn)題,每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)老師各提出一個(gè)問(wèn)題,并且每位指導(dǎo)老師也向全班提出一個(gè)問(wèn)題,以上所有問(wèn)題互不相同,這樣共提出了51個(gè)問(wèn)題,則 . 【答案】 【解析】
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