2022年高中數(shù)學(xué) 2、1-3-2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)同步檢測(cè) 新人教版選修2-2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2、1-3-2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)同步檢測(cè) 新人教版選修2-2 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是(　　) A．導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) B．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極小值 C．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值 D．如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極大值 [答案]　C [解析]　導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的極值點(diǎn)，

2、故A錯(cuò)；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選C. 2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有(　　) A．極小值－2，極大值2 B．極小值－2，極大值3 C．極小值－1，極大值1 D．極小值－1，極大值3 [答案]　D [解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x) 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1 當(dāng)x<－1時(shí)，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)， 當(dāng)－10，函數(shù)y＝1＋3x－x3是增函數(shù)， 當(dāng)x>1時(shí)，y′<0，函數(shù)y＝1＋3x－x3是減函數(shù)， ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極小值，y極小＝－1. 當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值，y極大＝3. 3．設(shè)x0為f(x)

3、的極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不為0 [答案]　C [解析]　如：y＝|x|，在x＝0時(shí)取得極小值，但f′(0)不存在． 4．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，有一點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)是這一點(diǎn)為極值的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　只有這一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0，且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)才是充要條件． 5．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x3－3x2，給出命題： ①f(x)是增函數(shù)，無(wú)極值； ②f(x)是減函數(shù)

4、，無(wú)極值； ③f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，遞減區(qū)間為(0,2)； ④f(0)＝0是極大值，f(2)＝－4是極小值． 其中正確的命題有(　　) A．1個(gè)　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [答案]　B [解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

5、1時(shí)，極大值為－2；當(dāng)x＝1時(shí)，極小值為2 [答案]　D [解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1， 函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極大值－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取極小值2. 7．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) [答案]　A [解析]　由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后

6、再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)． 8．已知函數(shù)y＝x－ln(1＋x2)，則函數(shù)y的極值情況是(　　) A．有極小值 B．有極大值 C．既有極大值又有極小值 D．無(wú)極值 [答案]　D [解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，當(dāng)x>1時(shí)，y′>0， 當(dāng)x<1時(shí)，y′>0， ∴函數(shù)無(wú)極值，故應(yīng)選D. 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的極值是(　　) A．極大值為，極小值為0 B．極大值為0，極小值為 C．極大值為0，極小值為－ D．極大值為－，極小值為0 [答案]

7、　A [解析]　由題意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，極大值f＝，極小值f(1)＝0. 10．下列函數(shù)中，x＝0是極值點(diǎn)的是(　　) A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案]　B [解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x， x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右負(fù)， ∴x＝0是函數(shù)的極大值點(diǎn)． 二、填空題 11

8、．函數(shù)y＝的極大值為_(kāi)_____，極小值為_(kāi)_____． [答案]　1 －1 [解析]　y′＝， 令y′>0得－11或x<－1， ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，取極小值－1，當(dāng)x＝1時(shí)，取極大值1. 12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為_(kāi)___________，極小值為_(kāi)___________． [答案]　a＋4　a－4 [解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)， 令y′>0，得x>或x<－， 令y′<0，得－

9、極小值，則a＝______，b＝________. [答案]?。? －9 [解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韋達(dá)定理應(yīng)有 14．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象與直線y＝a有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________． [答案]　(－2,2) [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1， 可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2， y＝f(x)的大致圖象如圖 觀察圖象得－2

10、論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫(xiě)出極值． [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x變化時(shí)，f′(x)的符號(hào)變化情況及f(x)的增減性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 極大值 f(－1) 減 極小值 f(3) 增 (1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)； (2)由表可得，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16. 16．設(shè)函數(shù)f(x

11、)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1處有極值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相應(yīng)的極值． [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. ∵x＝±1是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，則有a＋b＋c＝－1， 此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式為f(x)＝x3－x. ∴f′(x)＝x2－. 令f′(x)＝0，得x＝±1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大 值1  極小

12、 值－1  由上表可以看出，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值1；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極小值－1. 17．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值． (1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值； (2)過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程． [解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意， f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)

13、＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)， f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)． 若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)． ∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值． (2)曲線方程為y＝x3－3x.點(diǎn)A(0,16)不在曲線上． 設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)，故切線的方程為 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到點(diǎn)A(0,16)在切線上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化簡(jiǎn)得x＝－8，解得x0＝－2. ∴切點(diǎn)為M(－2，－2)， 切

14、線方程為9x－y＋16＝0. 18．(xx·北京文，18)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個(gè)根分別為1,4. (1)當(dāng)a＝3且曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍． [解析]　本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4. (1)當(dāng)a＝3時(shí)，由(*)式得， 解得b＝－3，c＝12. 又∵曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x. (2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]， 即a的取值范圍[1,9]．