2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的概念（2）教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 函數(shù)的概念（2）教案 新人教A版 復(fù) 習(xí) 1.函數(shù)的概念. 2.函數(shù)的定義域的求法. 導(dǎo)入新課 思路1.當(dāng)實(shí)數(shù)a、b的符號(hào)相同,絕對(duì)值相等時(shí),實(shí)數(shù)a=b;當(dāng)集合A、B中元素完全相同時(shí),集合A=B;那么兩個(gè)函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題:函數(shù)相等. 思路2.我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,y=x與y=是同一個(gè)函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,引出課題:函數(shù)相等. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 ①指出函數(shù)y=x+1的構(gòu)成要素有幾部分？ ②一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素有幾部分？ ③分別寫出函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=t+1的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系,并比較異同. ④函數(shù)

2、y=x+1和函數(shù)y=t+1的值域相同嗎？由此可見兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同,值域相同嗎？ ⑤由此你對(duì)函數(shù)的三要素有什么新的認(rèn)識(shí)？ 討論結(jié)果：①函數(shù)y=x+1的構(gòu)成要素為:定義域R,對(duì)應(yīng)關(guān)系x→x+1,值域是R. ②一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域,簡(jiǎn)稱為函數(shù)的三要素.其中定義域是函數(shù)的靈魂,對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素都相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相同. ③定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同. ④值域相同. ⑤如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同,那么它們的值域一定相等.因此只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就相等. 應(yīng)用示例 思路1

3、 1.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等？ (1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=. 活動(dòng)： 讓學(xué)生思考兩個(gè)函數(shù)相等的條件后,引導(dǎo)學(xué)生求出各個(gè)函數(shù)的定義域,化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系式為最簡(jiǎn)形式.只要它們定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同,那么這兩個(gè)函數(shù)就相等. 解：函數(shù)y=x的定義域是R,對(duì)應(yīng)關(guān)系是x→x. (1)∵函數(shù)y=()2的定義域是［0,+∞), ∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x的定義域R不相同. ∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x不相等. (2)∵函數(shù)y=的定義域是R, ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R相同. 又∵y==x, ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同. ∴函數(shù)y=與函

4、數(shù)y=x相等. (3)∵函數(shù)y=的定義域是R, ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R相同. 又∵y==|x|, ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同. ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x不相等. (4)∵函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R不相同, ∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x不相等. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)相等的含義.討論函數(shù)問(wèn)題時(shí),要保持定義域優(yōu)先的原則.對(duì)于判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù),要先求定義域,若定義域不同,則不是同一個(gè)函數(shù);若定義域相同,再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,若解析式相同(即對(duì)應(yīng)關(guān)系相同),則是同一個(gè)函數(shù),否則不是同一個(gè)函數(shù). 變式

5、訓(xùn)練 判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相同,并說(shuō)明理由. ①y=x-1,x∈R與y=x-1,x∈N; ②y=與y=·; ③y=1+與u=1+; ④y=x2與y=x; ⑤y=2|x|與y= ⑥y=f(x)與y=f(u). 是同一個(gè)函數(shù)的是________(把是同一個(gè)函數(shù)的序號(hào)填上即可). 解：只需判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否均相同即可. ①前者的定義域是R,后者的定義域是N,由于它們的定義域不同,故不是同一個(gè)函數(shù); ②前者的定義域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定義域是{x|x≥2},它們的定義域不同,故不是同一個(gè)函數(shù); ③定義域相同均為非零實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)法則相同都是自變量取倒

6、數(shù)后加1,那么值域必相同,故是同一個(gè)函數(shù); ④定義域是相同的,但對(duì)應(yīng)法則不同,故不是同一個(gè)函數(shù); ⑤函數(shù)y=2|x|=則定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同,那么值域必相同,故是同一個(gè)函數(shù); ⑥定義域相同,對(duì)應(yīng)法則相同,那么值域必相同,故是同一個(gè)函數(shù). 故填③⑤⑥. 思路2 1.判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個(gè)函數(shù),說(shuō)明理由. (1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1. (2)f(x)=x-1,g(x)=. (3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2. (4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1. 活動(dòng)：學(xué)生思考函數(shù)的概念及其三要素,教師引導(dǎo)學(xué)生先判斷定義域是否相同,

7、當(dāng)定義域相同時(shí),再判斷它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同. 解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定義域是{x|x≠1},函數(shù)g(x)=1的定義域是R, ∴函數(shù)f(x)=(x-1)0與函數(shù)g(x)=1的定義域不同. ∴函數(shù)f(x)=(x-1)0與函數(shù)g(x)=1不表示同一個(gè)函數(shù). (2)∵f(x)=x-1的定義域是R,g(x)==的定義域是R, ∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=的定義域相同. 又∵g(x)===|x-1|, ∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同. ∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=不表示同一個(gè)函數(shù). (3)很明顯f(x)=x2和g(x)=(x+1)

8、2的定義域都是R, 又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同, ∴函數(shù)f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一個(gè)函數(shù). (4)很明顯f(x)=x2-1與g(u)=u2-1的定義域都是R, 又∵f(x)=x2-1與g(u)=u2-1的對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同, ∴函數(shù)f(x)=x2-1與g(u)=u2-1表示同一個(gè)函數(shù). 變式訓(xùn)練 1.xx湖北黃岡模擬,理13已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,則f(36)=_______. 解：由題意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)

9、+f(3)］=2p+2q. 答案：2p+2q 2.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2的公共點(diǎn)共有( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.0個(gè)或1個(gè) D.不確定 答案：C 2.設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=g(x),設(shè)M表示u=g(x)的定義域,N是函數(shù)y=f(u)的值域,當(dāng)M∩N≠時(shí),則y成為x的函數(shù),記為y=f[g(x)].這個(gè)函數(shù)叫做由y=f(u)及u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),它的定義域?yàn)镸∩N,u叫做中間變量,f稱為外層函數(shù),g稱為內(nèi)層函數(shù).指出下列復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù),并且使外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)均

10、為基本初等函數(shù). (1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1. 活動(dòng)：讓學(xué)生思考有哪些基本初等函數(shù),它們的解析式是什么. 解：(1)設(shè)y=,u=x+1, 即y=的外層函數(shù)是反比例函數(shù)y=,內(nèi)層函數(shù)是一次函數(shù)u=x+1. (2)設(shè)y=u2,u=x2-2x+3, 即y=(x2-2x+3)2的外層函數(shù)是二次函數(shù)y=u2,內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)u=x2-2x+3. (3)設(shè)y=u2+u-1,u=, 即y=-1的外層函數(shù)是二次函數(shù)y=u2+u-1,內(nèi)層函數(shù)是反比例函數(shù)u=. 點(diǎn)評(píng)：到目前為止,我們所遇到的函數(shù)大部分是復(fù)合函數(shù),并且是由正、反比例函數(shù)和一、二次函數(shù)復(fù)合而成的,

11、隨著學(xué)習(xí)的深入,我們還會(huì)學(xué)習(xí)其他復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,應(yīng)引起我們的重視. 變式訓(xùn)練 1.xx重慶高考,文2設(shè)f(x)=,則=_______. 答案：-1 2.xx安徽高考,理15函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f(1)=-5,則f［f(5)］=. 分析:∵函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)= ,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］==f(x). ∴f(1)=f(1+4)=f(5). 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5. ∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==. 答

12、案： 知能訓(xùn)練 1.下列給出的四個(gè)圖形中,是函數(shù)圖象的是( ) A.① B.①③④ C.①②③ D.③④ 圖1-2-1-2 答案：B 2.函數(shù)y=f(x)的定義域是R,值域是［1,2］,則函數(shù)y=f(2x-1)的值域是_______. 答案：［1,2］ 3.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的有________. ①f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x0,g(x)=; ③f(x)=,g(u)=;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u. 答案：②③④ 拓展提升 問(wèn)題:函數(shù)y=f(x)的圖象與直

13、線x=m有幾個(gè)交點(diǎn)？ 探究:設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域是D, 當(dāng)m∈D時(shí),根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)唯一, 則函數(shù)y=f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)僅有一個(gè)(m,f(m)), 即此時(shí)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m僅有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)mD時(shí),根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)不存在, 則函數(shù)y=f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)不存在, 即此時(shí)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m沒(méi)有交點(diǎn). 綜上所得,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m有交點(diǎn)時(shí)僅有一個(gè),或沒(méi)有交點(diǎn). 課堂小結(jié) (1)復(fù)習(xí)了函數(shù)的概念,總結(jié)了函數(shù)的三要素; (2)學(xué)習(xí)了復(fù)合函數(shù)的概念; (3)判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù).

14、 作業(yè) 1.設(shè)M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出下列4個(gè)圖形,其中能表示以集合M為定義域,N為值域的函數(shù)關(guān)系是( ) 圖1-2-1-3 分析:A中,當(dāng)0