6、表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地，當時，通常把原點作為此特殊點。
（2）有關(guān)概念
引例：設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值。
由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點不在公共區(qū)域內(nèi)，當時，，即點在直線：上，作一組平行于的直線：，，可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大。
由圖象可知，當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最大，
當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最小，所以，，。
在上述引例中，不等式組是一組對變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束
7、條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標函數(shù)。
一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解。
四．典例解析
題型1：簡單不等式的求解問題
例1．（xx京皖春，1）不等式組的解集是（ ）
A．｛x｜－1＜x＜1 B．｛x｜0＜x＜３
C．｛x｜0＜x＜1 D．｛x｜－1＜x＜３
8、
答案：C
解析：原不等式等價于： 0＜x＜1。
點評：一元二次不等式的求解問題是高中數(shù)學的基礎(chǔ)性知識，是解決其它問題的基礎(chǔ)。
例2．（xx河南、廣東，1）不等式>0的解集為（ ）
A.{x|x<1} B.{x|x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|10，
∴x<1或x>3.
故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}。
點評：簡單的分式不等式的解法是高中數(shù)學中常用到的求范圍問題工具，分式不等式的解題思路是：分式化整式（注意分母不為零）。
題型2：簡單的絕對值、涉及指數(shù)、
9、對數(shù)和三角的不等式的求解問題
例3．（1）（xx全國，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）
A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1
C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－1
（2）（1997全國，14）不等式組的解集是（ ）
A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5
C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜3
解析：（1）答案：D；
解法一：①x≥0時，原不等式化為：（1＋x）（1－x）＞0，
∴（x＋1）（x－1）＜0，
∴0≤x＜1。
②x＜0時，原不等式化為：（1
10、＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0，
∴x≠－1，
∴x＜0且x≠－1。
綜上，不等式的解集為x＜1且x≠－1。
解法二：原不等式化為： ①或 ②
①解得－1＜x＜1，
②解得即x＜－1，
∴原不等式的解集為x＜1且x≠－1。
點評：該題體現(xiàn)了對討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對值的基本方法的要求。
（2）答案：C
解法一：當x≥2時，原不等式化為，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，。
注意x≥2，得2≤x＜；
當0＜x＜2時，原不等式化為，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。
即2x＞
11、0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。
綜上得0＜x＜，所以選C。
解法二：特殊值法.取x=2，適合不等式，排除A；取x=2.5，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。
點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。
例4．（1）（1995全國理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____。
（2）（xx全國文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（ ）
A.（，）∪（π，） B.（，π）
C.（，） D.（，π）∪（，）
（3）（06山東理，3）設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ ）
12、
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝
將不等式變形得
則－x2＋8＞－2x，從而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．
評述：此題考查指數(shù)不等式的解法；
（2）答案：C
解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖4—6可得C答案。
圖4—6 圖4—7
解法二：在單位圓上作出一、三象限的對
13、角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.（如圖4—7）。
（3）C；
點評：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。
題型3：含參數(shù)的不等式的求解問題
例5．（1）設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍？
（2）解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1)。
分析：該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。
解析：（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ=0或Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍。
設(shè)f(x
14、)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］；
當Δ=0時，a=－1或2；
當a=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］。
當Δ＞0時，a＜－1或a＞2。
設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，
即，解得2＜a＜，
∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，)。
（2）原不等式可化為：＞0，
①當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。
由于，
∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。
②
15、當a＜1時，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。
由于，
若a＜0，，解集為(，2)；
若a=0時，，解集為；
若0＜a＜1，，解集為(2，)。
綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2)。
點評：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯。
例6．（1）（06重慶理，15）設(shè)
16、a＞0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集為______ _；
（2）（06重慶文，15）設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。
解析：（1）由于函數(shù)有最大值，則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為，又因為恒成立，由解得；
（2）由于函數(shù)有最小值，故。原不等式化為，即。
點評：含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式，兼顧到底數(shù)的分類標準為兩種情況，這也是分類的標準。
題型4：線性規(guī)劃問題
例7．（1）（06安徽，10）如果實數(shù)滿足條件， 那么的最大值為（ ）
A．
17、 B． C． D．
（2）（06天津理，3）設(shè)變量、滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（ ）
A． B． C． D．
解析：（1）當直線過點(0，-1)時，最大，故選B；
（2）B．
點評：近年來線性規(guī)劃的一些基本運算問題成為出題的熱點，該部分知識大多都屬于基礎(chǔ)題目，屬于中低檔題目。
例8．（1）（06四川理，8）某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克，甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元，月初一次性夠進本月用原料各千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙
18、產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大；在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克，千克，月利潤總額為元，那么，用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中，約束條件為（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）（06浙江理，3）在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（3）（06北京理，13）已知點 P（x，y）的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO |的最小值等于，最大值等于。
解析：（1）約束條件為
19、，選C；
（2）A；
（3）、。
點評：線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點，諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。
題型5：不等式的應(yīng)用
例9．（06湖南理，20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是，用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少；
(Ⅱ)若采用方案乙，當為某固
20、定值時，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。
解析：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程：
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。
因為當,故方案乙的用水量較少。
（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*），
于是+，
當為定值時,，
當且僅當時等號成立。
此時
將代入（*）式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為：
, 最少總
21、用水量是.
當，故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明，隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。
點評：通過實際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問題成為高考的亮點，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。
例10．（xx全國文24、理22）如圖6—1，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B
22、孔的面積忽略不計）?
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，則y=，其中k＞0為比例系數(shù)，依題意，即所求的a、b值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=（0＜a＜30 ①，
于是
。
當a+2=時取等號，y達到最小值。
這時a=6，a=－10（舍去） 將a=6代入①式得b=3，
故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大。
由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）。
∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30，
當
23、且僅當a=2b時，上式取等號.
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18
即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。
∴2b2＝18．解得b=3，a=6。
故當a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
點評：本題考查綜合應(yīng)用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。
五．思維總結(jié)
1．在復(fù)習不等式的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練與復(fù)習
解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式（組），以快速、準確求解。
加強分類討論思想的復(fù)習
24、.在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對參數(shù)進行分類討論.復(fù)習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏。
加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中，加強化歸思想的復(fù)習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學生的基礎(chǔ)知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習時應(yīng)引起我們的足夠重視。
2．強化不等式的應(yīng)用
突出不等式的知識在解決實際問題中的
25、應(yīng)用價值，借助不等式來考查學生的應(yīng)用意識。
高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此，在復(fù)習時應(yīng)加強這方面訓練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問題的能力。
如在實際問題應(yīng)用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤。
3．突出重點
綜合考查在知識與方法的交匯點處設(shè)計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結(jié)合點，又是數(shù)學知識與數(shù)學方法的交匯點，因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識的同時，將不等式的重點知識以及其他知識有機結(jié)合，進行綜合考查，強調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點。
2022年高三數(shù)學第一輪復(fù)習單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版
