2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.3二項(xiàng)式定理教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.3二項(xiàng)式定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 【例1】 已知的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列. (1)求證:展開式中沒有常數(shù)項(xiàng); (2)求展開式中所有的有理項(xiàng). 【解析】由題意得2C·=1+C·()2, 即n2-9n+8=0,所以n=8,n=1(舍去). 所以Tr+1=·()· =(-)r··· =(-1)r··(0≤r≤8,r∈Z). (1)若Tr+1是常數(shù)項(xiàng),則=0,即16-3r=0, 因?yàn)閞∈Z,這不可能,所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng). (2)若Tr+1是有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù),

2、 又0≤r≤8,r∈Z,所以 r=0,4,8, 即展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng),分別是T1=x4,T5= x,T9= x-2. 【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外,還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì); (2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng),如求某一項(xiàng),含x某次冪的項(xiàng),常數(shù)項(xiàng),有理項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)等,一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程,在求得n或r后,再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系); (3) 注意區(qū)分展開式“第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r+1項(xiàng)的系數(shù)”. 【變式訓(xùn)練1】若(x+)n的展開式的前3項(xiàng)系數(shù)和為

3、129,則這個展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng),一次項(xiàng)?如果有,求出該項(xiàng),如果沒有,請說明理由. 【解析】由題知C+C·2+C·22=129, 所以n=8,所以通項(xiàng)為Tr+1=C(x)8-r =, 故r=6時,T7=26Cx=1 792x, 所以不存在常數(shù)項(xiàng),而存在一次項(xiàng),為1 792x. 題型二 運(yùn)用賦值法求值 【例2】(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=29-n,則n=  ; (2)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan

4、=  . 【解析】(1)易知an=1,令x=0得a0=n,所以a0+a1+…+an=30. 又令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30, 即2n+1-2=30,所以n=4. (2)由二項(xiàng)式定理得, a1=-C=-n,a2=C=, 代入已知得-5n+n(n-1)=0,所以n=6, 令x=-1得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6, 即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64. 【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu). 【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+

5、a8x8.求a0+a2+a4+a6+a8的值. 【解析】令f(x)=(3x-1)8, 因?yàn)閒(1)=a0+a1+a2+…+a8=28, f(-1)=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=48, 所以a0+a2+a4+a6+a8==27×(1+28). 題型三 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用 【例3】求證:4×6n+5n+1-9能被20整除. 【解析】4×6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+C5n-2+…+C)+(4n-1+C4n-2+…+C)],是20的倍數(shù),所以4×6n+5n+1-9能被20整除. 【點(diǎn)

6、撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問題時,首先需注意(a+b)n中,a,b中有一個是除數(shù)的倍數(shù);其次展開式有什么規(guī)律,余項(xiàng)是什么,必須清楚. 【變式訓(xùn)練3】求0.9986的近似值,使誤差小于0.001. 【解析】0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)1+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6. 因?yàn)門3=C(-0.002)2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001, 且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于0.001, 所以從第3項(xiàng)起,以后的項(xiàng)都可以忽略不計. 所以0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988. 總結(jié)提高 1.利用通項(xiàng)公式可求展開式中某些特定項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等),解決這些問題通常采用待定系數(shù)法,運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出待定式,再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫出n、r滿足的條件,求出n和r,再確定所需的項(xiàng); 2.賦值法是解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和、差問題的一個重要手段; 3.利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時,關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形,使得二項(xiàng)展開式的每一項(xiàng)都成為除數(shù)的倍數(shù).對于余數(shù)問題,要注意余數(shù)的取值范圍.

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