2022年高考數學一輪總復習 5.7 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數學一輪總復習 5.7 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos C＝. (1)求sin A的值；(2)求的值. 【解析】(1)由cos C＝得sin C＝. 所以sin A＝＝＝. (2)由(1)知，cos A＝. 所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C ＝－＋＝－. 所以·＝·(＋)＝＋ ＝－1＋1××cos B＝－1－＝－. 【點撥】在解三角形時，要注意靈活應用三角函數公式及正弦定理、余弦定理等有關知識. 【變式訓

2、練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為，則∠C＝　　　. 【解析】S＝＝absin C. 所以sin C＝＝cos C.所以tan C＝1， 又∠C∈(0，π)，所以∠C＝. 題型二　利用正、余弦定理解三角形中的三角函數問題 【例2】設△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內角A、B、C所對的邊長，并且sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B. (1)求角A的值； (2)若＝12，a＝2，求b，c(其中b＜c). 【解析】(1)因為sin2A＝(cos B＋sin B)(cos B－sin B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B

3、＝，所以sin A＝±.又A為銳角，所以A＝. (2)由＝12可得cbcos A＝12.① 由(1)知A＝，所以cb＝24.② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝2及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10. 因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個根. 又b＜c，所以b＝4，c＝6. 【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，特殊角的三角函數值，向量的數量積，利用余弦定理解三角形等有關知識，考查綜合運算求解能力. 【變式訓練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿

4、足(2a－c)cos B＝ bcos C. (1)求角B的大??； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入(2a－c)cos B＝bcos C， 整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A， 在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1， 因為∠B是三角形的內角，所以B＝60°. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac

5、－2accos B， 將b＝，a＋c＝4代入整理，得ac＝3. 故S△ABC＝acsin B＝sin 60°＝. 題型三　正、余弦定理在實際問題中的應用 【例3】(xx陜西模擬)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點.現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達D點需要多長時間？ 【解析】由題意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋

6、30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得＝， 所以DB＝＝ ＝＝＝10(海里). 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900， 所以CD＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時). 所以，救援船到達D點需要1小時. 【點撥】應用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是： (1)根據題意，抽象地構造出三角形； (2)確定實際問題所涉及的數據以及要求解的結論與所構造的三角形的邊與角的對應關系； (3)選用

7、正弦定理或余弦定理或者二者相結合求解； (4)給出結論. 【變式訓練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(包括邊界)有暗礁，現該船繼續(xù)東行，當α與β滿足條件　　　時，該船沒有觸礁危險. 【解析】由題可知，在△ABM中，根據正弦定理得＝，解得BM＝，要使船沒有觸礁危險需要BMsin(90°－β)＝＞n.所以α與β的關系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，船沒有觸礁危險. 總結提高 1.正弦定理、余弦定理體現了三角形中角與邊存在的一種內在聯系，如證明兩內角A＞B與sin A＞sin B是一種等價關系. 2.在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關系轉化，統(tǒng)一轉化為邊的關系或統(tǒng)一轉化為角的關系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根據題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.