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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 17.2 參數(shù)方程教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 參數(shù)方程與普通方程互化
【例1】 把下列參數(shù)方程化成普通方程：
(1) (θ為參數(shù))；
(2) (t為參數(shù)，a，b＞0).
【解析】(1)
所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由題意可得
所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.
【變式訓(xùn)練1】把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2＝2(y＋)，－≤x≤，圖形為一段拋物線弧.
(2)x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.
2、
(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，圖形是一個圓，但是除去點(0,3).
(4)－＝1，圖形是雙曲線.
題型二 根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長
【例2】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲線C的普通方程；
(2)求直線l被曲線C截得的弦長.
【解析】(1)由曲線C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，
化成普通方程為x2－y2＝1.①
(2)方法一：把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程(t為參數(shù)).②
把②代入①得(2＋)2－(t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.
設(shè)其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，
3、t1t2＝－6.
從而弦長為|t1－t2|＝＝＝＝2.
方法二：把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y＝(x－2)，
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
設(shè)l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝，
所以|AB|＝·＝2＝2.
【變式訓(xùn)練2】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos(θ＋)，求直線l被曲線C所截的弦長.
【解析】將方程(t為參數(shù))化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.
將方程ρ＝cos(θ＋)化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.
表
4、示圓心為(，－)，半徑為r＝的圓，
則圓心到直線的距離d＝，弦長＝2＝2＝.
題型三 參數(shù)方程綜合運(yùn)用
【例3】已知曲線C1： (t為參數(shù))，C2： (θ為參數(shù)).
(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值.
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓；
C2是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.
(2)當(dāng)t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin
5、 θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ).
C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|，
從而cos θ＝，sin θ＝－時，d取最小值.
【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝
2cos θ－4sin θ(ρ＞0).
(1)化曲線C1、C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)設(shè)曲線C1與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P(m,0)(m＞0)，經(jīng)過點P作曲線C2的切線l，求切線l的方程.
【解析】(1)曲線C
6、1：＋＝1；曲線C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
曲線C1為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是4，短半軸長是2的橢圓；曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為的圓.
(2)曲線C1：＋＝1與x軸的交點坐標(biāo)為(－4,0)和(4,0)，因為m＞0，所以點P的坐標(biāo)為(4,0).顯然切線l的斜率存在，設(shè)為k，則切線l的方程為y＝k(x－4).
由曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為的圓得＝，
解得k＝，所以切線l的方程為y＝(x－4).
總結(jié)提高
1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過程中，要保持化簡過程的同解變形，避免改變變量x，y的取值范圍而造成錯誤.
2.消除參數(shù)的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段.
3.參數(shù)的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應(yīng)用，要注意合理選參、巧妙消參.
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