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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)與方程教案 理 新人教A版
典例精析
題型一 確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)=x+log2x,問方程f(x)=0在區(qū)間[,4]上有沒有實(shí)根,為什么?
【解析】因?yàn)閒 ()=+log2=-2=-<0,
f(4)=4+log24=4+2=6>0,f()f(4)<0,又f(x)=x+log2x在區(qū)間[,4]是連續(xù)的,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[,4]上有零點(diǎn),即存在c∈[,4],使f(c)=0,
所以方程f(x)=0在區(qū)間[,4]上有實(shí)根.
【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是否在區(qū)間(a,b)內(nèi),只需檢驗(yàn)兩條:①函數(shù)f(x)
2、在區(qū)間(a,b)上是連續(xù)不斷的;②f(a)f(b)<0.
【變式訓(xùn)練1】若x0是函數(shù)f(x)=x+2x-8的一個零點(diǎn),則[x0](表示不超過x0的最大整數(shù))= .
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+2x-8在區(qū)間(-∞,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2)f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上存在唯一的零點(diǎn)x0,所以[x0]=2.
題型二 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)
【例2】判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
(1)f(x)=x2+mx+(m-2);
(2)f(x)=x-4+log2x.
【解析】(1)由Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,得知f(x)=x2+mx+(
3、m-2)>0有兩個不同的零點(diǎn).
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-4+log2x在區(qū)間(0,+∞)上是連續(xù)不間斷的單調(diào)遞增函數(shù),且f(2)f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn).
【點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)有以下兩種方法:
(1)方程f(x)=0的根的個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù);
(2)函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)個數(shù),即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù);
特殊情況下,還可以將方程f(x)=0化為方程g(x)=h(x),然后再看函數(shù)y=g(x)與y=h(x)的交點(diǎn)個數(shù).
【變式訓(xùn)練2】問a為何值時,函數(shù)f(x)=x3-3x+a有三個零點(diǎn),二個零點(diǎn),一個零點(diǎn)?
【解析】
4、f′(x)=3x2-3=0,得x1=1,x2=-1,此時f(x)有極大值f(-1)=2+a,極小值f(1)=-2+a.由圖象(圖略)得知:
當(dāng)-2<a<2時,函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn);
當(dāng)a=-2或a=2時,函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn);
當(dāng)a<-2或a>2時,函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn).
題型三 利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)零點(diǎn)問題
【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2x2-4x+2a.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個相異的零點(diǎn),求a的取值范圍.
【解析】(1)f′(x)=3x2+4x-4.
由f′(x)>0,得x<-2或x>;由f′(x)
5、<0,得-2<x<.
故f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-2)、(,+∞),
f(x)的遞減區(qū)間為(-2,).
(2)由f(x)=a2?x3+2x2-4x-a2+2a=0,
令g(x)=x3+2x2-4x-a2+2a.
所以g′(x)=3x2+4x-4.
由(1)可知,g(x)在(-∞,-2)和(,+∞)上遞增,在(-2,)上遞減,故g(x)在[-3,
-2]和[,2)上為增函數(shù),在[-2,]上為減函數(shù).
關(guān)于x的方程f(x)=a2在[-3,2]上有三個不同的零點(diǎn),則
解得-2<a≤-1或3≤a<4.
【點(diǎn)撥】(1)先求f′(x),由f′(x)=0求出極值點(diǎn),再討論單調(diào)性;
6、(2)利用(1)及函數(shù)f(x)的大致圖形,找到滿足題設(shè)的a的條件.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=+ax2+2bx+c的兩個極值分別為f(x1)和f(x2),若x1和x2分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi),則的取值范圍為( )
A.(-1,-) B.(-∞,)∪(1,+∞)
C.(,1) D.(,2)
【解析】因?yàn)閒′(x)=x2+ax+2b,由題意可知,
畫出a,b滿足的可行域,如圖中的陰影部分(不包括邊界)所示,表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)D(1,2)的連線的斜率,記為k,觀察圖形可知,kCD<k<kBD,而kCD==,kBD==1,所以<<1,故選C.
總結(jié)提高
函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),注意零點(diǎn)不是“點(diǎn)”,并不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn),或者說不是所有的函數(shù)圖象都與x軸有交點(diǎn).二分法是求一般函數(shù)零點(diǎn)的一種通法,但要注意使用二分法的條件.二分法是利用“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想得到零點(diǎn)的近似值,但二分法也存在局限性,一是二分法一次只能求一個零點(diǎn),二是在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)時,未必f(a)f(b)<0成立,三是二分法計算量較大,常要借助計算器完成.