九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章 圓 27.3 圓中的計(jì)算問題 27.3.2 圓錐及其側(cè)面積同步練習(xí) 華東師大版

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1、九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章 圓 27.3 圓中的計(jì)算問題 27.3.2 圓錐及其側(cè)面積同步練習(xí) 華東師大版 知|識|目|標(biāo) 1.經(jīng)歷閱讀、動手實(shí)踐和思考,理解圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,并知道圓錐母線、底面周長與扇形半徑、弧長的關(guān)系. 2.通過閱讀、思考、歸納等過程,能熟練進(jìn)行圓錐的半徑、高、母線等相關(guān)計(jì)算. 3.通過例題學(xué)習(xí)、變式和總結(jié),能夠正確地計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積. 目標(biāo)一 理解圓錐的相關(guān)概念 例1 教材補(bǔ)充例題將一個(gè)圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開鋪平,思考圓錐中的各元素與它的側(cè)面展開圖中的各元素之間的關(guān)系.圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,如圖27-3-4,設(shè)圓錐的母線長為a

2、,底面半徑為r,那么這個(gè)扇形的半徑為________,扇形的弧長為________,因此, 圓錐的側(cè)面積為________,圓錐的全面積為____________. 圖27-3-4 目標(biāo)二 掌握圓錐中半徑、高、母線等有關(guān)計(jì)算 例2 教材例2針對訓(xùn)練 (1)如圖27-3-5,圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為90°的扇形,則該圓錐的底面周長為(  ) 圖27-3-5 A.π B.π C. D. (2)用圓心角為120°,半徑為6 cm的扇形紙片無重疊地卷成一個(gè)圓錐形紙帽(如圖27-3-6所示),

3、則這個(gè)紙帽的高是(  ) 圖27-3-6 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.4 cm (3)若一個(gè)圓錐的底面半徑為6 cm,其側(cè)面展開圖為半圓,則圓錐的母線長為(  ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm 【歸納總結(jié)】圓錐及其側(cè)面展開圖之間轉(zhuǎn)換的“兩個(gè)對應(yīng)”: (1)圓錐的母線與展開后扇形的半徑對應(yīng); (2)展開

4、后扇形的弧長與圓錐底面的周長對應(yīng). 根據(jù)這兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系列方程求解是解決這兩者轉(zhuǎn)換問題的主要方法. 目標(biāo)三 會計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積 例3 教材補(bǔ)充例題 (1)如圖27-3-7,圓錐的底面半徑r為 6 cm,高h(yuǎn)為 8 cm,則圓錐的側(cè)面積為(  ) 圖27-3-7 A. 30π cm2   B.48π cm2 C.60π cm2   D.80π cm2 (2)若圓錐底面的直徑為6 cm,高為4 cm,則它的全面積為__________.(結(jié)果保留π) 【歸納總結(jié)】求圓錐側(cè)面積的“三

5、個(gè)公式”: (1)已知圓錐的側(cè)面展開扇形的圓心角n°和母線長r,一般用S側(cè)=. (2)已知圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長l和母線長r,一般用S側(cè)=lr. (3)已知圓錐的底面半徑r和母線長l,一般用S側(cè)=πrl. 例4 教材補(bǔ)充例題 如圖27-3-8所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13 cm,BC=5 cm,求以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積. 圖27-3-8 【歸納總結(jié)】計(jì)算圓錐全面積的“四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)”: (1)分析清楚幾何體表面的構(gòu)成. (2)弄清圓錐與其側(cè)面展開圖——扇形各元素之間的對應(yīng)關(guān)系. (3)圓錐的母線l

6、,底面半徑r和圓錐的高h(yuǎn)之間的關(guān)系為l2=r2+h2. (4)圓錐的全面積等于其側(cè)面積與底面積的和. 知識點(diǎn)一 圓錐的相關(guān)概念 (1)圓錐的母線:我們把圓錐底面________任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線,如圖27-3-9中的a. 圖27-3-9 (2)圓錐的高:連結(jié)頂點(diǎn)與底面________的線段叫做圓錐的高,如圖27-3-9中的h. [點(diǎn)撥] (1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形;(2)扇形的半徑是圓錐的母線;(3)扇形的弧長是圓錐的底面周長. 知識點(diǎn)二 圓錐的側(cè)面積和全面積 (1)圓錐的側(cè)面展開圖如圖27-3-10. 沿著圓錐的母線,把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開,

7、得到一個(gè)________,這個(gè)扇形的弧長等于圓錐________的周長,而扇形的半徑等于圓錐母線的長. (2)圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長,半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積,而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與底面積的和. 圖27-3-10 計(jì)算公式:S側(cè)=a·2πr=πra(其中r為圓錐底面的半徑,a為圓錐的母線長). 圓錐的全面積=側(cè)面積+底面積, 計(jì)算公式:S全=S側(cè)+S底=πra+πr2=πr(a+r)(其中r為圓錐底面的半徑,a為圓錐的母線長). 已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形,底面積為15 cm2,求圓錐的側(cè)面積S. 解:設(shè)圓錐底面的半徑為r

8、 cm,則πr2=15, ∴r2=. ∵圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形, ∴S==π×=7.5(cm2). 上述解答過程正確嗎?如果不正確,請寫出正確的解答過程. 教師詳解詳析 【目標(biāo)突破】 例1 [答案] a 2πr πra πra+πr2 例2 [解析] (1)B 根據(jù)題意可知:扇形的弧長為=,∴圓錐的底面周長是. (2)C 設(shè)圓錐形紙帽的底面半徑為r cm,則2πr=,解得r=2.設(shè)圓錐形紙帽的高為h cm,由h2+r2=62,得h2+22=62,解得h=4 . (3)B 設(shè)圓錐的母線長為l cm,則πl(wèi)=2π×6,解得l=12. 例3 [答案] (1)C

9、 (2)24π cm2 [解析] (1)∵r=6 cm,h=8 cm, ∴l(xiāng)===10(cm), ∴圓錐的側(cè)面積為πrl=π×6×10=60π(cm2). 故選C. (2)如圖,AO=4 cm,BC=6 cm,∴BO=3 cm.在Rt△AOB中,AB==5 cm,運(yùn)用圓錐的全面積公式得S全=π×5×3+π×32=24π(cm2). 例4 [解析] 以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體,因此求全面積就是求圓錐的側(cè)面積之和. 解: 如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D. ∵△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,AB=13 cm,B

10、C=5 cm, ∴由勾股定理得AC=12 cm, ∴CD===(cm), ∴以D為圓心,以CD長為半徑的圓的周長為2π×=(cm), ∴S全=××5+××12=(cm2). 即以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積為 cm2. 備選目標(biāo) 圓錐中的最短路徑問題 例 如圖①,圓錐的底面半徑為1,母線長為6,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一圈再回到點(diǎn)B,它爬行的最短路程是多少? 解:如圖②,設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形ABB′,∠BAB′=n°,連結(jié)BB′,BB′即為螞蟻爬行的最短路線. ∵圓錐底面半徑為1, ∴l(xiāng)=2π. 又∵l=, ∴2π=,解得n=60, ∴△ABB′是等邊三角形, ∴BB′=AB=6. 即螞蟻爬行的最短路程為6. 【總結(jié)反思】 [小結(jié)] 知識點(diǎn)一 (1)圓周上 (2)圓心 知識點(diǎn)二 (1)扇形 底面 [反思] 不正確. 正解:設(shè)圓錐底面的半徑為r cm,扇形的半徑為R cm,則πr2=15, ∴r=. ∵圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形, ∴2πr=πR, ∴R=2r=2, ∴S=πrR=π××2=30(cm2).

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