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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題 文 蘇教版
一、 填空題：
1.設(shè)全集為，集合，集合，則(?)=________▲___
2.命題“對(duì)，都有”的否定為_(kāi)_____▲____，使得
3.已知是第二象限角，且則_____________
4.等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)和，則公比的值為 或1 ．
5.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)__▲___1
6.直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于 ．
7.已知是等差數(shù)列，，，則過(guò)點(diǎn)的直線的斜率
▲ .
8. 過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則此切線方程為_(kāi)_______▲_________
9.設(shè)為正實(shí)數(shù)
2、，且，則的最小值是 ▲ .
10.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____▲________
11. 已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為，則 ．
12.設(shè)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間，，則 ____▲_____
13.已知點(diǎn)和圓，是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則 (為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍是 . [2,22]
14. 如果直線和函數(shù)的圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍 ▲ .
二、解答題：
15. 設(shè)集合，.
（1）當(dāng)1時(shí)，求集合；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
解
3、：（1） （2）
15. 設(shè)函數(shù).
(1). 已知，求函數(shù)的值域；
(2). 設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，求.
解：（1）
＝＝
所以函數(shù)f(x)的最大值是，最小正周期為。
（2）==, 所以,
又C為ABC的內(nèi)角 所以,
又因?yàn)樵贏BC 中, cosB=, 所以 , 所以
17.設(shè)公比大于零的等比數(shù)列 的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（Ⅰ）由， 得
又（
4、，
則得
所以，當(dāng)時(shí)也滿足．
（Ⅱ），所以，使數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
則對(duì)都成立，
即，
，
當(dāng)或時(shí)，所以．
18.已知水渠在過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過(guò)水濕周越小，其流量越大．現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)，如圖：
圖①的過(guò)水?dāng)嗝鏋榈妊^(guò)水濕周．圖②的過(guò)水?dāng)嗝鏋榈妊菪芜^(guò)水濕周．
若△與梯形的面積都為.
圖① 圖②
（1）分別求和的最小值；
（2）為使流量最大，給出最佳設(shè)計(jì)方案．
（1）在圖①中，設(shè)∠，AB＝BC＝a．
則，由于S、a、皆為正值，
可解得．當(dāng)且僅當(dāng)，即＝90°時(shí)
5、取等號(hào)．
所以，的最小值為．
在圖②中，設(shè)AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°
可求得AD＝m＋n，，
解得．
，
的最小值為．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
（2）由于，則的最小值小于的最小值．
所以在方案②中當(dāng)取得最小值時(shí)的設(shè)計(jì)為最佳方案
19.已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若，求正整數(shù)的值；
（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的值，若不存在，說(shuō)明理由.
6、
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）g （x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
可得g （x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，
故g （x）有極大值為g （1）＝0，無(wú)極小值．
（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．
7、當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）＝
①當(dāng)x≥a時(shí)，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（a，＋∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h′（x）＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)h′（x）＞0，當(dāng)1≤x＜a時(shí)h′（x）≤0，
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞）
8、，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）．
（3）不等式（x2－1）f （x）≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，
即（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x2－1＜0；lnx＜0，則（x2－1）lnx＞0；
當(dāng)x≥1時(shí)，x2－1≥0；lnx≥0，則（x2－1）lnx≥0．
因此當(dāng)x＞0時(shí)，（x2－1）lnx≥0恒成立．
又當(dāng)k≤0時(shí)，k（x－1）2≤0，故當(dāng)k≤0時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．
下面討論k＞0的情形．
當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，（
9、x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．
設(shè)h（x）＝lnx－（ x＞0且x≠1），h′（x）＝－＝．
記△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．
①當(dāng)△≤0，即0＜k≤2時(shí)，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上單調(diào)遞增．
于是當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
又當(dāng)x＝1時(shí)，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．
因此當(dāng)0＜k
10、≤2時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立．
②當(dāng)△＞0，即k＞2時(shí)，設(shè)x2＋2（1－k）x＋1＝0的兩個(gè)不等實(shí)根分別為x1，x2（x1＜x2）．
函數(shù)φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1圖像的對(duì)稱軸為x＝k－1＞1，
又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．
故當(dāng)x∈（1，k－1）時(shí)，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，從而h（x）在（1，k－1）在單調(diào)遞減；
而當(dāng)x∈（1，k－1）時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，此時(shí)x2－1＞0，于是（x2－1） h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，
因此當(dāng)k＞2時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x不恒成立．
綜上，當(dāng)（x2－1）f （x）≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立時(shí)，k≤2，即k的取值范圍是（－∞，2]．
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