2022年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《直線和圓圓錐曲線》

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1、2022年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《直線和圓，圓錐曲線》 一．直線與圓 1,兩點(diǎn)間的距離公式:設(shè),則; 2,線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè),點(diǎn)分的比為,則 , 3,直線方程的各種形式 (1),點(diǎn)斜式:; (2),斜截式:; (3),兩點(diǎn)式: (4),截距式: ;(5),一般式:不同為零); (6)參數(shù)方程:為參數(shù),為傾斜角,表示點(diǎn)與之間的距離) 4,兩直線的位置關(guān)系 設(shè)(或).則 (1),且(或且); (2),(或). 5,兩直線的到角公式與夾角公式: (1),到角公式:到的到角為,則,(); (2),夾角公式:與的夾角為,則,()

2、. 6,點(diǎn)到直線的距離:. 7,圓的方程 (1),標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中為圓心坐標(biāo),R為圓半徑; (2),一般方程:,其中,圓心為, 半徑為. (3),參數(shù)方程: ,其中圓心為,半徑為R. 二．圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的 和等于常數(shù) 與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的 差的絕對(duì)值等于常數(shù) 與一個(gè)定點(diǎn)和一條定 直線的距離相等 標(biāo)準(zhǔn)方程 (或), (或) (或) 參數(shù)方程 (或) (或) (或) 焦點(diǎn) 或 或 或 正數(shù)a,b,c, p的關(guān)系 () () 離心率

3、 準(zhǔn)線 (或) (或) (或) 漸近線 (或) 焦半徑 (或 ) (, ), (點(diǎn)在左或下支) (或) 統(tǒng)一定義 到定點(diǎn)的距離與到定 直線的距離之比等于定值 的點(diǎn)的集合 ,(注:焦點(diǎn)要與對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線配對(duì)使用) 三．解題思想與方法導(dǎo)引. 1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想. 3,分類討論思想. 4,參數(shù)法. 5,整體處理 例題講解 1．在平面直角坐標(biāo)系中,方程為相異正數(shù)),所表示的曲線是（ ） 2．平面上整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))到直線的距離中的最小值是（ ） A,

4、 B, C, D, 3．過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線,若此直線與拋物線交于A,B 兩點(diǎn),弦AB的中垂線與軸交于P點(diǎn),則線段PF的長等于（ ） A, B, C, D, 4．若橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離等于它到右焦點(diǎn)距離的2倍,則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A, B, C, D, 5．過橢圓中心的弦AB,是右焦點(diǎn),則的最大面積為（ ） A,

5、 B, C, D, 6．已知P為雙曲線上的任意一點(diǎn),為焦點(diǎn),若,則（ ） A, B, C, D, 7．給定點(diǎn),已知直線與線段PQ(包括P,Q在內(nèi))有公共點(diǎn), 則的取值范圍是 . 8．過定點(diǎn)作直線交軸于Q點(diǎn),過Q點(diǎn)作交軸于T點(diǎn), 延長TQ至P點(diǎn),使,則P點(diǎn)的軌跡方程是 . 9．已知橢圓與直線交于M,N兩點(diǎn),且,(為 原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率時(shí),橢圓長軸

6、長的取值范圍是 . 10．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),M是橢圓上一點(diǎn),M到軸的距離為 ,且是和的等比中項(xiàng),則的值等于 . 11．已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右分支上,是 等邊三角形,則的面積等于 . 12．若橢圓()和雙曲線有相同的焦點(diǎn) ,P為兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的值為 . 13．設(shè)橢圓有一個(gè)內(nèi)接,射線OP與軸正向成角,直線AP,BP的斜率 適合條件. (1),求證:過A,B的直線的斜率是定值; (2),求

7、面積的最大值. 14．已知為常數(shù)且),動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在射線OA,OB上使得 的面積恒為36.設(shè)的重心為G,點(diǎn)M在射線OG上,且滿足. (1),求的最小值; (2),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 15．過拋物線(為不等于2的素?cái)?shù))的焦點(diǎn)F,作與軸不垂直的直線交拋物線 于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線交MN于P點(diǎn),交軸于Q點(diǎn). (1),求PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程; (2),證明:L上有無窮多個(gè)整點(diǎn),但L上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù). 課后練習(xí) 1．已知點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積是 （A） （B） （C）

8、 （D） 2．平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離中的最小值是 （A） （B） （C） （D） 3．若實(shí)數(shù)x, y滿足(x + 5)2+(y – 12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4．直線橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，該圓上點(diǎn)P，使得⊿PAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有 (A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè) 5．設(shè)a，b∈R，ab≠0，那

9、么直線ax－y＋b＝0和曲線bx2＋ay2＝ab的圖形是 y y y y x x x x A B C D 6．過拋物線y2＝8(x＋2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn)，則線段PF的長等于 A． B． C． D． 7．方程表示的曲線是 A. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 C. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D. 焦點(diǎn)在

10、y軸上的雙曲線 8．在橢圓中，記左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，短軸上方的端點(diǎn)為B。若該橢圓的離心率是，則= 。 9．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，則三角形PF1F2的面積等于______________． 10．在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)M（－1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為___________________。 11．若正方形ABCD的一條邊在直線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.則該正方形面積的最小值為　　 　　. 12．已知：和：。試問：當(dāng)且

11、僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，對(duì)任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)、與外切、與內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。 13． 設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。 （1）實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）； （2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0

12、條直線折痕，當(dāng)A/取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合． 16．（04，14）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)。 （Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程； （Ⅱ）若直線L經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。 17．過拋物線上的一點(diǎn)A（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，交軸于B.點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足;點(diǎn)F在線段BC上，滿足，且，線段CD與EF交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的

13、軌跡方程. 課后練習(xí)答案 1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90o 9. 10.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三邊之長分別為2，4，2，而22＋42＝(2)2，可見△PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長為2和4，故△PFlF2的面積＝4． 11. 解：

14、經(jīng)過M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設(shè)圓心為 S（a，3－a），則圓S的方程為： 對(duì)于定長的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，經(jīng)過M，N，P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=－7。 即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。 12.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、，則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得 令正方形邊長為則① 在上任取一點(diǎn)（6，,5）

15、，它到直線的距離為②. ①、②聯(lián)立解得或 13.利用極坐標(biāo)解決：以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為------（1） 顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A，則B 代入（1）式相加： 由于該菱形必與單位圓相切，故原點(diǎn)到AB的距離為1， ∴，從而，∴ 14. 解：(1)由 消去y得： ① 設(shè)，問題(1)化為方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需討論以下三種情況： 1°△＝0得：，此時(shí)xp＝－a2，當(dāng)且僅當(dāng)－a＜－a2＜a，即0＜a＜1時(shí)適合； 2°f (a)f (－a)＜0，當(dāng)且僅當(dāng)－a＜m＜a

16、； 3°f (－a)＝0得m＝a，此時(shí)xp＝a－2a2，當(dāng)且僅當(dāng)－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1時(shí)適合． f (a)＝0得m＝－a，此時(shí)xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，從而m≠－a． 綜上可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，或－a＜m≤a； 當(dāng)a≥1時(shí)，－a＜m＜a． (2)△OAP的面積 ∵0＜a＜，故－a＜m≤a時(shí)，0＜＜a， 由唯一性得 顯然當(dāng)m＝a時(shí)，xp取值最小．由于xp＞0，從而yp＝取值最大，此時(shí)，∴． 當(dāng)時(shí)，xp＝－a2，yp＝，此時(shí)． 下面比較與的大小：

17、 令，得 故當(dāng)0＜a≤時(shí)，≤，此時(shí)． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)． 15.解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為． 顯然，故 由于，所以 從而，消去，注意到得： 由解得：或． 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，均滿足是題意．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是或． 16.解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有A(a，0)．設(shè)折疊時(shí)，⊙O上點(diǎn)A/()與點(diǎn)A重合，而折痕為直線MN，則 MN為線段AA/的中垂線．設(shè)P(x，y)為MN上任一點(diǎn)，則｜PA/｜＝｜PA｜ 5分 　　∴ 　　即 10分 ∴ 　　可得： 　　∴≤1　(此不等式也可直接由柯西不

18、等式得到) 15分 　　平方后可化為　≥1， 　　即所求點(diǎn)的集合為橢圓圓＝1外(含邊界)的部分． 20分 17. 解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，，即，化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為 圓S： （Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分 圓S： ① 與雙曲線T： ② 因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。 的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L

19、的方程為 ③ （i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分 （ii）當(dāng)時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況： 情況1：直線L經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。 故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。 情況2：直線L不經(jīng)過點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即

20、方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡得 該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得。 綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。 18.解一：過拋物線上點(diǎn)A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點(diǎn). 設(shè)、、、，則由知， 得 ∴EF所在直線方程為： 化簡得…① 當(dāng)時(shí)，直線CD的方程為：…② 聯(lián)立①、②解得，消去，得P點(diǎn)軌跡方程為： 當(dāng)時(shí)，EF方程為：方程為：，聯(lián)立解得也在P點(diǎn)軌跡上.因C與A不能重合，∴ ∴所求軌跡方程為 解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點(diǎn). 令則因?yàn)镃D為的中線， 而是的重

21、心. 設(shè)因點(diǎn)C異于A，則故重心P的坐標(biāo)為 消去得 故所求軌跡方程為 例題答案： 1,D 令,得,令得,由此可見,曲線必過四個(gè)點(diǎn):, ,,,從結(jié)構(gòu)特征看,方程表示的曲線是以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形,易知 它是非正方形的菱形. 2,B ,當(dāng)(可取)時(shí), (其中為平面上任意整點(diǎn)). 3,A 此拋物線的焦點(diǎn)與原點(diǎn)重合,得直線AB的方程為,因此A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo) 滿足方程:.由此求得弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),進(jìn)而 求得其中垂線方程為,令,得P點(diǎn)的橫坐標(biāo), 即PF=. 4,C 設(shè),又橢圓的右準(zhǔn)線為,而,且,

22、得,又,得,代入橢圓方程得. 5,A (1)當(dāng)軸時(shí),; (2)當(dāng)AB與軸不垂直時(shí),設(shè)AB的方程為,由消去得. 設(shè),,則,, . 6,A 由 ,得,. 7, 設(shè)線段PQ上任意一點(diǎn)且令,則 =,,故,, 由得,解得. 8, 設(shè)直線的方程為,則Q點(diǎn)坐標(biāo)為,直線QT的方程為 ,所以T點(diǎn)坐標(biāo)為,從而P點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)P的坐標(biāo)為 ,則,消去可得P點(diǎn)軌跡方程為. 9, 由,可得 ① 由得,即,將, 代入得,即,因?yàn)?得 ,得,有,解得. 10, 延長NM與橢圓的右準(zhǔn)線:相交于D,設(shè),則 ,因,得,, 又,得,故. 11, 設(shè)點(diǎn)C在軸上方,由是等邊三角

23、形得直線AB的斜率,又直線 過點(diǎn),故方程為,代入雙曲線方程,得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,同理可得C的坐標(biāo)為,所以的面積為. 12, 不妨設(shè)P為第一象限的一點(diǎn),則,,.得 ,,于是. 13,:(1)證明:易知直線OP的方程為,將此方程代入,可求得交點(diǎn) P(1, .由題意可設(shè)直線PA,PB的方程分別為和, 分別與橢圓方程聯(lián)立,可求得A,B的橫坐標(biāo)分別為,. 從而, 所以(定值). (2)不妨設(shè)直線AB的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,并消去得+ ,有 = 點(diǎn)P到戰(zhàn)線AB的距離,所以= ,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí), . 14,解(1),以O(shè)為原點(diǎn),的平分

24、線為軸建立直角坐標(biāo)系,則可設(shè) .于是的重心的坐標(biāo)為 , = . 又已知得,于是 ,且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故. (2),設(shè),則由得,,=b) ,得,,代入,并整理得 ,這就是所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 15,解:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)的直線方程為. 由得,設(shè)M,N的橫坐標(biāo)分別為 則,得,, 而,故PQ的斜率為,PQ的方程為. 代入得.設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo),則 ,因此, 故PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程為. (2),顯然對(duì)任意非零整數(shù),點(diǎn)都是L上的整點(diǎn),故L上有無窮多個(gè)整點(diǎn). 反設(shè)L上有一個(gè)整點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離為整數(shù)m,不妨設(shè),則 ,因?yàn)槭瞧嫠財(cái)?shù),于是,從可推出,再由可推出 ,令,則有, 由,得,于是,即 ,于是,, 得,故,有,但L上的點(diǎn)滿足,矛盾! 因此,L上任意點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不為整數(shù).