2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 4 角平分線教案 （新版）北師大版

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1、2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 4 角平分線教案 （新版）北師大版 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理． 2．經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步提高學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理． 【教學(xué)難點(diǎn)】 掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理并進(jìn)行證明． 教學(xué)過(guò)程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問(wèn)題 【5 min閱讀】 閱讀教材P28～P29的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等． 2．角平分線定理的逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部

2、，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上． 3．觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　C　) A．OE是∠AOB的平分線 B．OC＝OD C．點(diǎn)C、D到OE的距離不相等 D．∠AOE＝∠BOE 4．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，則點(diǎn)D到BC的距離為2 cm. 環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問(wèn)題 活動(dòng)1　小組討論(師生互學(xué)) 【例1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長(zhǎng)是(　　) A．6　 B．5　　 C．4　 D．3 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)角平分線上的點(diǎn)

3、有什么特征？怎樣將求AC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為與△ABC的面積有關(guān)的式子？ 【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3. 【答案】D 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長(zhǎng)度是常用的方法． 【例2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF.求證： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB. 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)(1)已知AD是∠BAC的平

4、分線，結(jié)合圖形，考慮證Rt△DCF≌Rt△DEB，從而得到CF＝EB；(2)怎樣證明不在同一直線上的線段和(差)關(guān)系？(轉(zhuǎn)化法)→怎樣將AB轉(zhuǎn)化為與AF、EB有關(guān)？(利用全等證相關(guān)線段相等) 【證明】(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵ ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，∴CF＝EB. (2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，∵ ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 【互動(dòng)總結(jié)

5、】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)一定要注意是兩條“垂線段”相等． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．如圖所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，則點(diǎn)D到AB的距離是(　D　) A．9　 B．8　　 C．7　 D．6 2．如圖所示，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于(　C　) A．10　 B．7　　 C．5　 D．4 3．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D，且DC

6、∶DB＝3∶5，則點(diǎn)D到AB的距離是15. 4．如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線． 證明：∵DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線． 活動(dòng)3　拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué)) 【例3】如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D.求證：AD是∠BAC的平分線． 【互動(dòng)探索】分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，D

7、F⊥BC，DG⊥AC，垂足分別為E、F、G，然后根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可知DE＝DG，從而根據(jù)“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上”證得結(jié)論． 【證明】如題圖，分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分別為E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))遇到角平分線的問(wèn)題時(shí)，往往過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問(wèn)題． 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 角平分線 練

8、習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！ 第2課時(shí)　三角形三條內(nèi)角的平分線 教學(xué)目標(biāo) 一、基本目標(biāo) 1．在角平分線的基礎(chǔ)上歸納出三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì)． 2．能夠運(yùn)用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題． 3．提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力． 二、重難點(diǎn)目標(biāo) 【教學(xué)重點(diǎn)】 在角平分線的基礎(chǔ)上歸納出三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì)． 【教學(xué)難點(diǎn)】 能夠運(yùn)用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題． 教學(xué)過(guò)程 環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問(wèn)題 【5 min閱讀】 閱讀教材P30～P31的內(nèi)容，完成下面練習(xí)． 【3 min反饋】 1．通過(guò)閱讀理解教

9、材P30例2得出：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等． 2．如圖所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，則PC與PD的大小關(guān)系是(　B　) A．PC>PD　 B．PC＝PD C．PC

10、 【例題】如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)塔臺(tái)，若要求它到三條公路的距離都相等，試問(wèn)： (1)可選擇的地點(diǎn)有幾處？ (2)你能畫(huà)出塔臺(tái)的位置嗎？ 【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)到兩條相交直線的距離相等的點(diǎn)怎樣確定？(角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)→三條直線呢？(角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等) 【解答】(1)如圖，P1、P2、P3、P4為可選擇的地點(diǎn)，共4處． (2)能．如上圖，根據(jù)角平分線性質(zhì)作三直線相交的角平分線，平分線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)． 【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，反過(guò)來(lái)，到三角形三邊

11、距離相等的點(diǎn)，即為三角形內(nèi)角平分線或兩外角平分線的交點(diǎn)，這一結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到． 活動(dòng)2　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué)) 1．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為40,50,60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　D　) A．1∶2∶3　 B．2∶3∶4　　 C．3∶4∶5　 D．4∶5∶6 2．在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)為(　B　) A．110°　 B．125°　　 C．130°　 D．140° 3．如圖所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠

12、BAC交BC于點(diǎn)D.若BC＝8，BD＝5，則點(diǎn)D到AB的距離是3. 4．如圖所示，P是AD上一點(diǎn)，在△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說(shuō)明理由． 解：AD平分∠BAC.理由如下：∵點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上，∴∠1＝∠2.∵PE∥AB，∴∠1＝∠3.同理，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC. 環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)) 三邊垂直平分線 三條角平分線 三 角 形 銳角三角形 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 鈍角三角形 交于三角形外一點(diǎn) 直角三角形 交于斜邊的中點(diǎn) 交點(diǎn)性質(zhì) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 到三角形三條邊的距離相等 練習(xí)設(shè)計(jì) 請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！