2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (二)教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (二)教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 【例1】已知函數(shù)f(x)=x2+ln x. (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域; (2)求證:x>1時(shí),f(x)<x3. 【解析】(1)由已知f′(x)=x+, 當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f′(x)>0,因此f(x)在 [1,e]上為增函數(shù). 故f(x)max=f(e)=+1,f(x)min=f(1)=, 因而f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域?yàn)閇,+1]. (2)證明:令F(x)=f(x)-x3=-x3+x2+ln x,則F′(x)=x+-2x2=,

2、 因?yàn)閤>1,所以F′(x)<0, 故F(x)在(1,+∞)上為減函數(shù). 又F(1)=-<0, 故x>1時(shí),F(xiàn)(x)<0恒成立, 即f(x)<x3. 【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明,構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法. 【變式訓(xùn)練1】已知對任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí)(  ) A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0 【解析】選B. 題型二 優(yōu)

3、化問題 【例2】 (xx湖南模擬)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個橋墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算,一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元. (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)當(dāng)m=640米時(shí),需新建多少個橋墩才能使y最小? 【解析】(1)設(shè)需新建n個橋墩,則(n+1)x=m, 即n=-1. 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x =256(-1)+(2+)x =+m+2m-256. (2)由(1

4、)知f′(x)=-+mx=(x-512). 令f′(x)=0,得x=512.所以x=64. 當(dāng)0<x<64時(shí),f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)64<x<640時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù). 所以f(x)在x=64處取得最小值. 此時(shí)n=-1=-1=9. 故需新建9個橋墩才能使y最小. 【變式訓(xùn)練2】(xx上海質(zhì)檢)如圖所示,為了制作一個圓柱形燈籠,先要制作4個全等的矩形骨架,總計(jì)耗用9.6米鐵絲,骨架把圓柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí),S取得最大值?并求出該最大

5、值(結(jié)果精確到0.01平方米). 【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r,高為h, 則由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2. S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6. 所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6). 令f(r)=2.4πr-3πr2,則f′(r)=2.4π-6πr. 令f′(r)=0得r=0.4.所以當(dāng)0<r<0.4,f′(r)>0; 當(dāng)0.4<r<0.6,f′(r)<0. 所以r=0.4時(shí)S最大,Smax=1.51. 題型三 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題 【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)=x3-mx2+(m2-4)x,x∈R. (1)當(dāng)m

6、=3時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程; (2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點(diǎn)0,α,β,且α<β.若對任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x3-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5. 因?yàn)閒(2)=,f′(2)=-3,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,),切線的斜率為-3, 則所求的切線方程為y-=-3(x-2),即9x+3y-20=0. (2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4). 令f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2. 當(dāng)x∈(-∞,m-2)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(-∞

7、,m-2)上是增函數(shù); 當(dāng)x∈(m-2,m+2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是減函數(shù); 當(dāng)x∈(m+2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個互不相同的零點(diǎn)0,α,β,且f(x)=x[x2-3mx+3(m2-4)], 所以 解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4). 當(dāng)m∈(-4,-2)時(shí),m-2<m+2<0, 所以α<m-2<β<m+2<0. 此時(shí)f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不合,故舍去. 當(dāng)m∈(-2,2)時(shí),m-2<0<m+2, 所以α<m-2<0<m+2<β. 因?yàn)閷θ?/p>

8、意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立, 所以α<1<β. 所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值. 因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí),函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值, 所以m+2=1,即m=-1. 當(dāng)m∈(2,4)時(shí),0<m-2<m+2, 所以0<m-2<α<m+2<β. 因?yàn)閷θ我獾膞∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立, 所以α<1<β. 所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值. 因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí),函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值, 所以m+2=1,即m=-1(舍去). 綜上可知,m的取值范圍是{-1}. 【變式訓(xùn)練3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x. (1)討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性; (2)若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[,e]上有兩個不等解,求a的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)a>0時(shí),F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(,+∞),遞減區(qū)間為(0,); 當(dāng)a≤0時(shí),F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞). (2)[ln 2,). 總結(jié)提高 在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問題時(shí),首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.

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