2022年高考數(shù)學一輪總復習 第七章 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)練習

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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 第七章 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)練習 1．(xx·南昌模擬)設(shè)a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β(　　 ) A．不存在　　　　　　　 B．有且只有一對 C．有且只有兩對 D．有無數(shù)對 [解析]　過直線a的平面α有無數(shù)個，當平面α與直線b平行時，兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α，當平面α與b相交時，過交點作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α.故選D. [答案]　D 2．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(　　 ) A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直 B．β內(nèi)不一定存在直線與m

2、平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 [解析]　如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當α⊥β時才存在． [答案]　C 3．已知m是平面α的一條斜線，點A?α，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能出現(xiàn)的是(　　 ) A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α [解析]　設(shè)m在平面α內(nèi)的射影為n，當l⊥n且與α無公共點時，l⊥m，l∥α. [答案]　C 4．如圖，在正四面

3、體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是(　　 ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC [解析]　因BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結(jié)論B，C均成立；點P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，不在中位線DE上，故結(jié)論D不成立． [答案]　D 5．(xx·山東高考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的

4、大小為(　　 ) A. B. C. D. [解析]　取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因為底面邊長為，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的體積為×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即 ∠PAO＝. [答案]　B 6．(xx·湖州模擬)在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的余弦值為(　　) A. B. C. D. [解析]　在菱形ABCD中連接BD交AC于O點，則AC⊥BD，在折起后的圖中，由四邊形AB

5、CD為菱形且邊長為1，則DO＝OB＝，由于DO⊥AC，BO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos∠DOB＝＝. [答案]　A 二、填空題 7．已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個不同的平面，有下列四個命題： ①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ； ②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α； ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，l?α，則l⊥α. 其中正確命題的序號是________． [解析]　①在正方體A1B1C1D1—ABC

6、D中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CD∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯誤．②因為a、b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．③由兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知③正確．④當a∥b時，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不可得出l⊥α，④錯誤． [答案]?、冖? 8．(xx·青島

7、模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) [解析]　由定理可知，BD⊥PC. 所以當DM⊥PC時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. [答案]　DM⊥PC(答案不唯一) 9．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB； ③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號是________．

8、 [解析]　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確． [答案]?、佗冖? 三、解答題 10．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點． (1)求證：AB1⊥BF； (2)求證：AE⊥BF； (3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由． (1)[證明]　連接A1B

9、，則AB1⊥A1B， 又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1， ∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF. (2)[證明]　取AD中點G，連接FG，BG，則FG⊥AE， 又∵△BAG≌△ADE， ∴∠ABG＝∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G， ∴AE⊥平面BFG. 又BF?平面BFG，∴AE⊥BF. (3)[解]　存在．取CC1中點P，即為所求．連接EP，AP，C1D， ∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E， ∴BF⊥平面AEP.

10、 11．(xx·河南洛陽統(tǒng)考)在如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2. (1)求證C1B⊥平面ABC； (2)設(shè)E是CC1的中點，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大?。? (1)證明　∵BC＝1，∠BCC1＝，CC1＝2，∴BC1＝，BC2＋BC＝CC，∴BC1⊥BC.∵AB⊥側(cè)面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴BC1⊥AB.∵BC∩AB＝B，∴C1B⊥平面ABC. (2)解　由AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB?平面ABC1，得平面BCC1B1⊥平面ABC1，過E作BC1的垂線交BC1于F，則EF⊥平面

11、ABC1.連接AF，則∠EAF為所求的角．∵BC⊥BC1，EF⊥BC1，∴BC∥EF.∵E為C1C的中點，∴F為C1B的中點，EF＝.又∵AE＝＝＝，∴sin∠EAF＝＝. 12．(xx·汕頭模擬)已知四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點． (1)求四棱錐PABCD的體積． (2)是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論． (3)若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大?。? [解]　(1)由三視圖可知，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形， 側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. 所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝×12×2＝

12、， 即四棱錐P－ABCD的體積為. (2)不論點E在何位置，都有BD⊥AE. 證明如下：連接AC，因為ABCD是正方形， 所以BD⊥AC. 因為PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD， 所以BD⊥PC. 又因為AC∩PC＝C， 所以BD⊥平面PAC. 因為不論點E在何位置，都有AE?平面PAC. 所以不論點E在何位置，都有BD⊥AE. (3)在平面DAE內(nèi)過點D作DF⊥AE于F，連接BF. 因為AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝， AE＝AE＝， 所以Rt△ADE≌Rt△ABE， 從而△ADF≌△ABF， 所以BF⊥AE. 所以∠DFB為二面角D－AE－B的平面角． 在Rt△ADE中，DF＝＝＝， 所以BF＝. 又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝＝－， 所以∠DFB＝， 即二面角D－AE－B的大小為.