2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 直線方程的一般形式教案

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 直線方程的一般形式教案 一、教學(xué)目標(biāo)   (一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 掌握直線方程的一般形式,能用定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)后求定比. (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過研究直線的一般方程與直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的對(duì)應(yīng)概念;通過對(duì)幾個(gè)典型例題的研究,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、簡(jiǎn)化運(yùn)算的能力. (三)學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對(duì)直線方程的幾種形式的特點(diǎn)的分析,培養(yǎng)學(xué)生看問題一分為二的辯證唯物主義觀點(diǎn).   二、教材分析   1.重點(diǎn):直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限性,只有直線的一般式能表示所有的直線,教學(xué)中要講清直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2、 2.難點(diǎn):與重點(diǎn)相同. 3.疑點(diǎn):直線與二元一次方程是一對(duì)多的關(guān)系.同條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程.   三、活動(dòng)設(shè)計(jì)   分析、啟發(fā)、講練結(jié)合.   四、教學(xué)過程   (一)引入新課 點(diǎn)斜式、斜截式不能表示與x軸垂直的直線;兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線;截距式既不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線,又不能表示過原點(diǎn)的直線.與x軸垂直的直線可表示成x=x0,與x軸平行的直線可表示成y=y0。它們都是二元一次方程. 我們問:直線的方程都可以寫成二元一次方程嗎?反過來,二元一次方程都表示直線嗎? (二)直線方程的一般形式 我們知道,在直角坐標(biāo)系中,每一條直線都有傾

3、斜角α.當(dāng)α≠90°時(shí),直線有斜率,方程可寫成下面的形式: y=kx+b 當(dāng)α=90°時(shí),它的方程可以寫成x=x0的形式. 由于是在坐標(biāo)平面上討論問題,上面兩種情形得到的方程均可以看成是二元一次方程.這樣,對(duì)于每一條直線都可以求得它的一個(gè)二元一次方程,就是說,直線的方程都可以寫成關(guān)于x、y的一次方程. 反過來,對(duì)于x、y的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0.                                      (1) 其中A、B不同時(shí)為零. (1)當(dāng)B≠0時(shí),方程(1)可化為 這里,我們借用了前一課y=kx+b表示直線的結(jié)論,不弄清這一點(diǎn),

4、會(huì)感到上面的論證不知所云. (2)當(dāng)B=0時(shí),由于A、B不同時(shí)為零,必有A≠0,方程(1)可化為 它表示一條與y軸平行的直線. 這樣,我們又有:關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程寫為 Ax+By+C=0 這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式. 引導(dǎo)學(xué)生思考:直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)是什么樣的對(duì)應(yīng)? 直線與二元一次方程是一對(duì)多的,同一條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程. (三)例題 解:直線的點(diǎn)斜式是 化成一般式得 4x+3y-12=0. 把常數(shù)次移到等號(hào)右邊,再把方程兩邊都除以12,就得到截距式 講解這個(gè)例題時(shí),要順便

5、解決好下面幾個(gè)問題:(1)直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程由于給出的點(diǎn)可以是直線上的任意點(diǎn),因此是不唯一的,一般不作為最后結(jié)果保留,須進(jìn)一步化簡(jiǎn);(2)直線方程的一般式也是不唯一的,因?yàn)榉匠痰膬蛇呁艘砸粋€(gè)非零常數(shù)后得到的方程與原方程同解,一般方程可作為最終結(jié)果保留,但須化為各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù);(3)直線方程的斜截式與截距式如果存在的話是唯一的,如無特別要求,可作為最終結(jié)果保留. 例2  把直線l的方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直線l的斜率和在x軸與y軸上的截距,并畫圖. 解:將原方程移項(xiàng),得2y=x+6,兩邊除以2得斜截式: x=-6 根據(jù)直線過點(diǎn)A(-6,0)、B

6、(0,3),在平面內(nèi)作出這兩點(diǎn)連直線就是所要作的圖形(圖1-28). 本例題由學(xué)生完成,老師講清下面的問題:二元一次方程的圖形是直線,一條直線可由其方向和它上面的一點(diǎn)確定,也可由直線上的兩點(diǎn)確定,利用前一點(diǎn)作圖比較麻煩,通常我們是找出直線在兩軸上的截距,然后在兩軸上找出相應(yīng)的點(diǎn)連線. 例3  證明:三點(diǎn)A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一條直線上. 證法一  直線AB的方程是: 化簡(jiǎn)得  y=x+2. 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程,等式成立. ∴A、B、C三點(diǎn)共線. ∴A、B、C三點(diǎn)共線. ∵|AB|+|BC|=|AC|, ∴A、C、C三點(diǎn)共線.

7、 講解本例題可開拓學(xué)生思路,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力. 例4  直線x+2y-10=0與過A(1,3)、  B(5,2)的直線相交于C, 此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程,然后解方程組得到點(diǎn)C的坐標(biāo),再求點(diǎn)C分AB所成的定比,計(jì)算量大了一些.如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿足點(diǎn)C在直線AB上),然后代入已知的直線方程求λ,則計(jì)算量要小得多. 代入x+2y-10=0有: 解之得  λ=-3. (四)課后小結(jié) (1)歸納直線方程的五種形式及其特點(diǎn). (2)例4一般化:求過兩點(diǎn)的直線與已知直線(或由線)的交點(diǎn)分以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段所

8、成定比時(shí),可用定比分點(diǎn)公式設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo),代入已知直線(或曲線)求得. 五、布置作業(yè) 1.(1.6練習(xí)第1題)由下列條件,寫出直線的方程,并化成一般式: (2)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2),平行于x軸; (5)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(3,-2)、P2(5,-4); (6)x軸上的截距是-7,傾斜角是45°. 解:(1)x+2y-4=0;  (2)y-2=0;  (3)2x+1=0; (4)2x-y-3=0;  (5)x+y-1=0;  (6)x-y+7=0. 3.(習(xí)題二第8題)一條直線和y軸相交于點(diǎn)P(0,2),它的傾斜角 4.(習(xí)題二第十三題)求過點(diǎn)P(2,3),并且在兩軸上的截距相等的直線方程. 5.(習(xí)題二第16題)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在直線As+By+C=0上,求證:這條直線的方程可以寫成A(x-x0)+B(y-y0)=0. 證明:將點(diǎn)P(x0,y0)的坐標(biāo)代入有C=-Ax0-By0,將C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0. 6.過A(x1,y1)、B(x2,y2)的直線交直線l:Ax+By+C=0于C, 六、板書設(shè)計(jì)

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