《2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系教案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系教案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 解析幾何 點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系教案
一、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點
使學(xué)生掌握點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系;過圓上一點的圓的切線方程,判斷直線與圓相交、相切、相離的代數(shù)方法與幾何方法;兩圓位置關(guān)系的幾何特征和代數(shù)特征.
(二)能力訓(xùn)練點
通過點與圓、直線與圓以及圓與圓位置關(guān)系的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生綜合運用圓有關(guān)方面知識的能力.
(三)學(xué)科滲透點
點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系在初中平面幾何已進行了分析,現(xiàn)在是用代數(shù)方法來分析幾何問題,是平面幾何問題的深化.
二、教材分析
1.重點:(1)直線和圓的相切(圓的切線方程)、相交(
2、弦長問題);(2)圓系方程應(yīng)用.
(解決辦法:(1)使學(xué)生掌握相切的幾何特征和代數(shù)特征,過圓上一點的圓的代線方程,弦長計算問題;(2)給學(xué)生介紹圓與圓相交的圓系方程以及直線與圓相交的圓系方程.)
2.難點:圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x0,y0)的切線方程的證明.
(解決辦法:仿照課本上圓x2+y2=r2上一點(x0,y0)切線方程的證明.)
三、活動設(shè)計
歸納講授、學(xué)生演板、重點講解、鞏固練習(xí).
四、教學(xué)過程
(一)知識準(zhǔn)備
我們今天研究的課題是“點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系”,為了更好地講解這個課題,我們先復(fù)習(xí)歸納一下點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)
3、系中的一些知識.
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C∶(x-a)2+(y-b)2=r2,點M(x0,y0)到圓心的距離為d,則有:
(1)d>r 點M在圓外;
(2)d=r 點M在圓上;
(3)d<r 點M在圓內(nèi).
2.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓 C∶(x-a)2+(y-b)=r2,直線l的方程為Ax+By+C=0,圓心(a,
判別式為△,則有:
(1)d<r 直線與圓相交;
(2)d=r 直線與圓相切;
(3)d<r 直線與圓相離,即幾何特征;
或(1)△>0 直線與圓相交;
(2)△=0 直線與圓相切;
(3)△<0 直線與圓相離,即代數(shù)特征,
3.圓與圓的位置關(guān)
4、系
設(shè)圓C1:(x-a)2+(y-b)2=r2和圓C2:(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r),且設(shè)兩圓圓心距為d,則有:
(1)d=k+r 兩圓外切;
(2)d=k-r 兩圓內(nèi)切;
(3)d>k+r 兩圓外離;
(4)d<k+r 兩圓內(nèi)含;
(5)k-r<d<k+r 兩圓相交.
4.其他
(1)過圓上一點的切線方程:
①圓x2+y2=r2,圓上一點為(x0,y0),則此點的切線方程為x0x+y0y=r2(課本命題).
②圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣
5、).
(2)相交兩圓的公共弦所在直線方程:
設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若兩圓相交,則過兩圓交點的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(3)圓系方程:
①設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若兩圓相交,則過交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù),圓系中不包括圓C2,λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程).
②設(shè)圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l:Ax+By+C
6、=0,若直線與圓相交,則過交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù)).
(二)應(yīng)用舉例
和切點坐標(biāo).
分析:求已知圓的切線問題,基本思路一般有兩個方面:(1)從代數(shù)特征分析;(2)從幾何特征分析.一般來說,從幾何特征分析計算量要小些.該例題由學(xué)生演板完成.
∵圓心O(0,0)到切線的距離為4,
把這兩個切線方程寫成
注意到過圓x2+y2=r2上的一點P(x0,y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2,
例2 已知實數(shù)A、B、C滿足A2+B2=2C2≠0,求證直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1交于不同的兩點P、Q
7、,并求弦PQ的長.
分析:證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明△>0,又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑,由教師完成.
證:設(shè)圓心O(0,0)到直線Ax+By+C=0的距離為d,則d=
∴直線Ax+By+C=0與圓x2+y1=1相交于兩個不同點P、Q.
例3 求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程.
解法一:
相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0.
∵所求圓以AB為直徑,
于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25.
解法二:
設(shè)所
8、求圓的方程為:
x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數(shù))
∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上,
∴所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0.
小結(jié):
解法一體現(xiàn)了求圓的相交弦所在直線方程的方法;解法二采取了圓系方程求待定系數(shù),解法比較簡練.
(三)鞏固練習(xí)
1.已知圓的方程是x2+y2=1,求:
(1)斜率為1的切線方程;
2.(1)圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點到直線2x-y+1=0的最短距離是
(2)兩圓C1∶x2+y2-4x+2y+4=0與C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系
9、是______.(內(nèi)切)
由學(xué)生口答.
3.未經(jīng)過原點,且過圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個交點的圓的方程.
分析:若要先求出直線和圓的交點,根據(jù)圓的一般方程,由三點可求得圓的方程;若沒過交點的圓系方程,由此圓系過原點可確定參數(shù)λ,從而求得圓的方程.由兩個同學(xué)演板給出兩種解法:
解法一:
設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵(0,0),(-2,3),(-4,1)三點在圓上,
解法二:
設(shè)過交點的圓系方程為:
x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0.
五、布置作業(yè)
2.求證:兩圓x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切.
3.求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.
4.由圓外一點Q(a,b)向圓x2+y2=r2作割線交圓于A、 B兩點,向圓x2+y2=r2作切線QC、QD,求:
(1)切線長;
(2)AB中點P的軌跡方程.
作業(yè)答案:
2.證明兩圓連心線的長等于兩圓半徑之和
3.x2+y2-x+7y-32=0
六、板書設(shè)計