2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二節(jié) 不等式的證明課時(shí)作業(yè) 理(選修4-5)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二節(jié) 不等式的證明課時(shí)作業(yè) 理(選修4-5) 一、填空題 1.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m與n的大小關(guān)系是________. 解析:∵a>b>0,∴m=->0,n=>0. ∵m2-n2=(a+b-2)-(a-b) =2b-2=2(-)<0, ∴m2”、“<”、“=”). 解析:x2=(+)2=(a+b+2), y2=a+b=(a+b+a+b)≥(a+b+2)>(a+b+2).又x>0,y>0,∴y>x.

2、答案:> 3.已知a、b、c、d均為正數(shù),且a2+b2=4,cd=1,則(a2c2+b2d2)(b2c2+a2d2)的最小值為________. 解析:(a2c2+b2d2)(b2c2+a2d2)=(a2c2+b2d2)·(a2d2+b2c2)≥(a2cd+b2cd)2=(a2+b2)2=42=16. 答案:16 4.若a,b均為正實(shí)數(shù),且a≠b,M=+,N=+,則M、N的大小關(guān)系為________. 解析:∵a≠b,∴+>2,+>2, ∴+++>2+2, ∴+>+.即M>N. 答案:M>N 5.若直線3x+4y=2,則x2+y2的最小值為________,最小值點(diǎn)為____

3、____. 解析:由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2, 得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,為求最小值點(diǎn), 需解方程組∴ 因此,當(dāng)x=,y=時(shí),x2+y2取得最小值,最小值為,最小值點(diǎn)為. 答案:  6.記S=+++…+,則S與1的大小關(guān)系是________. 解析:∵<,<,…, =<, ∴S=+++…+<++…+=1. 答案:S<1 7.若x+2y+4z=1,則x2+y2+z2的最小值是________. 解析:∵1=x+2y+4z≤·, ∴x2+y2+z2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x==, 即x=,y=,z=時(shí)x2+

4、y2+z2的最小值為. 答案: 8.以下三個(gè)命題:①若|a-b|<1,則|a|<|b|+1;②若a、b∈R,則|a+b|-2|a|≤|a-b|;③若|x|<2,|y|>3,則||<,其中正確命題的序號(hào)是________. 解析:①|(zhì)a|-|b|≤|a-b|<1,所以|a|<|b|+1; ②|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=|2a|, 所以|a+b|-2|a|≤|a-b|; ③|x|<2,|y|>3,所以<,因此<. ∴①②③均正確. 答案:①②③ 9.若正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則++的最小值為________. 解析:由柯西不等式可得(3a+2+

5、3b+2+3c+2)≥(++)2,即 9≥9,所以++≥1(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)). 答案:1 二、解答題 10.(1)設(shè)x,y是不全為零的實(shí)數(shù),試比較2x2+y2與x2+xy的大??; (2)設(shè)a,b,c為正數(shù),且a2+b2+c2=1,求證:++-≥3. 解:(1)解法1:2x2+y2-(x2+xy)=x2+y2-xy=2+y2. ∵x,y是不全為零的實(shí)數(shù), ∴2+y2>0,即2x2+y2>x2+xy. 解法2:當(dāng)xy<0時(shí),x2+xy<2x2+y2; 當(dāng)xy>0時(shí),作差:x2+y2-xy≥2xy-xy=xy>0; 又x,y是不全為零的實(shí)數(shù), ∴當(dāng)xy=0時(shí),2x

6、2+y2>x2+xy. 綜上,2x2+y2>x2+xy. (2)證明:當(dāng)a=b=c時(shí),取得等號(hào)3. 作差比較:++--3 =++--3 =a2+b2+c2-2 =a22+b22+c22>0. ∴++-≥3. 11.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集為M. (1)求M; (2)當(dāng)a,b∈M時(shí),證明:2|a+b|<|4+ab|. 解:(1)f(x)<4,即|x+1|+|x-1|<4, 當(dāng)x≤-1時(shí),-x-1+1-x<4,得x>-2, ∴-2

7、,x+1+x-1<4,得x<2,∴1≤x<2. 綜上,M={x|-20,4-b2>0, ∴(4-a2)(4-b2)>0,即16-4a2-4b2+a2b2>0, 也就是4a2+4b2<16+a2b2, ∴4a2+8ab+4b2<16+8ab+a2b2, 即(2a+2b)2<(4+ab)2,即2|a+b|<|4+ab|. 1.設(shè)不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集為M,a,b∈M. (1)證明:<; (2)比較|1-4ab|與2|a-b|的大小,并說(shuō)明理由.

8、解:(1)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2| = 由-2<-2x-1<0,解得-0, 所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|. 2.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c大于0,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 解:(1)∵f(x+2)=m-|x|, ∴f(x+2)≥0等價(jià)于|x|≤m. 由|x|≤m有解,得m≥0且其解集為{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1. (2)證明:由(1)知++=1,且a,b,c大于0, a+2b+3c=(a+2b+3c), =3+++ ≥3+2+2+2=9. 當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=時(shí),等號(hào)成立.因此a+2b+3c≥9.

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