（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列學(xué)案 文

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1、 第八單元 數(shù) 列 教材復(fù)習(xí)課“數(shù)列”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過 數(shù)列的有關(guān)概念 [過雙基] 1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項(xiàng) 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng) 數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an 通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和 2．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝ 　 1．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

2、和，則S21的值為(　　) A．5　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　∵an＋an＋1＝，a2＝2， ∴an＝ ∴S21＝11×＋10×2＝. 2．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝(n∈N*)，則a2 018＝(　　) A. B．3 C．－ D. 解析：選D　由a1＝3，an＋1＝，得a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝3，……， 由上可得，數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列， 故a2 018＝a672×3＋2＝a2＝. 3．已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，前n項(xiàng)的和為Sn，則關(guān)于an，Sn的敘述正確的是(　　) A．a(chǎn)n，Sn都有最小值

3、 B．a(chǎn)n，Sn都沒有最小值 C．a(chǎn)n，Sn都有最大值 D．a(chǎn)n，Sn都沒有最大值 解析：選A?、佟遖n＝，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an<0且單調(diào)遞減；當(dāng)n≥6時(shí)，an>0，且單調(diào)遞減． 故當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝－3為an的最小值； ②由①的分析可知：當(dāng)n≤5時(shí)，an<0；當(dāng)n≥6時(shí)，an>0.故可得S5為Sn的最小值． 綜上可知，an，Sn都有最小值． 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1(n∈N*)，則a5＝________. 解析：依題意得an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＝1＋3＋5＋7＋9＝2

4、5. 答案：25 [清易錯(cuò)] 1．易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，它們是兩個(gè)不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)． 2．在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形． 1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，則(　　) A．3不是數(shù)列{an}中的項(xiàng) B．3只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng) C．3只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng) D．3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng) 解析：選D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)．

5、 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3＋2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋2＝5；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1. 因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，不符合an＝2n－1， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ 答案：an＝ 等差數(shù)列 [過雙基] 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A

6、＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md

7、的等差數(shù)列． 　 1．在等差數(shù)列{an}中，已知a2與a4是方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，若a4>a2，則a2 018＝(　　) A．2 018 B．2 017 C．2 016 D．2 015 解析：選A　因?yàn)閍2與a4是方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，且a4>a2，所以a2＝2，a4＝4，則公差d＝1，所以a1＝1，則a2 018＝2 018. 2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S5＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　∵等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

8、 ∴a2＋a3＋a4＝3a3＝3， 解得a3＝1， ∴S5＝(a1＋a5)＝5a3＝5. 3.正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a4＋a10－a＋15＝0，則S13＝(　　) A．－39 B．5 C．39 D．65 解析：選D　∵正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， a4＋a10－a＋15＝0， ∴a－2a7－15＝0， 解得a7＝5或a7＝－3(舍去)， ∴S13＝(a1＋a7)＝13a7＝13×5＝65. 4．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3a3＝a6＋4.若S5<10，則a2的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，0) C

9、．(1，＋∞) D．(0,2) 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3a3＝a6＋4， ∴3(a2＋d)＝a2＋4d＋4，可得d＝2a2－4. ∵S5<10，∴＝＝＝5(3a2－4)<10，解得a2<2. ∴a2的取值范圍是(－∞，2)． 5．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前 n項(xiàng)和為Sn ，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8 時(shí)Sn 取得最大值，則d 的取值范圍為________． 解析：由當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得 即解得－1

10、定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別． 1．(2018·武昌聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大的n的值為(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 解析：選C　由a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，則{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n＝20. 2．在數(shù)列{an}中，若a1＝－2，且對(duì)任意的n∈N*，有2an＋1＝1＋2an，則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為(　　) A．2 B．1

11、0 C. D. 解析：選C　由2an＋1＝1＋2an，可得an＋1－an＝， 即數(shù)列{an}是以－2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 則an＝，所以數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和S10＝＝. 等比數(shù)列 [過雙基] 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q. (2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式

12、：an＝a1qn－1. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝ 3．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a； (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)都是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列； (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. 　 1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)

13、倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 解析：選B　每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為{an}，則前7項(xiàng)的和S7＝381，公比q＝2，依題意，得S7＝＝381，解得a1＝3. 2．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝3，則＝(　　) A．2 B. C. D．1或2 解析：選B　設(shè)S2＝k，則S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k

14、，∴S6＝7k，∴＝＝. 3．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　根據(jù)等比數(shù)列的公式，得＝＝＝＝. 4．已知等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a3＋a5＝8，a2a6＝16，則數(shù)列{an}的前2 018項(xiàng)的和為(　　) A．8 064 B．4 C．－4 D．0 解析：選D　∵等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a3＋a5＝8，a2a6＝16， ∴a3a5＝a2a6＝16， ∴a3，a5是方程x2－8x＋16＝0的兩個(gè)根， 解得a3＝a5＝4， ∴4q2＝4， ∵q≠1，∴q＝－1，∴a1＝＝4，

15、 ∴數(shù)列{an}的前2 018項(xiàng)的和為 S2 018＝＝0. 5．(2018·信陽(yáng)調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，則a1＝(　　) A. B. C. D．2 解析：選B　因?yàn)閧an}是等比數(shù)列， 所以a5a7＝a＝4a，所以a6＝2a4，q2＝＝2，又q>0， 所以q＝，a1＝＝. [清易錯(cuò)] 1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比q＝－1且n為偶數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數(shù)列；當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列)，但等式(S2n－Sn)2

16、＝Sn·(S3n－S2n)總成立． 2．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤． 1．設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于(　　) A. B．－ C. D. 解析：選A　因?yàn)閍7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.所以a7＋a8＋a9＝. 2．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝3a3，則公比q＝________. 解析：當(dāng)q≠1時(shí)，

17、由題意，＝3a1q2， 即1－q3＝3q2－3q3， 整理得2q3－3q2＋1＝0，解得q＝－. 當(dāng)q＝1時(shí)，S3＝3a3，顯然成立． 故q＝－或1. 答案：－或1 一、選擇題 1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由得 即解得d＝4. 2．(2018·江西六校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7＝－3，則a2a8＝(　　) A．3 B. C．9 D．13 解析：選A　由

18、a3a5a7＝－3，得a＝－3，即a5＝－，故a2a8＝a＝3. 3．在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的個(gè)位數(shù)，則a2 018＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：選D　由題意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 018＝a335×6＋8＝a8＝2. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2，n∈N*)，則a7＝(　　) A．53 B．54 C．55 D．109 解析：選C　a2＝a1＋2

19、×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55. 5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則S6＝(　　) A．44 B．45 C.×(46－1) D.×(45－1) 解析：選B　由an＋1＝3Sn，得a2＝3S1＝3.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3Sn－1，則an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，則數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，所以S6＝＝＝45. 6．等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，對(duì)一切自然數(shù)n，都有＝，則等于(　　) A. B. C

20、. D. 解析：選C　∵S9＝＝9a5，T9＝＝9b5， ∴＝＝. 7．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若5S2＝S4，則log4a3的值為(　　) A．1 B．2 C．0或1 D．0或2 解析：選C　由題意得，等比數(shù)列{an}中，5S2＝S4，a1＝1， 所以5(a1＋a2)＝a1＋a2＋a3＋a4， 即5(1＋q)＝1＋q＋q2＋q3， q3＋q2－4q－4＝0，即(q＋1)(q2－4)＝0， 解得q＝－1或±2， 當(dāng)q＝－1時(shí)，a3＝1，log4a3＝0. 當(dāng)q＝±2時(shí)，a3＝4，log4a3＝1. 綜上所述，log4a3的值為0或

21、1. 8．設(shè)數(shù)列{an}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝(　　) A．75 B．90 C．105 D．120 解析：選C　由a1＋a2＋a3＝15得3a2＝15，解得a2＝5，由a1a2a3＝80，得(a2－d)a2(a2＋d)＝80，將a2＝5代入，得d＝3(d＝－3舍去)，從而a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝3×(5＋30)＝105. 二、填空題 9．若數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由a

22、1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝， 得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝， 兩式相減得3n－1an＝－＝， 則an＝. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝滿足an＝， 所以an＝. 答案：an＝ 10．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－1，則an＝________. 解析：∵Sn＝2an－1，① ∴Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，② ①－②得an＝2an－2an－1， 即an＝2an－1. ∵S1＝a1＝2a1－1，即a1＝1， ∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列， 故an＝2n－1. 答案：2n－1 11．已知數(shù)列{an}中，a2

23、n＝a2n－1＋(－1)n，a2n＋1＝a2n＋n，a1＝1，則a20＝________. 解析：由a2n＝a2n－1＋(－1)n，得a2n－a2n－1＝(－1)n， 由a2n＋1＝a2n＋n，得a2n＋1－a2n＝n， 故a2－a1＝－1，a4－a3＝1，a6－a5＝－1，…，a20－a19＝1. a3－a2＝1，a5－a4＝2，a7－a6＝3，…，a19－a18＝9. 又a1＝1，累加得：a20＝46. 答案：46 12．?dāng)?shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，若a3＝3，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，則此數(shù)列的前5項(xiàng)和S5＝________. 解析：設(shè)公比為q(

24、q>0)，由an＋1＝2an＋3an－1，可得q2＝2q＋3，所以q＝3，又a3＝3，則a1＝，所以此數(shù)列的前5項(xiàng)和S5＝＝. 答案： 三、解答題 13．已知在等差數(shù)列{an}中，a3＝5，a1＋a19＝－18. (1)求公差d及通項(xiàng)an； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn取得最大值時(shí)n的值． 解：(1)∵a3＝5，a1＋a19＝－18， ∴∴∴an＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝＝＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴n＝5時(shí)，Sn取得最大值． 14．已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝

25、，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)∵＋＋＋…＋＝n2＋n， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1， 兩式相減得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2)． 又∵當(dāng)n＝1時(shí)，＝1＋1，∴a1＝4，滿足an＝n·2n＋1. ∴an＝n·2n＋1. (2)∵bn＝＝n(－2)n， ∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n. －2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1， ∴兩式相減得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋

26、1＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－， ∴Sn＝－. 高考研究課(一) 等差數(shù)列的3考點(diǎn)——求項(xiàng)、求和及判定 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 等差數(shù)列通項(xiàng) 5年6考 求通項(xiàng)或某一項(xiàng) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 5年5考 求項(xiàng)數(shù)、求和 等差數(shù)列的判定 5年2考 判斷數(shù)列成等差數(shù)列或求使數(shù)列成等差數(shù)列的參數(shù)值 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算 [典例]　(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝(　　) A．5　　　　　　　　　 B．5 C．7 D．8 (2)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)Sn為等

27、差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28.記bn＝[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. ①求b1，b11，b101； ②求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和． [解析]　(1)法一：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得 Sn＋2－Sn＝(n＋2)a1＋d－＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋4n＋2＝36， 解得n＝8. 法二：由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋(2n＋1)d＝35，解得n＝8. 答案：D (2)①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 由已知得7＋21d＝28，解得d＝1. 所以

28、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. ②因?yàn)閎n＝ 所以數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和為1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [方法技巧] 等差數(shù)列運(yùn)算的解題思路 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”，“知三求二”的實(shí)質(zhì)是方程思想，即建立方程組求解．　　 [即時(shí)演練] 1．已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S6＝4S3，則a10＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵

29、S6＝4S3，公差d＝1. ∴6a1＋×1＝4×， 解得a1＝. ∴a10＝＋9×1＝. 2．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的值為(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 解析：選D　設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍1，a3，a4成等比數(shù)列， 所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，可得a1＝－4d， 所以＝＝＝3. 3．(2018·大連聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn; (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am

30、＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 解：(1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因?yàn)閐>0，所以d＝2.從而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)． (2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1， 故解得 即所求m的值為5，k的值為4. 等差數(shù)列的判定與證明 [典例]　已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a11＝8，設(shè)bn＝log2an，且b4＝17. (1)求證：數(shù)列{bn}是以－2為

31、公差的等差數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最大值． [思路點(diǎn)撥]　(1)利用等比數(shù)列以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化證明數(shù)列{bn}是以－2為公差的等差數(shù)列； (2)求出數(shù)列的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可． [解]　(1)證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q， 因此數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 又b11＝log2a11＝3，b4＝17， 所以等差數(shù)列{bn}的公差d＝＝－2， 故數(shù)列{bn}是以－2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)知，bn＝25－2n， 則Sn＝＝＝n(24－n)＝

32、－(n－12)2＋144， 于是當(dāng)n＝12時(shí)，Sn取得最大值，最大值為144. [方法技巧] 等差數(shù)列判定與證明的方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，an－an－1為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中證明問題 等差中項(xiàng)法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [即時(shí)演練] 1．(2016·

33、浙江高考)如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．hbr57ph是等差數(shù)列 解析：選A　由題意，過點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分別作直線B1Bn＋1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…

34、成等差數(shù)列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|為定值，所以{Sn}是等差數(shù)列．故選A. 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． 解：(1)設(shè){an}的公比為q. 由題設(shè)可得 解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝ ＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． 等差數(shù)列的性質(zhì) [典例]　(1)已知等差數(shù)列{

35、an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為(　　) A．8 B．12 C．6 D．4 (2)已知數(shù)列{an}，{bn}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若＝，則＝(　　) A. B. C. D. (3)(2018·天水模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________. [解析]　(1)由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，得4a8＝32，即a8＝8，m＝8. (2)因?yàn)閧an}，{bn}為等差數(shù)列，且＝， 所以＝＝＝＝＝＝.

36、(3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. [答案]　(1)A　(2)A　(3)60 [方法技巧] 等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì) 在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差． (2)和的性質(zhì) 在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.　　 [即時(shí)演練] 1．(2018·岳陽(yáng)

37、模擬)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　) A．95 B．100 C．135 D．80 解析：選B　由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100. 2．(2018·廣州模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝

38、a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，所以＝＝＝＝＝. 3．若兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn，Tn，已知＝，則＋＝________. 解析：∵數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列， ∴＋＝＝＝＝＝. 答案： 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 　等差數(shù)列的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn均為n的函數(shù)，通常利用函數(shù)法或通項(xiàng)變號(hào)法解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題． [典例]　等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為________． [解析]　法一：用“函數(shù)法”解題 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a

39、1＋d，即d＝－a1.從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因?yàn)閍1>0，所以－<0. 故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． 法二：用“通項(xiàng)變號(hào)法”解題 由法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，則有 即 解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大． [答案]　7 [方法技巧] 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法 (1)函數(shù)法 利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)通項(xiàng)變號(hào)法 ①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.

40、　　 [即時(shí)演練] 1．(2018·濰坊模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＝29，S10＝S20，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為(　　) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 解析：選A　∵a1＝29，S10＝S20， ∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2， ∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225. ∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn取得最大值． 2．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－26，a8＋a13＝5，當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n的值為(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：選B　設(shè)數(shù)列{a

41、n}的公差為d， ∵a1＝－26，a8＋a13＝5， ∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3， ∴Sn＝－26n＋×3＝n2－n＝2－， ∴{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值時(shí)，n＝9. 3．已知{an}是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中a1>0，公差d<0，若S10＝0，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)，n＝________. 解析：由S10＝＝5(a5＋a6)＝0， 可得a5＋a6＝0， ∴a5>0，a6<0，即數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為最大值，∴n＝5. 答案：5 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an

42、}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 解析：選A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，則d＝－2， 所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：選C　法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝

43、3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98. 3．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由． 解：(1)證明：由題設(shè)，anan＋1＝λSn－1， a

44、n＋1an＋2＝λSn＋1－1. 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 4．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且

45、a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解：(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列． 從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 一、選擇題 1．(2018·廈門一中測(cè)試)已知

46、數(shù)列{an}中，a2＝，a5＝，且是等差數(shù)列，則a7＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則＝＋3d，即＝＋3d，解得d＝2，所以＝＋5d＝12，解得a7＝. 2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為(　　) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤

47、D．12斤 解析：選A　依題意，金箠由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列， 設(shè)首項(xiàng)a1＝4，則a5＝2. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝6， 所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤． 3．(2018·銀川一中月考)在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1>0，公差d≠0，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，有下列命題： ①若S3＝S11，則必有S14＝0； ②若S3＝S11，則必有S7是Sn中的最大項(xiàng)； ③若S7>S8，則必有S8>S9； ④若S7>S8，則必有S6>S9. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　對(duì)于①，若S11－S3＝4(

48、a1＋a14)＝0，即a1＋a14＝0，則S14＝＝0，所以①正確； 對(duì)于②，當(dāng)S3＝S11時(shí)，易知a7＋a8＝0，又a1>0，d≠0，所以a7>0>a8，故S7是Sn中的最大項(xiàng)，所以②正確； 對(duì)于③，若S7>S8，則a8<0，那么d<0，可知a9<0，此時(shí)S9－S8<0，即S8>S9，所以③正確； 對(duì)于④，若S7>S8，則a8<0，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以④正確．故選D. 4．(2018·大同模擬)在等差數(shù)列中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于(　　) A．290 B．300 C．580 D．60

49、0 解析：選B　由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1. 由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29， 所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300. 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，則n的值為(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 解析：選D　因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21. 6．設(shè){an}是等差數(shù)列，d是其公差，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．d<0 B．

50、a7＝0 C．S9>S5 D．當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)Sn取得最大值 解析：選C　由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正確；∵d＝a7－a6<0，∴A正確；而C選項(xiàng)，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由結(jié)論a7＝0，a8<0，知C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵S5S8，∴結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性可知D正確．故選C. 7．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d>0，(S8－S5)(

51、S9－S5)<0，則(　　) A．|a7|>|a8| B．|a7|<|a8| C．|a7|＝|a8| D．|a7|＝0 解析：選B　因?yàn)?S8－S5)(S9－S5)<0， 所以(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)<0， 因?yàn)閧an}為等差數(shù)列， 所以a6＋a7＋a8＝3a7， a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)， 所以a7(a7＋a8)<0， 所以a7與(a7＋a8)異號(hào)． 又公差d>0， 所以a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|，故選B. 二、填空題 8．在數(shù)列{an}中，an＋1＝，a1＝2，則a20＝________. 解析：由an＋1

52、＝，a1＝2， 可得－＝3， 所以是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列． 所以＝＋3(n－1)，即an＝， 所以a20＝. 答案： 9．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________． 解析：∵a1＝1，an＋1＝2an＋2n， ∴＝＋， ∴數(shù)列是首項(xiàng)為＝，公差d＝的等差數(shù)列， 故＝＋(n－1)×＝n， 即an＝n·2n－1. 答案：an＝n·2n－1 10．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，則λ＝________. 解析：當(dāng)S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8時(shí)， 由等差

53、數(shù)列的性質(zhì)得：S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列， ∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)， ∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)， 解得λ＝2. 答案：2 三、解答題 11．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，a3＋a4＝12. (1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (2)設(shè)bn＝10－an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，若b1≠b2，則n為何值時(shí)，Sn最大？Sn最大值是多少？ 解：(1)設(shè){an}的公差為d， ∵a1，a2，a5成等比數(shù)列， ∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 解得d＝0或d＝2a1. 當(dāng)d＝0時(shí)

54、，∵a3＋a4＝12，∴an＝6， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30； 當(dāng)d≠0時(shí)，∵a3＋a4＝12，∴a1＝1，d＝2， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25. (2)∵b1≠b2，bn＝10－an，∴a1≠a2，∴d≠0， 由(1)知an＝2n－1， ∴bn＝10－an＝10－(2n－1)＝11－2n，Sn＝10n－n2＝－(n－5)2＋25. ∴當(dāng)n＝5時(shí)，Sn取得最大值，最大值為25. 12．(2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋

55、…＋|an|，求T5的值和Tn的表達(dá)式． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意知解得 故an＝2n－7(n∈N*)． (2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3， 所以當(dāng)n≤3時(shí)，an＝2n－7<0，當(dāng)n≥4時(shí)，an＝2n－7>0. 由(1)知Sn＝n2－6n， 所以當(dāng)n≤3時(shí)，Tn＝－Sn＝6n－n2； 當(dāng)n≥4時(shí)， Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18. 故T5＝13，Tn＝ 13．已知數(shù)列{an}中，a1＝4，an＝an－1＋2n－1＋3(n≥2，n∈N*)． (1)證明數(shù)列{an－2n}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

56、 (2)設(shè)bn＝，求bn的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1＋3＝an－1＋2n－2n－1＋3， ∴an－2n－(an－1－2n－1)＝3. 又a1＝4，∴a1－2＝2， 故數(shù)列{an－2n}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， ∴an－2n＝2＋(n－1)×3＝3n－1， ∴an＝2n＋3n－1. (2)bn＝＝＝1＋， ∴Sn＝＋＋…＋ ＝n＋， 令Tn＝＋＋…＋，① 則Tn＝＋＋…＋，② ①－②得，Tn＝1＋＋＋…＋－， ＝1＋3×－＝－， ∴Sn＝n＋5－. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，an＋1＝2an＋

57、2n＋1－1(n∈N*)． (1)求a2，a3； (2)求實(shí)數(shù)λ使為等差數(shù)列，并由此求出an與Sn； (3)求n的所有取值，使∈N*，說明你的理由． 解：(1)∵a1＝3，an＋1＝2an＋2n＋1－1， ∴a2＝2×3＋22－1＝9，a3＝2×9＋23－1＝25. (2)∵a1＝3，an＋1＝2an＋2n＋1－1， ∴an＋1－1＝2(an－1)＋2n＋1， ∴－＝1， 故λ＝－1時(shí)，數(shù)列成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為＝1，公差d＝1. ∴＝n，即an＝n·2n＋1. ∴Sn＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)＋n， 設(shè)Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，

58、① 則2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2， ∴Sn＝Tn＋n＝(n－1)·2n＋1＋2＋n. (3)＝＝2＋， 結(jié)合y＝2x及y＝x的圖象可知2n>恒成立， ∴2n＋1>n，即n－2n＋1<0，∵n·2n＋1>0，∴<2. 當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝1∈N*； 當(dāng)n≥2時(shí)，∵an>0且{an}為遞增數(shù)列， ∴Sn>0且Sn>an， ∴>1，即1<<2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，?N*. 綜上可得n＝1. 高考研究課(二) 等比數(shù)列的3考點(diǎn)——基本

59、運(yùn)算、判定和應(yīng)用 [全國(guó)卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 5年7考 由項(xiàng)與和的關(guān)系求首項(xiàng)、求前n項(xiàng)和、求項(xiàng)數(shù)等 等比數(shù)列的判定 5年3考 證明等比數(shù)列 等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 5年4考 求和后放縮法證明不等式，等比數(shù)列求項(xiàng)之積的最值 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 [典例]　(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝(　　) A．4n－1　　　　　　　 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1

60、＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. ①若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； ②若T3＝21，求S3. [解析]　(1)設(shè){an}的公比為q， ∵∴ 由(ⅰ)(ⅱ)可得＝2，∴q＝，代入(ⅰ)得a1＝2， ∴an＝2×n－1＝， ∴Sn＝＝4， ∴＝＝2n－1. 答案：D (2)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.(ⅰ) ①由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.(ⅱ) 聯(lián)立(ⅰ)(ⅱ)解得(舍去)或 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. ②由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－

61、20＝0， 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時(shí)，由(ⅰ)得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時(shí)，由(ⅰ)得d＝－1，則S3＝－6. [方法技巧] 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法 (1)方程的思想 等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解． (2)分類討論的思想 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.　　 [即時(shí)演練] 1．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，S3＝，若am＝－，則m

62、的值為(　　) A．8 B．10 C．9 D．7 解析：選A　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 若q＝1，則S3＝≠，不符合題意，∴q≠1. 由得 ∴an＝·n－1＝n＋1. 由am＝m＋1＝－， 得m＝8. 2．(2017·北京高考)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)? 所以2a1＋4d＝10， 解得d＝2，所以an＝2n－1. (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎1＝1，

63、b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9. 解得q2＝3. 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. 等比數(shù)列的判定與證明 [典例]　(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3且an＋2＝3an＋1－2an，n∈N*，對(duì)數(shù)列{an}有下列命題： ①數(shù)列{an}是等差數(shù)列； ②數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列； ③當(dāng)n≥2時(shí)，an都是質(zhì)數(shù)； ④＋＋…＋<2，n∈N*， 則其中正確的命題有(　　) A．② B．①② C．③④ D．②④ (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＋2a2＋

64、3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． ①求a2，a3的值； ②求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列． [解析]　(1)∵an＋2＝3an＋1－2an， ∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列， ∴an－an－1＝2n－1， an－1－an－2＝2n－2， … a2－a1＝21， 累加得：an－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－2， ∴an＝2n－2＋a1＝2n－1. 顯然①②③中，只有②正確， 又∵＝<(n≥2)， ∴＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝<2，故④正確； 綜上所述

65、，①③錯(cuò)誤，②④正確． 答案：D (2)[思路點(diǎn)撥]?、倭頽＝1,2,3，即可求出結(jié)論； ②當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，與已知式相減，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)論． 解：①∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2×1＝2； 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4； 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8. ②證明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*

66、)，(ⅰ) ∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·Sn－1＋2(n－1)．(ⅱ) (ⅰ)－(ⅱ)得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2 ＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2 ＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0， ∴＝2， 故{Sn＋2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． [方法技巧] 等比數(shù)列的3種判定方法 定義法 若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 等比中項(xiàng)法 若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 [即時(shí)演練] 1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋an＝2n(n∈N*)，則下列數(shù)列中一定為等比數(shù)列的是(　　) A．{an} B．{an－1} C．{an－2} D．{Sn} 解析