4、1(n∈N＋，n>1)時，第一步應驗證n＝________時，命題成立，當n＝k＋1時左邊的式子為________．
解析：由于n>1，
∴第一步應驗證n＝2時，命題成立，
當n＝k＋1時，左邊的式子應為22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
答案：2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
7．用數學歸納法證明“5n－2n能被3整除”的第二步中，當n＝k＋1時，為了使用歸納假設應將5k＋1－2k＋1變形為________．
解析：假設當n＝k時，5k－2k能被3整除，
則n＝k＋1時，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k
由假設知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除．
5、
故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除．
答案：5·(5k－2k)＋3·2k
8．設平面內有n條直線(n≥2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數，則f(4)＝________；當n>4時，f(n)＝________(用n表示)．
解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條直線，交點增加的個數等于原來直線的條數．
所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，
f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝
(n－2
6、)．
所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．
答案：5 (n＋1)(n－2)
9．用數學歸納法證明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)
＝n(3n－1)(n∈N＋)．
證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，
∴當n＝1時命題成立．
(2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時命題成立，
即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．
當n＝k＋1時，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]
＝k(3k－1)＋(3k＋1)
＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)
＝(k＋1)[3(k＋1)－1]
即當n＝k＋1時命題成立．
綜上(1)(2)知，對于任意n
7、∈N＋原命題成立．
10．證明對任意正整數n,34n＋2＋52n＋1能被14整除．
證明：(1)當n＝1時，34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61能被14整除，命題成立．
(2)假設當n＝k時命題成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，
那么當n＝k＋1時，
34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52
＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52
＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)
＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1，
因34k＋2＋52k＋1能被14整除，
8、56也能被14整除，所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命題成立．
由(1)(2)知，命題對任意正整數n都成立．
[B組 能力提升]
1．用數學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的過程中，第二步假設n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k＋1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析：由條件知，左邊是從20,21一直到2n－1都是連續(xù)的，因此
9、當n＝k＋1時，左邊應為1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右邊應為2k＋1－1.
答案：D
2．k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱的對角面?zhèn)€數f(k＋1)為( )
A．f(k)＋k＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k－1 D．f(k)＋k－2
解析：當k棱柱變?yōu)閗＋1棱柱時，新增的一條棱與和它不相鄰的k－1條棱確定k－2個對角面，而原來的一個側面變?yōu)閷敲?，所以共增加k－1個對角面．
答案：C
3．用數學歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由n＝k的假設到證明n＝k＋1時，等式左邊應添加的式子是________．
解析
10、：n＝k時等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝，
n＝k＋1時等式為12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝.
∴n＝k＋1時等式左邊比n＝k時等式左邊增加了k2＋(k＋1)2.
答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1)
4．設數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數學歸納法證明an＝4·2n－1－2的第二步中，設n＝k時結論成立，即ak＝4·2k－1－2，那么當n＝k＋1時，________.
解析：當n＝k＋1時，把ak代入，要將4·2k－2變形為4·2(k＋1)－1－2的形式．
11、
即ak＋1＝2ak＋2＝2(4·2k－1－2)＋2＝4·2k－2＝4·2(k＋1)－1－2
答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2
5．求證：凸n邊形對角線條數f(n)＝(n∈N＋，n≥3)．
證明： (1)當n＝3時，f(3)＝0，三角形沒有對角線，命題成立．
(2)假設n＝k(k∈N＋，k≥3)時命題成立，即凸k邊形對角線條數f(k)＝.
將凸k邊形A1A2…Ak在其外面增加一個新頂點A k＋1，得到凸k＋1邊形A1A2……AkAk＋1，Ak＋1依次與A2，A3，…Ak－1相連得到對角線k－2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k＋1邊形的一條對角線，則凸k＋1邊形的對角線條數
12、為：f(k)＋k－2＋1＝＋k－1＝＝＝f(k＋1)．
即當n＝k＋1時，結論正確．
根據(1)(2)可知，命題對任何n∈N＋，n≥3都成立．
6．是否存在常數a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由．
解析：假設存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
an(bn2＋c)對于一切n∈N*都成立．
當n＝1時，a(b＋c)＝1；
當n＝2時，2a(4b＋c)＝6；
當n＝3時，3a(9b＋c)＝19.
解方程組解得
證明如下：
①當n＝1時，由以上知等式成立．
②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
當n＝k＋1時，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即當n＝k＋1時，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對一切n∈N*都成立．
2022-2023學年高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式 一 數學歸納法優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5
