《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
最新考綱 1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；2.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
知 識(shí) 梳 理
1．等比數(shù)列的概念
(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中G＝±．
2. 等
2、比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an．
(2)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性：
當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；
當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；
當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列
3、{an}是常數(shù)列．
(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm．
(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn．
[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]
1．等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q.
2．已知等比數(shù)列{an}
(1)數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比數(shù)列．
(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.
3．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還
4、要驗(yàn)證a1≠0.
4．在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．
診 斷 自 測
1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列的各項(xiàng)可以是任意一個(gè)實(shí)數(shù)．( )
(2)公比q是任意一個(gè)常數(shù)，它可以是任意實(shí)數(shù)．( )
(3)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.( )
(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.( )
(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．( )
解析 (1)在等比數(shù)列中，an≠0.
(2
5、)在等比數(shù)列中，q≠0.
(3)若a＝0，b＝0，c＝0滿足b2＝ac，但a，b，c不成等比數(shù)列．
(4)當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝na.
(5)若a1＝1，q＝－1，則S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比數(shù)列．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．(2017·湖北七市考試)公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，則m的值為( )
A．8 B．9 C．10 D．11
解析 由題意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，
∴m＝10，故選C.
答案 C
3．(2017·全國
6、Ⅱ卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞
解析 設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則依題意S7＝381，公比q＝2.∴＝381，解得a1＝3.
答案 B
4．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________．
解析 由an＋1＝2an，知數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，公比
7、q＝2的等比數(shù)列，由Sn＝＝126，解得n＝6.
答案 6
5．(2017·全國Ⅲ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________．
解析 由{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q.
即
顯然q≠1，a1≠0，
得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
答案?。?
6．(2016·浙江卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________．
解析 由解得a1＝1，a2＝3，
當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得：
an＋1＝2Sn
8、＋1，①
an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，
∴{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，公比q＝3的等比數(shù)列．
∴S5＝＝121.
答案 1 121
考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
【例1】 (1)(2018·浙江“超級(jí)全能生”聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，且a1，S2，5成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比q＝________，Sn＝________．
(2)(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．
解析 (1)由條件得a1＋5＝2
9、S2，即a1＋2a2＝5，又a1＝1，則a2＝2，故數(shù)列{an}的公比為2，前n項(xiàng)和Sn＝＝2n－1.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∴
?解得
∴a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)
＝2－＋.
記t＝－＋＝－(n2－7n)，
結(jié)合n∈N*，可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6.
又y＝2t為增函數(shù)．
所以a1a2…an的最大值為64.
答案 (1)2 2n－1 (2)64
規(guī)律方法 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．
【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}
10、的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________．
(2)(2017·江蘇卷)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝，S6＝，則a8＝________．
(3)設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列，則an＝________．
解析 (1)由已知條件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.
(2)設(shè)數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠1)，
則解得
所以a8＝a1q7＝×27＝32.
(3
11、)由已知得：
解得a2＝2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由題意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1.
答案 (1)－2 (2)32 (3)2n－1
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【例2】 (1)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于( )
A．2 B．1 C. D.
(2)(一題多解)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則＝( )
A．2 B. C. D．3
解
12、析 (1)由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.選C.
(2)法一 由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.
法二 因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，由＝3，設(shè)S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6為等比數(shù)列，即a，2a，S9－S6成等比數(shù)列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝.
答案 (1)C (2)B
規(guī)律方法 (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問
13、題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．
(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．
【訓(xùn)練2】 (1)(2018·湖州調(diào)研)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7＝________．
(2)(2018·稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，a1a9＝2a3a6，S5＝－62，則a1的值為________．
解析 (1)由等比數(shù)列性質(zhì)，得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，
14、所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.
(2)由等比數(shù)列性質(zhì)，得a1a9＝a3a7＝2a3a6，所以q＝＝2，又S5＝－62，則a1＝－2.
答案 (1)8 (2)－2
考點(diǎn)三 等比數(shù)列的判定與證明
【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
(1)證明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
15、
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比數(shù)列．
又a1＋a1＝1，∴a1＝，
又cn＝an－1，首項(xiàng)c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－.
∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝1－－
＝－＝.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝.
規(guī)律方法 證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．
【訓(xùn)練3】 (2016·
16、全國Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)若S5＝，求λ.
(1)證明 由題意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，
由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
于是an＝.
(2)解 由(1)得Sn＝1－.
由S5＝得1－＝，
即＝.解得λ＝－1.
基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1
17、＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42 C．63 D．84
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故選B.
答案 B
2．在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么這個(gè)數(shù)列的公比為( )
A．2 B. C．2或 D．－2或
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.故選C.
答案 C
3．已知{an}，{bn}
18、都是等比數(shù)列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比數(shù)列
B．{an＋bn}一定是等比數(shù)列，但{an·bn}不一定是等比數(shù)列
C．{an＋bn}不一定是等比數(shù)列，但{an·bn}一定是等比數(shù)列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比數(shù)列
解析 兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是一個(gè)等比數(shù)列．
答案 C
4．(必修5P67A1(2)改編)一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飛出去找回了5個(gè)伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個(gè)伙伴……如果這個(gè)找伙伴的過程繼續(xù)下去，第6天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
A．55 986 B．4
19、6 656 C．216 D．36
解析 設(shè)第n天蜂巢中的蜜蜂數(shù)量為an，根據(jù)題意得數(shù)列{an}成等比數(shù)列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通項(xiàng)公式an＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故選B.
答案 B
5．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析 依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－
20、S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.
S40＝150.故選A.
答案 A
6．(2018·金華十校模擬)已知a，b為實(shí)常數(shù)，{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列，直線ax＋by＋ci＝0與拋物線y2＝2px(p>0)均相交，所成弦的中點(diǎn)為Mi(xi，yi)，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．?dāng)?shù)列{xi}可能是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{yi}是常數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{xi}可能是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{xi＋yi}可能是等比數(shù)列
解
21、析 易知a≠0，設(shè)直線ax＋by＋ci＝0與拋物線y2＝2px交于Ai(xi1，yi1)，Bi(xi2，yi2).?ay2＋2pby＋2pci＝0，∴yi1＋yi2＝－，yi1yi2＝，∴yi＝＝－，則B正確；xi＝＝＝＝－，則當(dāng)b＝0時(shí)，xi＋yi＝xi＝－，而{ci}(i∈N*)是等比數(shù)列，所以A和D正確；又xi＋1－xi＝(ci－ci＋1)，而{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤．
答案 C
二、填空題
7．(2017·北京卷)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________．
解析 {an}為等差數(shù)列，a1＝－1，a
22、4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}為等比數(shù)列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，則＝＝1.
答案 1
8．(2018·臺(tái)州調(diào)考)已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，從第m－1項(xiàng)起，am－1，am，am＋1，…成公比為2的等比數(shù)列．若a1＝－2，則m＝________，{an}的前6項(xiàng)和S6＝________．
解析 由題意，得am－1＝a1＋(m－2)d＝2m－6，am＝2m－4，則由＝＝2，解得m＝4，所以數(shù)列{an}的前6項(xiàng)依次為－2，0，2，4，8，16，所以S6＝28.
23、
答案 4 28
9．(2017·寧波調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a3＝________；通項(xiàng)公式an＝________．
解析 ∵a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝a2＋22＝3＋4＝7.n≥2時(shí)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1(n＝1時(shí)也成立)，∴an＝2n－1.
答案 7 2n－1
10．(2018·嘉興測試)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－1，S5，S10成等差數(shù)列，則S10－2S5＝______
24、__，且S15－S10的最小值為________．
解析 由已知2S5＝－1＋S10，∴S10－2S5＝1.由{an}為等比數(shù)列可知：S5，S10－S5，S15－S10也成等比數(shù)列，∴(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，∴S15－S10＝＝＝＝S5＋＋2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)S5＝1時(shí)，等號(hào)成立．
答案 1 4
三、解答題
11．在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解 (1)設(shè){an}的公比為q，依題意得
解得
因此，an＝3n－1.
(2)因?yàn)閎n＝log3an＝n－1，
所以數(shù)列{
25、bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝.
12．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；
(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．
解 (1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋
26、1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知矛盾．
故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．
能力提升題組
13．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6
27、＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，
所以n＝14，故選C.
答案 C
14．?dāng)?shù)列{an}中，已知對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
C．9n－1 D.(3n－1)
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，
n≥2時(shí)，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1時(shí)，a1＝2適合上式，∴an＝2·3n－1，
故數(shù)列{a}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列．
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
答案 B
28、
15．(2018·溫州九校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和滿足Sn＝1－A·3n，數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，且bn＝An2＋Bn，則A＝________，B的取值范圍為________．
解析 因?yàn)槿我庖粋€(gè)公比不為1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝＝－qn，而等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝1－A·3n，所以A＝1.于是bn＝n2＋Bn，又因?yàn)閿?shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B＞0恒成立，所以B＞－(2n＋1)恒成立，又n≥1，所以B＞－3.
答案 1 (－3，＋∞)
16．設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足
29、Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．
解 (1)由已知Sn＝2an－a1，
有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.
從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故an＝2n.
(2)由(1)得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1
30、－.
由|Tn－1|＜，得＜，
即2n＞1 000，
因?yàn)?9＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，
于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值為10.
17．(2018·紹興模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)a1，a3，a5，…，a2k－1，…構(gòu)成首項(xiàng)a1＝1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比q＝2的等比數(shù)列，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，a4，a5，a7成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，Tn＝b1b2…bn，求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*，均有Tk≥Tn.
解 (1)由題意：設(shè)a1，a3，a5，…，a2k－1，…的公差為d，則a3＝1＋d，a5＝1＋2d，a7＝1＋3d，a4＝2a2，代入
又a2>0，故解得
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝
(2)bn＝，顯然bn>0，
∵＝＝<1，
∴{bn}單調(diào)遞減，又b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝，
∴b1>b2>b3>1>b4>b5>…，∴k＝3時(shí)，對(duì)任意n∈N*，均有T3≥Tn.
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（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 理
