高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理

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1、高考數(shù)學 五年高考真題分類匯編 第十三章 矩陣與變換 理 1.(xx?江蘇高考)已知矩陣A=,B=,求矩陣A-1B. 解:設矩陣A的逆矩陣為, 則=, 即=,故a=-1,b=0,c=0,d=, 從而A的逆矩陣為A-1=, 所以A-1B==. 2.(xx?福建高考理) 已知直線l:ax+y=1在矩陣A=對應的變換作用下變?yōu)橹本€l′:x+by=1. ①求實數(shù)a,b的值; ②若點P(x0,y0)在直線l上,且A=,求點P的坐標. 解:(1)本小題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想. ①設直線l:ax+y=1上任意點M(x,y)在矩A對應的

2、變換作用下的像是M′(x′,y′). 由==,得 又點M′(x′,y′)在l′上,所以x′+by′=1, 即x+(b+2)y=1, 依題意得解得 ②由A=,得解得y0=0. 又點P(x0,y0)在直線l上,所以x0=1. 故點P的坐標為(1,0). 3.(xx?江蘇高考) 已知矩陣A的逆矩陣A-1=,求矩陣A的特征值. 解:因為A-1A=E,所以A=(A-1)-1. 因為A-1=,所以A=(A-1)-1=,于是矩陣A的特征多項式為 f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4. 4.(xx?福建高考理) 設曲線2x2+2xy+y

3、2=1在矩陣A=(a>0)對應的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1. (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求A2的逆矩陣. 解:(1)設曲線2x2+2xy+y2=1上任意點P(x,y)在矩陣A對應的變換作用下的象是P′(x′,y′). 由==,得 又點P′(x′,y′)在曲線x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1,即a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. 依題意得解得或 因為a>0,所以 (2)由(1)知,A=, A2==, 所以|A2|=1,(A2)-1=. 5.(2011?福建高考理) 設矩陣M=(其中a>0,b>0).

4、(Ⅰ)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1; (Ⅱ)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a,b的值. 解:(Ⅰ)設矩陣M的逆矩陣M-1=, 則MM-1=. 又M,所以=, 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即x1=,y1=0,x2=0,y2=,故所求的逆矩陣M-1=. (Ⅱ)設曲線C上任意一點P(x,y),它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′,y′), 則=,即 又點P′(x′,y′)在曲線C′上,所以+y′2=1, 則+b2y2=1為曲線C的方程. 又已知曲線C的方程為x2+y2=1,故 又a>0,b>0,所以 6.(2011?江蘇高考) 已知矩陣A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β. 解:A2==. 設α=.由A2α=β,得=, 從而 解得x=-1,y=2,所以α=.

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