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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 圓與方程 《直線、圓的位置關(guān)系》學(xué)習(xí)過程
學(xué)習(xí)過程
知識點(diǎn)1: 直線與圓的位置關(guān)系
1、 直線與圓有三種位置關(guān)系:直線與圓相交,有兩個公共點(diǎn);
直線與圓相切,有且只有一公共點(diǎn);
直線與圓相離,沒有公共點(diǎn)。
2、研究直線與圓的位置關(guān)系主要方法有:代數(shù)法,幾何法
位置關(guān)系
幾何特征
方程特征
幾何法
代數(shù)法
相交
有兩個公共點(diǎn)
方程組有兩個不同實(shí)根
d0
相切
有且只有一公共點(diǎn)
方程組有且只有一實(shí)根
d=r
△=0
相離
沒有公共點(diǎn)
方程組無實(shí)根
d>r
△<0
3、 弦長的求法
直線與圓相交有
2、兩個交點(diǎn),設(shè)弦長為L,弦心距為d,半徑為r,則有即半徑長,弦心距,半徑構(gòu)成直角三角形,數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理得到。
知識點(diǎn)2: 圓與圓的位置關(guān)系
1、 圓與圓有五種位置關(guān)系: 圓與圓相交,有兩個公共點(diǎn);
圓與圓相離,沒有公共點(diǎn);
圓與圓相切,有且只有一公共點(diǎn),由內(nèi)切和外切兩種;
圓與圓內(nèi)含,沒有公共點(diǎn)。
2、判定兩個圓的位置關(guān)系:
設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R和r,則
⑴ 兩圓外離d>R+r;有4條公切線;
⑵ 兩圓外切d=R+r;有3條公切線;
⑶ 兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)有2條公切線;
⑷ 兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)有1條公切線;
⑸ 兩圓內(nèi)
3、含d<R—r(R>r)有0條公切線
2、 過兩圓交點(diǎn)的直線方程
設(shè)圓 ①
圓 ②
①-②得此式為兩圓公共弦所在的直線方程
學(xué)習(xí)結(jié)論:
1、直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種,其中判定方法為:
(1)、代數(shù)法:即求直線方程與圓的方程所組成的實(shí)數(shù)解的個數(shù),當(dāng)時,相交;當(dāng)時,相切;當(dāng)時,相離.
(2)、幾何法:即通過圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來研究,當(dāng)時,相交;當(dāng)時,相切;當(dāng)時,相離.
2、圓與圓有五種位置關(guān)系,它們分別是外離
4、、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含,判定方法有兩種:一種是代數(shù)法,另一種是幾何法。
典型例題
例題1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C為圓心,r為半徑的圓與AB有何種位置關(guān)系?為什么?
(1)r=1cm; (2)r=cm; (3)r=2.5cm.
解析:過C點(diǎn)作CD⊥AB于D,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,
∴AC=2
,∴AB·CD=AC·BC,
∴,
(1)當(dāng)r =1cm時 CD>r,∴圓C與AB相離;
(2)當(dāng)r=cm時,CD=r,∴圓C與AB相切;
(3)當(dāng)r=2.5cm時
5、,CD<r,∴圓C與AB相交.
例題2 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C為圓心,r為半徑的圓,若直線AB與⊙C,(1)相交;(2)相切;(3)相離.求半徑r的取值.
解析:過C點(diǎn)作CD⊥AB于D,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,
∴AC=2
,∴AB·CD=AC·BC,
∴,
(1)∵直線AB與⊙C相離,∴0rCD,即r>.
例題3平面上有兩點(diǎn),點(diǎn)在圓周上,求使取最小值時點(diǎn)的坐標(biāo)
解析:在Δ中有
即當(dāng)最小時,取最小值,而,
即
例題4已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓
(1)求實(shí)數(shù)m取值范圍;(2)求圓半徑r取值范圍;(3)求圓心軌跡方程。
解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得:,
所以
(2),()
(3)圓心(m+3,4m2-1),消去參數(shù)得圓心軌跡方程為:y=4(x-3)2-1.