2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 課堂達(dá)標(biāo)57 合情推理與演繹推理 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 課堂達(dá)標(biāo)57 合情推理與演繹推理 文 新人教版 1．(2018·洛陽統(tǒng)考)下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(　　) A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù) B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù) D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) [解析]　A項中小前提不正確，選項C、D都不是由一般性結(jié)論到特殊

2、性結(jié)論的推理，所以選項A、C、D都不正確，只有B項的推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確． [答案]　B 2．(2018·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第(　　) A．22項　　 B．23項　　　 C．24項　　 D．25項 [解析]　兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，3?5是和為8的第3項，所以為第24項． [答案]　C 3．(2018·泉州模擬)正偶數(shù)列有一個有趣的現(xiàn)象：①2＋4＝6；②8＋10＋

3、12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照這樣的規(guī)律，則2 016所在等式的序號為(　　) A．29　　 B．30 C．31　　 D．32 [解析]　由題意知，每個等式正偶數(shù)的個數(shù)組成等差數(shù)列3,5,7，…，2n＋1，…，其前n項和Sn＝＝n(n＋2)且S31＝1 023，即第31個等式中最后一個偶數(shù)是1 023×2＝2 046，且第31個等式中含有63個偶數(shù)，故2 016在第31個等式中． [答案]　C 4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(

4、x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2 017(x)＝(　　) A．sin x＋cos x B．－sin x－cos x C．sin x－cos x D．－sin x＋cos x [解析]　f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f′5(x)＝cos x－sin x，…， 可知fn(x)是以4為周期的函數(shù)，因為2 017＝504×4＋1，所以f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x．故選A. [

5、答案]　A 5．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ [解析]　若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}為等差數(shù)列； 若{cn}是等比數(shù)列，則c1·c2…cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c1·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}為等比數(shù)列，故選D. [答案]　D 6．在直角坐標(biāo)系xOy中，一個質(zhì)點(diǎn)從A(a1，a2)出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過B(a3，a4)，C(a

6、5，a6)，D(a7，a8)，…，按此規(guī)律一直運(yùn)動下去，則a2 015＋a2 016＋a2 017等于(　　) A．1 006　　 B．1 007 C．1 008　　 D．1 009 [解析]　由直角坐標(biāo)系可知A(1,1)，B(－1,2)，C(2,3)，D(－2,4)，E(3,5)，F(xiàn)(－3,6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…， 由此可知，所有數(shù)列偶數(shù)個都是從1開始逐漸遞增的，且都等于所在的個數(shù)除以2，則a2 016＝1 008，每四個數(shù)中有一個負(fù)數(shù)，且為每組的第三個數(shù)，每組的第1個奇數(shù)和第2個奇數(shù)互為相反數(shù)，且從－1開

7、始逐漸遞減的，則2 015÷4＝503余3，則a2 015＝504，a2 017÷4＝504余1，∴則a2 017＝505，∴a2 015＋a2 016＋a2 017＝－504＋1 008＋505＝1 009. [答案]　D 7．(2018·云南名校聯(lián)考)觀察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為______． [解析]　由第一個等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二個等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三個等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四個等

8、式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n個等式為13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2. [答案]　13＋23＋33＋43＋…＋n3＝2 8．已知f(x)＝，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，經(jīng)計算：f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此規(guī)律，則fn(x)＝__________. [解析]　因為f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，所以fn(x)＝. [答案]　 9．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個角，那么

9、截下的一個直角三角形，按下圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是______． [解析]　將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. [答案]　S＋S＋S＝S 10．在銳角三角形ABC中，求證：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [證明]　∵△ABC為銳角三角形，∴A＋B>， ∴A>－B，∵y＝sin x在上是增函數(shù)

10、， ∴sin A>sin＝cos B， 同理可得sin B>cos C，sin C>cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C. [B能力提升練] 1．[]表示不超過的最大整數(shù)． 若S1＝[]＋[]＋[]＝3， S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21， … 則Sn＝(　　) A．n(n＋2) B．n(n＋3) C．(n＋1)2－1 D．n(2n＋1) [解析]　觀察得到：Sn是從開始到(不含)之前共2n＋1個n的和，所以Sn為n(2n＋1)，即[]＋[]＋[]＋

11、…＋[]＝n(2n＋1)． [答案]　D 2．已知面積為S的凸四邊形中，四條邊長分別記為a1，a2，a3，a4，點(diǎn)P為四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到四條邊的距離分別記為h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1，S2，S3，S4，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到每個面的距離分別為H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　) A. B. C. D. [解析]　根據(jù)三棱錐的體積公式，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，

12、∴H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. [答案]　B 3．通過計算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …； (n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1. 將以上各等式兩邊分別相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 類比上述求法，請你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． [解]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1； 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1； 44－34＝4

13、×33＋6×32＋4×3＋1； …； (n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1. 將以上各式兩邊分別相加，得(n＋1)4－14 ＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3 ＝ ＝n2(n＋1)2. 4．如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以，圓環(huán)的面積等于以線段AB＝R－r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長2π×為長的矩形面積．請你將上述想法拓展到空間，并解決下列問題：若將平面區(qū)域M＝{(x，y)

14、|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0

15、f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)， (1)求函數(shù)f(x)的對稱中心； (2)計算f＋f＋f＋ f＋…＋f. [解]　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. f＝×3－×2＋3×－＝1. 由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為. (2)由(1)知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為，所以f＋f＝2， 即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝

16、2， f＋f＝2， f＋f＝2， …， f＋f＝2. 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016. [C尖子生專練] 某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮；現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形． (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式， 并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式； (3)求＋＋＋…＋的值． [解]　(1)f(5)＝41.

17、 f(2)－f(1)＝4＝4×1 f(3)－f(2)＝8＝4×2 (2)因為f(4)－f(3)＝12＝4×3 f(5)－f(4)＝16＝4×4 由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n. 因為f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n? f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2) ＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3) ＝… ＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋4 ＝2n2－2n＋1 (3)當(dāng)n≥2時，＝＝[－]，則 ＋＋＋…＋ ＝1＋[1－＋－＋－＋…＋－]＝1＋[1－]＝－.