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1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細分類題庫 考點55 不等式選講(文、理)(含詳解,13高考題)
一、選擇題
1.(xx·安徽高考理科·T4)“a≤0”“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的 ( )
A. 充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【解題指南】 畫出函數(shù)的簡圖,數(shù)形結(jié)合判斷。
【解析】選C.由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得其圖象如圖所示,,由圖象可知選項C正確。
二、填空題
2. (xx·陜西高考理科·T15)已知a, b, m, n均為正數(shù), 且a+b=1, mn=2, 則(am+bn)(bm+an)的最小值為 .
2、
【解題指南】利用柯西不等式求解.
【解析】,且僅當(dāng)
時取最小值 2.
【答案】 2.
3. (xx·陜西高考文科·T15)設(shè)a, b∈R, |a-b|>2, 則關(guān)于實數(shù)x的不等式的解集是 .
【解題指南】利用絕對值不等式的基本知識表示數(shù)軸上某點到a,b的距離之和即可得解.
【解析】函數(shù)的值域為: .
所以,不等式的解集為R。
【答案】 R.
4.(xx·江西高考理科·T15)在實數(shù)范圍內(nèi),不等式的解集為___________.
【解題指南】根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號求解.
【解析】由絕對值的意義,等價于,即
,即.
【答案】.
5. (xx·重慶高考
3、理科·T16)若關(guān)于實數(shù)的不等式無解,則實數(shù)的取值范圍是
【解題指南】 利用絕對值不等式的性質(zhì)進行求解.
【解析】不等式無解,即
因為,所以
【答案】 .
6. (xx·湖北高考理科·T13)設(shè)x,y,z∈R,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=
【解題指南】根據(jù)柯西不等式等號成立的條件,求出相應(yīng)的x,y,z的值。
【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=,所以,,,x+y+z=
【答案】 .
7. (
4、xx·湖南高考理科·T10)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為 .
【解題指南】本題是利用柯西不等式求最值
【解析】因為,所以
【答案】 12.
三、解答題
8.(xx·遼寧高考文科·T24)與(xx·遼寧高考理科·T24)相同
已知函數(shù)
當(dāng)時,求不等式的解集;
已知關(guān)于的不等式的解集為,求的值。
【解題指南】利用絕對值的意義,去掉絕對值號,轉(zhuǎn)化為整式不等式問題,是常用的化歸方法.
【解析】當(dāng)時,
當(dāng)時,由;
當(dāng)時,由,不成立;
當(dāng)時,由;
綜上,
所以,當(dāng)時,不等式的解集為
記
則
由得,
即
由已知不等
5、式的解集為
亦即的解集為
所以解得24.
9.(xx·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·T24)與(xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理科·T24)相同
已知函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;
(Ⅱ)設(shè),且當(dāng))時,,求的取值范圍.
【解析】當(dāng)時,不等式化為.
設(shè)函數(shù),則
其圖象如圖所示,
從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)時,.所以原不等式的解集是.
(Ⅱ)當(dāng)時,.
不等式化為.
所以對都成立,故,即.
從而的取值范圍為
10. (xx·湖南高考理科·T20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N
6、都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心.
(1)寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明).
(2)若以原點O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū),“L路徑”不能進入保護區(qū),請確定點P的位置,使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和最小.
【解題指南】(1)本題必須根據(jù)題目中圖的提示弄清“L路徑”是由直線段構(gòu)成,所以只能用絕對值來表示.
(2)先寫出點P到三個居民區(qū)的“L路徑”,則點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度值和的最小
7、值為三個“L路徑”的最小值之和,再利用絕對值知識去處理.
【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),
(1)點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).
(2)由題意知,點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值.
①當(dāng)y≥1時,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,
因為d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|, (*)
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時,不等式(*)中的等號成立,
又因為|x+10|+|x-14|≥24
8、. (**)
當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-10,14]時,不等式(**)中的等號成立.
所以d1(x)≥24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時,等號成立,
d2(y)=2y+|y-20|≥21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時,等號成立.故點P的坐標(biāo)為(3,1)時,P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小,且最小值為45.
②當(dāng)0≤y≤1時,由于“L路徑”不能進入保護區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.
此時,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d
9、2(y)≥45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時等號成立.
綜上所述,在點P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.
11.(xx·安徽高考理科·T20)
設(shè)函數(shù),證明:
(1)對每個,存在唯一的,滿足;
(2)對任意,由(1)中構(gòu)成的數(shù)列滿足。
【解題指南】 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明在內(nèi)單調(diào)遞增,證明在內(nèi)有零點;(2)利用(1)得的遞減函數(shù),聯(lián)立與得的關(guān)系式,適當(dāng)放縮證明。
【解析】(1)對每個,當(dāng)x>0時,內(nèi)單調(diào)遞增,由于,當(dāng),
又
=,所以存在唯一的滿足。
(2) 當(dāng)x>0時,,故
由內(nèi)單調(diào)遞增知,為單調(diào)遞減數(shù)列,從而對任意,,對任意,由于
10、 ①
②
①式減去②式并移項,利用得
,
因此,對任意,都有。
12.(xx·福建高考理科·T21)設(shè)不等式的解集為A,且
(Ⅰ)求的值 (Ⅱ)求函數(shù)的最小值
【解析】(Ⅰ)因為,且,所以,且
解得,又因為,所以
(Ⅱ)因為
當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2時取到等號,所以f(x)的最小值為3.
13.. (xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·T24)與(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T24)相同
設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)
(2)
【解題指南】(1)將兩邊平方,化簡整理,借助不等式的性質(zhì),即得結(jié)論.
(2) 證,也即證
可分別證然后相加即得.
【解析】(1)由得
由題設(shè)得即
所以,即當(dāng)且僅當(dāng)“ ”時等號成立。
(2)因為
當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立.
故,即
所以.